Chomsky NF und bin¨ are B¨ aume

(1)

Kap. 3: Grammatiken Kontextfreie 3.3

kontextfreie Sprachen (Typ 2)

→ Abschnitt 3.3

• wichtige n¨achste Stufe nach regul¨ar

• zul¨assige Produktionen bei Typ 2,ε6∈L: X →v, v 6=ε Versch¨arfung: Chomsky-Normalform: X →YZ undX →a Satz: jede Typ 2 Grammatik ohneε-Produktionen

ist ¨aquivalent zu Chomsky NF Grammatik

Beweisidee zur Transformation in Chomsky NF (Satz 3.3.2):

– ersetze aauf rechten Seiten durch neues Z_a neue Produktionen Z_a→a

– eliminiere X →Y Produktionen (durch shortcuts) – eliminiere X →Y₁. . .Y_k Produktionen f¨urk >2

FGdI I Sommer 2010 M Otto 97/136

Chomsky NF und bin¨ are B¨ aume

Ableitungsschritt X →YZ bin¨are Verzweigung X →a keine Verzweigung

X

vvnnnnnnnnnnn

@

@@

@@ Y

~~|||||

A

AA

AA Z

Y⁰

Z⁰

a a⁰ a⁰⁰

Ableitungsbaum mit innerenKnotenf¨ur X in X →YZ Anwendungen

Lemma 3.3.3

in Chomsky NF GrammatikG:

w ∈L(G) hat Ableitung der L¨ange 2|w| −1.

Beweise induktiv ¨uber L¨ange `

der Ableitung vonw ∈(V ∪Σ)⁺

|w |

V

+ 2|w|

Σ

= ` + 1

kontextfreie Sprachen: Abschlusseigenschaften

Abschluss unter Vereinigung, Konkatenation, Stern

(Satz 3.3.7) Zu gegebenen Typ 2 Grammatiken fürL₁,L₂,Lfinde explizit Typ 2 Grammatiken fürL₁∪L₂, für L₁·L₂, bzw. fürL^∗

z.B.: seien G⁽ⁱ⁾= (Σ,V⁽ⁱ⁾,P⁽ⁱ⁾,X₀⁽ⁱ⁾) kontextfrei,V⁽¹⁾∩V⁽²⁾=∅ G = (Σ,V,P,X₀) mitL(G) =L(G⁽¹⁾)·L(G⁽²⁾):

V := V⁽¹⁾∪V⁽²⁾∪ {X₀} X₀ neu P := {X₀→X₀⁽¹⁾X₀⁽²⁾} ∪ P⁽¹⁾ ∪ P⁽²⁾ kein Abschluss unter Durchschnitt/Komplement!

→ sp¨ater

noch ein Pumping Lemma

→ Abschnitt 3.3.3 L⊆Σ^∗ kontextfrei ⇒

existiertn∈Nsodass sich jedesx ∈Lmit|x|>n zerlegen l¨asst in x =yuvwz,uw 6=ε,|uvw|6n, und f¨ur alle m∈N

y ·u^m·v ·w^m·z =y ·u· · ·u

| {z }

mmal

·v ·w· · ·w

| {z }

mmal

·z ∈L.

Beweis(Satz 3.3.8):

L=L(G),G in Chomsky NF,n:= 2^|V^|. F¨urx ∈L(G),|x|>n, hat jeder

Ableitungsbaum zwei geschachtelte Vorkommen desselbenX

Findeuvw wie in Skizze

•

//////////////

////////

X

•X

//////

/////

| {z }

u | {z }

v | {z }

w

| {z }

v⁰

Beispiel: {aⁿbⁿcⁿ:n ∈N}nicht kontextfrei

(2)

