Parallele L¨osung großer Gleichungssysteme

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Parallele L¨osung großer Gleichungssysteme

Peter Bastian

Universit¨at Heidelberg

Interdisziplin¨ares Zentrum f¨ur Wissenschaftliches Rechnen Im Neuenheimer Feld 368, D-69120 Heidelberg email: Peter.Bastian@iwr.uni-stuttgart.de

March 31, 2009

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Outline

1 Elliptisches Modellproblem

2 Anwendungsbeispiel: Tracer Transport

3 Anwendungsbeispiel: Dichtegetriebene Grundwasserstr¨omung

4 Anwendungsbeispiel: Mehrphasenstr¨omung

5 L¨osung linearer Gleichungssysteme

6 Inhalt der Vorlesung

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Elliptisches Modellproblem

Findeu : Ω→Rso dass

− Xn

i=1

Xn

j=1

∂xi(K_ij(x)∂xju) =−∇ · {K(x)∇u}=f in Ω⊆Rⁿ u=g on ΓD ⊆∂Ω

−(K(x)∇u)·ν=j on ΓN =∂Ω\ΓD

Diskretisierung→ großes lineares Gleichungssystem Stationäre Wärmeleitung, K(x): Wärmeleitfähigkeit Elektrostatik

Gravitationspotential

Strömungsprozesse in porösen Medien; Grundwasserströmung Strömung inkompressibler Fluide, Navier-Stokes-Gleichungen Lineare Elastizität

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Anwendungsbeispiel: Tracer Transport

Transport of a Tracer

Darcy’s law:

∇ ·u =f in Ω, u =−K

µ(∇p−̺g), K(x) is a geostatistically generated permeability field Ω covers about 1000 correlation lentghs

Transport of a conservative tracer:

∂(Φ̺C)

∂t +∇ ·j =q in Ω, j =̺Cu−D∇C, whereD is (very) small (convection dominated transport)

Initial condition:

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Two-dimensional Results

Concentration after about 100 correlation lengths:

Four other realizations (800 correlation lengths):

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Dreidimensionale Berechnung

Gitter: 4604×384×256≈4.5·10⁸ Zellen, ≈3·10⁴ Zeitschritte Zellzentrierte FV-Methode, Godunov-Verfahren 2ter Ordnung Parallele Berechnung auf 384 Prozessoren

Visualisierung ist eine Herausforderung

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Anwendungsbeispiel: Dichtegetriebene Grundwasserstr¨omung

Instabile Schichtung

brine, 1200 kg/m3

water, 1000 kg/m3

periodic boundary conditions

perturbation

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Dichtegetriebene Grundwasserstr¨omung

Str¨omungsgleichung:

∇·u+r = 0, u =−K

µ(∇p−̺(C)g), ̺(C) = C̺b+(1−C)̺₀ in Ω Transport des gel¨osten Salzes:

∂(Φ̺0C)

∂t +∇ ·j +q = 0, j =̺₀Cu−̺₀D(u)∇C Bussinesq Approximation

Entkoppeltes L¨osungsverfahren

Zellzentrierte FV, Godunov-Verfahren 2ter Ordnung

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Simulationsergebnisse

2d 3d

Gittergröße: 1024×1024×768 Zellen, ca. 9000 Zeitschritte 30 Sekunden für eine Lösung der Druckgleichung

Anwendung: Biosanierung, Str¨omung um einen Salzstock

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Anwendungsbeispiel: Mehrphasenstr¨omung

Zweiphasenstr¨omung

Unbekannte: globaler Druck p, S¨attigung S_n (fraktionale Flussformulierung):

∇ ·u =q in Ω, u =−λ(S_n)K(∇p−G(S_n)) Φ∂Sn

∂t +∇ ·j =q_n in Ω, j =f_n(S_n)w(S_n,u)−h(S_n)K∇p_c(S_n) mit

λ^α = k_rα(S^α) µα

λ=λw +λn G = λw̺w +λn̺n

λ g

f_n = λn

λ h= λnλw

λ w(S_n,u) =u−λw(̺w −̺n)Kg Elliptische Druckgleichung, hyperbolische/parabolische

S¨attigungsgleichung

Erweiterung auf Mehrphasen/Mehrkomponentenmodell

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Zweiphasenströmung in geklüftet porösen Medien

Anwendungen:

Lagerung gef¨ahrlicher Stoffe Bodensanierung

Erd¨olgewinnung

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L¨osung linearer Gleichungssysteme

Solution of Linear Systems

We want to solve

Ax =b with Alarge and sparse

Aobtained from discretization and linearization of a PDE

Direct methods work always (slow) Iterative methods (may) work fast Multigrid is potentially a very fast

Time complexity of typical solvers for a finite element problem Constant number of entries/row N is the number of unknowns.

h =√^d

N, kr^kk ≤εkr⁰k

Dimension d= 2 d= 3

Gaussian elimination O(N³) O(N³)

Banded Gauss O(N²) O(N^2.33)

Nested Disection O(N^1.5) O(N²)

GS, Jacobi O(N²) O(N¹^.⁶⁷)

CG, SOR O(N¹^.⁵) O(N¹^.³³)

SSOR–CG O(N¹^.²⁵) O(N¹^.¹⁷)

Multigrid O(N) O(N)

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Bewertung paralleler Algorithmen

Laufzeiten

T_best(N): Laufzeit des besten sequentiellen Algorithmus in Abhängigkeit der ProblemgrößeN T_P(N,P): Laufzeit des zu unter- suchenden parallelen Algorithmus in Abhängigkeit von Problemgröße N und Prozessorzahl P

Speedup

S(N,P) = T_best(N) T_P(N,P) Es gilt 0≤S(N,P)≤P

Effizienz

E(N,P) = S(N,P) P Es gilt: 0≤E(N,P)≤1 Skalierbarkeit:

N =const

N = N(P) s. t. T_P(N,P) = const

N =N(P) s. t. M(P) = const N = N(P) s. t. E_P(N,P) = const

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Speedup Mehrgitterl¨oser auf Helics

0 100 200 300 400 500 600

0 100 200 300 400 500

Beschleunigung

ideal festes Problem wachsendes Problem

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HELICS Cluster (one half)

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Inhalt der Vorlesung

Inhalt

(Kurze) Einf¨uhrung in die Numerik partieller Differentialgleichungen

Teilraumkorrekturverfahren

Uberlappende Gebietszerlegungsverfahren¨

geometrische und algebraische Mehrgitterverfahren Nicht¨uberlappende Gebietszerlegungsverfahren

Algorithmisches Verst¨andnis der Methoden und deren mathematische Analyse

Praktische ¨Ubungen am Parallelrechner (Pool) www.dune-project.org

Smith, Bjorstad, Gropp: Domain Decomposition, Cambridge University Press, 1996.

Toselli, Widlund: Domain Decomposition Methods — Algorithms and Theory.

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Weitere Veranstaltungen der AG ParRech

Seminar “Scientific Software Development” mit B. Paech, S.

Sager

Vorbesprechung heute 13.15 - 14.15 Uhr in INF 348 R 013.

Software-Praktikum Wissenschaftliches Rechnen Vorbesprechung heute 13.15 Uhr, IWR INF 368, R 420 Seminar Modellierung und Simulation in den Neurowissenschaften

S. Lang, Di; w¨och; 14:00 - 16:00; INF 368 / 532 Vorlesung Simulationswerkzeuge

S. Lang, Mi; w¨och; 14:00 - 16:00; INF 350 / OMZ R U013

Vorlesung Numerik von Transportprozessen in por¨osen Medien

Parallele L¨osung großer Gleichungssysteme