Polder Ordnung

57

Berechuuug

^non

^Residnen

^:

• Wenn

fbei

^{zo linen}

^Polder _Ordnung

^{n EK hat . dann besitzt}

z to (z^- zoj

"

flz

^{) um zo line}

Poteuzreihenentwicklung

(

^z.

zojkflz

^{) =}

§g

^{a, (z- zo)" und es}

gilt ^Resz

.

(f)

⁼ an., ^.

Also

_ist :

1 k^-i) d

Result

^{) =} ₍

1

,, zhjm

.

dzcu

^.,,

(

^G-

^zoskflt

⁾

⁾

^as

•

Sind

g. ^{h bei zo}

holomorph

^{unit hlzo ) :O} , h^'Lzo) ¥0 .

Dawn gilt for fh

^{.) := 9}_{hlz )}^{"' :}

Result

^{) =}

⁹⁴⁰

) n' Lzo)

da

wegen

^{C*) :}

Result

^{) :}

fig

.

(

^Lz.zo)

YI ⁾

=

glzo

^{) Lin (Z}

.to)

=

glzo

⁾

z^.,zo hlz )^- hlzo) h^'(zo)

Bsp

^{. : °}

flz

^):

⁽

^{ttz "}

⁾

^{" hat vier}

einfache ^pole

^{be; zu :=}

ei ^¥12

^{"+1 )}_,

Kelan

^,}

]

hllzu

^{) : 4z}

!

^⇒

Result

^{1 :}

^I

^,

^zi3

^.

7

°

flz ⁾ⁱ⁼

_{sinlz )}

^{hat einfache}

^Pole

^bei

^{Zn=nT , ntk}

(

^{da ztssinlz ) dort}

einfache Nullstellenbesittt )

Result

^{) :}

aha

,

= th ^"

.

Bereohnung

^{bestimmter R.}

^Integrate

^unit

^Hilfe

^des Residnensatzes

Satz

^: Sei U ^?

{

^{ze 6}

^/

^{lmlz) TO}

} ^often

^und

fi ^Ultzn

^{. ...}

^,Zn}→

^¢

holomorph

^{, wobei}

In Lzu) ^{> 0} V. K. 1st zudem him z

f

^{(z) :O} ,

dann

gilt

^{: rr}

12-1 ^KY

^.

^f.

^"

^fktdx

^{= 2}

^,ti¥

^{->a Res. , f) . 1r "0 Z 4> an o %°Zz >F ' f >}

Beweis

^{: Mit}

y.lt

^{) :=}

^retit

^{, te[ on ] and r > 0} hiureichend

grop

^,

gilt

^{nach dim} n

Residneusatz

: Ziti

¥ ^Reszult

^{) =}

^)y

.

fltsdz

⁺

↳ ^f

^{G) dz , weuu}

j

^{:[ on}

^]

^{→ ¢ ,}

^FLH

^{:-. tr - h - E) r .}

Anpvdem gilt

↳ ^flzsdz

⁼

^{↳ f (}

^{tr - h.t).}

⁾

^{Zrdt =p}

µ ^flx

^{) dx und}

×= tr ^. 1^7-t) r

| f. ^{fhtdt /} Irzsypyrlflzil

^{- > 0}

^fir f

^{r→• , da}

^him

^,

^.afH=o

^.

Standard

absohoitzuug

A

Bsp

^{.: °}

flz

^): , +1zu hat in der

oberen Halbebeue

^zwei

einfache ^Pole

^{zo, zn .}

Damit

^''st

% ^,y×

^{, ., d× = z ,}

^{:( Result}

^{) +}

^{Rest ,H}

^'

⁾

⁼

^Fzn

^.

53

Fur

Fourier

integrate

^{von rationale n}

^Funktionen gilt

^:

Satz

^:

Sind Pd

Q

Polynome

_, ^{so dass}

Grad

^{Q s}

Grad

^{P and die} Nnllstelleh

It

.,^...,2- u

}

von Q nicht

auf

^{der reellen}

^Achse liegeu

^{. Daun}

gilt ^far

^{as 0:}

t.y.IO?iIe~dx--ziiE,..,ioesz.sl&Y.ein- ^I

t fr

Beweisi

^Far

grits

^{-- re 't}

''t

, teton ]

gilt

^:

T

II.

