Kapitel 1
Unimodularit¨at
Inhalt
1
Unimodularit¨at
Wiederholung: Transport- und Zuordnungsprobleme Total unimodulare Matrizen
Inzidenzmatrix
Optimierungsprobleme auf Graphen
Transportproblem
Definition 1.1
Das Optimierungsproblem min X
mi=1
X
n j=1c
ijx
ijunter den Nebenbedingungen X
nj=1
x
ij= a
if¨ur i = 1, . . . , m X
mi=1
x
ij= b
jf¨ur j = 1, . . . , n
und den Vorzeichenbedingungen
x
ij0 f¨ur i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , n
heißt Transportproblem.
Bemerkungen zum Transportproblem
Wir setzen ein geschlossenes Transportproblem voraus: a
i> 0, b
j> 0 und P
mi=1
a
i= P
nj=1
b
j, also Gesamtangebot = Gesamtnachfrage.
F¨ur den Fall P
mi=1
a
i> P
nj=1
b
jf¨uhren wir ein zus¨atzliches Warenhaus mit b
n+1= P
mi=1
a
iP
nj=1
b
jund c
i,n+1= 0 ein.
F¨ur den Fall P
mi=1
a
i< P
nj=1
b
jf¨uhren wir eine zus¨atzliche Produktionsst¨atte mit a
m+1= P
nj=1
b
jP
mi=1
a
iein.
Die c
m+1,jmodellieren dann die Kosten pro ME f¨ur das mangelnde Angebot in Warenhaus j .
Anzahl Variablen: m · n
Beispielproblem
Beispiel 1.2
Wir gehen von folgenden Kosten, Angebot und Nachfrage aus:
B
1B
2B
3A
19 1 3 50 A
24 5 8 70
40 40 40
Fortsetzung Beispiel.
Damit lautet das zugeh¨orige Transportproblem
min 9x
11+ x
12+ 3x
13+ 4x
21+ 5x
22+ 8x
23unter den Nebenbedingungen
x
11+ x
12+ x
13= 50
+ x
21+ x
22+ x
23= 70
x
11+ x
21= 40
x
12+ x
22= 40
x
13+ x
23= 40
und Vorzeichenbedingungen
x
11, x
12, x
13, x
21, x
22, x
230.
L¨osbarkeit des Transportproblems
Satz 1.3
Zu jedem Transportproblem existiert eine optimale L¨osung.
Beweis.
Es sei
G = X
mi=1
a
i= X
n j=1b
jund
x
ij= a
ib
jG Dann gilt:
X
n j=1x
ij= X
n j=1a
ib
jG = a
iP
nj=1
b
jG = a
if¨ur i = 1, . . . , m
Fortsetzung Beweis.
und X
mi=1
x
ij= X
mi=1
a
ib
jG = b
jP
m i=1a
iG = b
jf¨ur j = 1, . . . , n.
Damit existiert eine zul¨assige L¨osung.
Wegen 0 x
ij min { a
i, b
j} ist der Zul¨assigkeitsbereich X dar¨uberhinaus beschr¨ankt.
Also existiert nach Satz 3.25 OR I bzw. Satz 3.37 OR I eine optimale
L¨osung.
Transportproblem in Matrixdarstellung
c = (c
11, c
12, . . . , c
1n, c
21, . . . , c
2n, . . . , c
m1, . . . , c
mn) 2 R
m·nx = (x
11, x
12, . . . , x
1n, x
21, . . . , x
2n, . . . , x
m1, . . . , x
mn) 2 R
m·nA = 0 B B B B B B B B B B B @
1 1 · · · 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 · · · 1 0 0 0
· · ·
0 0 0 0 0 0 1 1 · · · 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0
. .. . .. · · · . ..
0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 C C C C C C C C C C C A
2 R
(m+n)⇥m·ngenauer
a
ij= 8 <
:
1 falls 1 i m ^ (i 1) · n < j i · n 1 falls m < i m + n ^ j = k · n + (i m) 0 sonst
Begrenzungsvektor:
b = (a
1, . . . , a
m, b
1, . . . , b
n) 2 R
m+nDamit hat das Transportproblem in Normalform die Darstellung min c
Tx
unter den Nebenbedingungen
Ax = b, x 0.
Rang der Koeffizientenmatrix
Satz 1.4
Die Matrix A des Transportproblems hat den Rang r (A) = m + n 1.
Beweis.
Die Summe der Zeilen 1 bis m ist gleich der Summe der Zeilen m + 1 bis m + n. Also sind die m + n Zeilenvektoren linear abh¨angig und es folgt r (A) m + n 1.
Andererseits sind die m + n 1 Spaltenvektoren mit den Indizes 1, 2, . . . , n, n + 1, 2n + 1, . . . , (m 1)n + 1 linear unabh¨angig, also r (A) m + n 1.
Insgesamt folgt r (A) = m + n 1.
Zuordnungsproblem
Definition 1.5
Das Optimierungsproblem min X
ni=1
X
n j=1c
ijx
ijunter den Nebenbedingungen
X
n j=1x
ij= 1 f¨ur i = 1, . . . , n X
ni=1
