Zeigen Sie: Ist der station¨are Punkt 0 von x0 = Ax stabil, so ist s(A)≤0

J. M¨uller SoSe 2018 19.06.2018 8. ¨Ubung zur Vorlesung Differenzialgleichungen

Abgabe: Bis Dienstag, 26.06.2018, 8:30 Uhr im Kasten E5 E-Geb¨aude

Haus¨ubungen

A29: Es sei A∈C^d×d mit s(A)<0.

a) Zeigen Sie: Ist b : R → C^d stetig und beschr¨ankt, so ist die L¨osung ϕ_b(·,0,0) des Anfangswertporblems

x⁰(t) = Ax(t) +b(t), x(0) = 0 beschr¨ankt auf [0,∞).

b) Gilt die Aussage aus a) auch f¨ur die L¨osung von x⁰ =ix+e^it, x(0) = 0 ?

A30: Es sei A ∈ C^d×d. Zeigen Sie: Ist der station¨are Punkt 0 von x⁰ = Ax stabil, so ist s(A)≤0.

A31: (Lorenz-System) F¨ur σ, ρ, β >0 heißt das (nichtlineare) System x⁰ =g(x) mit

g(x₁, x₂, x₃) :=





σ(x₂−x₁) ρx₁−x₂−x₁x₃

x₁x₂−βx₃





Lorenz-System mit Parametern σ, ρ, β. Berechen Sie die Eigenwerte von J g(0) und zeigen Sie, dass der station¨are Punkt v^∗ = 0 im Falle ρ <1 asymptotisch stabil ist.

A32: (Gradientensystem) Es seien G ⊂ R^d offen und F : G → R zweimal stetig diffe- renzierbar. Zeigen Sie: Ist v^∗ ∈ G eine kritische Stelle von F (also ∇F(v^∗) = 0) und ist die Hesse-Matrix HF(v^∗) positiv definit, so ist die station¨are L¨osungv^∗ von x⁰ =−∇F(x) asymptotisch stabil.