^'

^{Ii ?}

^,

ⁱ

^{'" d.}

^I

. "

• Zz

•2-3

=/ !

^'

^{II!i.!! , jari}

^{" .}

^.ie#tat/

^{r ' 'o ' 'r}

[

^et

't

..

ei Rete

^{- hit}

,

lmfao

e^'T

it

)

⁼ arsin.tt

°

£4

← ,

§

grplre

beschrinnkt

^Qcreitit

^"it

^{) ) →}

^{yC- arsinltt}I

⁾

^{at → o}

^far

^{r- so} fer ^{r - so} far ^{r- soo , te Com)}

Die Behanptung folgt

^{dam.'t ans dem} Residnensatt . LT

D A

cos le) cos Lx) ^it

Bsp

^.i

/

^{a +} y

de ^{=^}

I /

x It _y ^{dx =}A

^{I Re} )

x'^eth ^de

o - - I

- a I - a

↳ =i

fees

^--

ft

^-A

any

yr ^wide

Integrand diuvgiveni

dater vuwenden wir Coste): Re Cei^')

IT

=

I

^Re

(

^{ziti Res}

:( Ii:

,

I )

^{= -}

^ n Ze

I I

Pole aster

Ordnung

^{bei Ii Res}

:( !

,

)

⁼

I

^I

E-i

Pole

auf

^{der koutur :}

Def

^.:

Seif

holomorph ant Ultzo }

und

zoey (

^Loi)

⁾

^{eiue isolivte}

Singulwitat

^{, die}

^ant

^der

^kurve y

^{:[ oil ] → U}

kegt

^.

^{Dann definiwt}

°

L )y ^flzsdz

^:-.

) ^flz

^{) dz den}

^Linkswert

^"

zoliegtrechts

^"

÷¥*¥±

VL

s R

§ ^flzjdz

^:-.

) ^fits

^{dz den}

^Rechtswvt

^"

^zoliegt

^{links "}

8R

o

Pf ^f

^{G) dz :=}

^{I ( L f. fhtdz}

⁺

^{R )y fczsdz )}

^den

Prinzipalwwt

^oder

synonym

funkliouentheorekschen Hanptwvt

^.

Bem

^.:

Wegen L )y flzsdz

^-

Rafflzsdz

^{= Ziti}

^Rego

⁽

^f

⁾

^gilt

P )y flzsdz

⁼

Raffles

^{dz + ti}

^Result

⁾ .

b

Def

^{.; Far}

f

^{:[ aib}

^]

^{ER → Emit} xoe (a.b)

heipt ^P { ^fcxsdx

^:=

^{lgigg ¥}

^"

^fcxsdx

⁺

) ^flxldx

( anchylscher Hanptwwt ( falls

^dw

^Lines

^eeistiwt

⁾

^{. xote}

Satz

^:

1st

_xo E (a. b) ^E R und

f holomorph auf

^[a.b)

^ltxo }

unit

einfachem

^Pol

bei _xo und

ylt

^{) ' '- tbt ( at )a} ,

t£[ oil] _,

dann gilt

P )y ^flzsdz

^:

^P

^)a↳

^fix

^{) dx}

Prinzipalwert

^.-

Cauchy

^'s

ohvtlanptwvt

55

Bcweis

^:

einfucher

^{Pol ⇒}

flts

^- ₍

§Io

, ^unit

gholomorphanf

^{[a,b] .}

'

rr

f. ^fizsdz

^:

^f. SYIY.jo

⁺

^III. / ^'dt

^{. dz}

t

r ' ^'

r→o=+

^him

_f

^"

^{Yale ireitdt}

0 ^' r ^-so

Xo

=

Iiglx

^{.) = Ii}

Resxdf ⁾

.

<

I ',tY;o÷)>!IT .im?s;hsItfst ^{ratified !}

• '

r ⁱ • x _•

g%dfle

^{) dx -}

↳ ^flzsdz

⁺

¥ ^{? "fu)dx}

⁺

µ ^fie

^{) dz = 0}

a Z b

Damit

^ist :

¥ ^"fkldx

⁺

¥ .fi/)dx=)gflzsdz+)g.fG)dz

^→

^§ )y fhtdz

:-.

dr→0 ^"

to

afksdx 'x°df pith Rft

^'⇒dt

⁾

^a