M.Sc. Marc Steinhauser M.Sc. Julian Lenz

(1)

Friedrich-Schiller-Universität Jena Wintersemester 2018/19 Prof. Dr. Andreas Wipf

M.Sc. Marc Steinhauser M.Sc. Julian Lenz

Übungen zur Thermodynamik/Statistischen Physik

Blatt 10

Aufgabe 28: Ideales klassisches Gas im rotierenden Zylinder 2+2 = 4 Punkte Ein Zylinder mit Radius R und Länge ` ist mit einem idealen Gas gefüllt. Der Zylinder rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um seine Längsachse (z-Achse). Die Hamiltonfunktion, welche die Bewegung im rotierenden Koordinatensystem (in dem das Gas ruht) beschreibt, ist

H

^∗

= H − ωL

z

mit Hamiltonfunktion H im ruhenden Bezugssystem und L ~ als Gesamtdrehimpuls. Gravitationseffekte seien vernachlässigbar. Berechnen Sie den Mittelwert hρi der Dichte ρ(x ) =

^m_N

P

N

i=1

δ(x − x

_i

) des idealen Gases, wenn sich das Gas bei der Temperatur T im thermischen Gleichgewicht befindet. Hierin ist m die Gesamtmasse des Gases.

Hinweis: In Zylinderkoordinaten ist

δ

³

(x ) = 1

% δ(z)δ(%)δ(ϕ) .

Aufgabe 29: Dichtematrizen 1+(1+1) = 3 Punkte

Betrachten Sie ein abgeschlossenes, quantenmechanisches System, das ein Ensemble unterschiedlicher Zustände enthält. Ein bestimmter Zustand |ψ

_i

i ist mit der Wahrscheinlichkeit p

i

realisiert, so dass die Dichtematrix des Systems

ˆ ρ = X

i

p

i

|ψ

_i

ihψ

_i

|

ist. Der Mittelwert einer Observablen ist

h Ai ˆ = X

i

p

_i

hψ

_i

| A|ψ ˆ

_i

i

• Zeigen Sie, dass für den Mittelwert h Ai ˆ = Sp( ˆ ρ A) ˆ gilt.

• Verifizieren Sie, dass die Entropie

S := −k Sp( ˆ ρ log ˆ ρ), log ˆ ρ = X

i

log p

_i

|ψ

_i

ihψ

_i

|

zeitlich konstant ist. Beweisen Sie das zuerst für ein stationäres System, indem Sie die Energie- basis zur Berechnung von ρ ˆ und der Spur benutzen. Geben Sie danach das Argument für ein nicht-stationäres System und eine beliebige Orthonormalbasis im Hilbertraum.

Bitte wenden

(2)

Aufgabe 30: Reine und gemischte Zustände 5 Punkte Gegeben sei ein System von Spin-

¹₂

Teilchen, welches in der Eigenbasis des Spinoperators S ˆ

_z

(a) durch einen gemischten Zustand mit dem Dichteoperator

ˆ ρ = 1

3 | ↑ih↑ | + 2 3 | ↓ih↓ |

(b) durch den reinen Zustand

|Ψi = r 1

3 | ↑i + r 2

3 | ↓i

beschrieben wird. Berechnen Sie in beiden Fällen die Erwartungswerte der Spinoperatoren S ˆ

x

, S ˆ

y

, S ˆ

z

sowie den Erwartungswert der Entropie.

Hinweis: Die normierten Eigenzustände von S ˆ

_z

erfüllen S ˆ

z

| ↑i = ~

2 | ↑i, S ˆ

z

M.Sc. Marc Steinhauser M.Sc. Julian Lenz

Friedrich-Schiller-Universität Jena Wintersemester 2018/19 Prof. Dr. Andreas Wipf

M.Sc. Marc Steinhauser M.Sc. Julian Lenz

Übungen zur Thermodynamik/Statistischen Physik

Blatt 10

H

= H − ωL

mit Hamiltonfunktion H im ruhenden Bezugssystem und L ~ als Gesamtdrehimpuls. Gravitationseffekte seien vernachlässigbar. Berechnen Sie den Mittelwert hρi der Dichte ρ(x ) =

P

δ(x − x

) des idealen Gases, wenn sich das Gas bei der Temperatur T im thermischen Gleichgewicht befindet. Hierin ist m die Gesamtmasse des Gases.

Hinweis: In Zylinderkoordinaten ist

δ

(x ) = 1

% δ(z)δ(%)δ(ϕ) .

Aufgabe 29: Dichtematrizen 1+(1+1) = 3 Punkte

Betrachten Sie ein abgeschlossenes, quantenmechanisches System, das ein Ensemble unterschiedlicher Zustände enthält. Ein bestimmter Zustand |ψ

i ist mit der Wahrscheinlichkeit p

realisiert, so dass die Dichtematrix des Systems

ˆ ρ = X

p

|ψ

ihψ

|

ist. Der Mittelwert einer Observablen ist

h Ai ˆ = X

p

hψ

| A|ψ ˆ

i

• Zeigen Sie, dass für den Mittelwert h Ai ˆ = Sp( ˆ ρ A) ˆ gilt.

• Verifizieren Sie, dass die Entropie

S := −k Sp( ˆ ρ log ˆ ρ), log ˆ ρ = X

log p

|ψ

ihψ

|

zeitlich konstant ist. Beweisen Sie das zuerst für ein stationäres System, indem Sie die Energie- basis zur Berechnung von ρ ˆ und der Spur benutzen. Geben Sie danach das Argument für ein nicht-stationäres System und eine beliebige Orthonormalbasis im Hilbertraum.

Bitte wenden

Aufgabe 30: Reine und gemischte Zustände 5 Punkte Gegeben sei ein System von Spin-

Teilchen, welches in der Eigenbasis des Spinoperators S ˆ

(a) durch einen gemischten Zustand mit dem Dichteoperator

ˆ ρ = 1

3 | ↑ih↑ | + 2 3 | ↓ih↓ |

(b) durch den reinen Zustand

|Ψi = r 1

3 | ↑i + r 2

3 | ↓i

beschrieben wird. Berechnen Sie in beiden Fällen die Erwartungswerte der Spinoperatoren S ˆ

, S ˆ

, S ˆ

sowie den Erwartungswert der Entropie.

Hinweis: Die normierten Eigenzustände von S ˆ

erfüllen S ˆ

| ↑i = ~

2 | ↑i, S ˆ

| ↓i = − ~ 2 | ↓i.

Abgabetermin: vor der Vorlesung am Mittwoch, den 16.01.2019