Kap. 3: Grammatiken CYK 3.3.4

Erinnerung: Wortprobleme als Entscheidungsprobleme

Wortproblem zuL⊆Σ^∗: Eingabe: w ∈Σ^∗ Entscheide, obw ∈L

L¨osung durch Algorithmus Amit w A

−→

“ja” fallsw ∈L akzeptieren

“nein” fallsw 6∈L verwerfen definite Entscheidung

im Gegensatz zu: Akzeptieren wie bei NFA

Erzeugen/Ableiten wie in Grammatik

CYK Algorithmus

→ Abschnitt 3.3.4 effizienter Algorithmus f¨ur das kontextfreie Wortproblem

fürG in Chomsky NF (ProduktionenX →a undX →YZ) berechne zuw =a₁. . .a_n systematisch für alle Teilwörter w_i,j =a_i. . .a_j (16i 6j 6n)

V(i,j) :={X ∈V:X →^∗_G w_i,j} dynamisches Programmieren rekursive Auswertung f¨ur i <j: (mit wachsender L¨ange j −i+ 1)

X →^∗_G w_i,j gdw

f¨ur eink miti 6k <j und einX →YZ ist Y →^∗_G w_i,k und Z →^∗_G w_k+1,j

Cocke, Younger, Kasami

CYK Algorithmus: Wortproblem in ∼ |w|³ Schritten entscheidbar.

das Wichtigste aus Kapitel 3

Grammatiken und Erzeugungsprozesse Niveaus derChomsky-Hierarchie

Normalformund Pumping Lemmaf¨ur kontextfreie Sprachen

Kapitel 4: Berechnungsmodelle:

Turingmschinen (DTM/NTM) Kellerautomaten (PDA)

Endliche Automaten (DFA/NFA) X

(3)

Kap. 4: Berechnungsmodelle

Berechnungsmodelle

• prinzipielle Fragen:

Was l¨asst sich berechnen? (z.B. Wortprobleme)

• qualitativ-quantitative Fragen:

Wie schwer ist ein algorithmisches Problem?

Komplexit¨atshierarchien? (z.B. in Chomsky-Hierarchie)

Algorithmus =

(Berechnungs-)Verfahren nachAl Chwarismi (Bagdad, um 800), latinisiert zu Algoritmi

Kap. 4: Berechnungsmodelle PDA 4.1

Kellerautomaten (PDA)

→ Abschnitt 4.1

PDA = NFA + Kellerspeicher (stack, push-down storage) Konfigurationjeweils bestimmt durch

• Zustand

• Position in der Eingabe

• Kellerinhalt

erlaubte (nichtdeterministische) Übergängeabhängig von

• Zustand

• oberstem Kellersymbol

• n¨achstem Eingabesymbol Ubergang¨ resultiert in

• Zustandswechsel

• (optional) Vorr¨ucken in Eingabe

• pop und push im Keller:

– Entfernen des obersten Kellersymbols (pop) – Einschreiben eines Wortes in Keller (push)

PDA P = Σ,Q,q₀,∆,A,Γ,# :

Σ Eingabealphabet Q Zustandsmenge

Γ Kelleralphabet q₀ ∈Q Anfangszustand

#∈Γ Anfangs-Kellersymbol A⊆Q akzeptierende Zust¨ande endliche ¨Ubergangsrelation:

∆ ⊆ Q × Γ × (Σ ∪ {ε}) × Γ

^∗

× Q

Konfigurationen: C = (q,v, α)∈Q×Σ^∗×Γ^∗:

q∈Q aktueller Zustand,

v ∈Σ^∗ Restabschnitt des Eingabewortes, α∈Γ^∗ aktueller Kellerinhalt.

Startkonfiguration auf Eingabe w: C₀[w] = (q₀,w,#) Nachfolgekonfigurationen zu C = (q,v, α),α=γ αrest, γ ∈Γ oberstes Kellersymbol, Keller nicht leer:

C⁰= (q⁰,v⁰, α⁰) mit v=xv⁰ α⁰=β αrest

f¨ur ein (q, γ,x, β,q⁰)∈∆.

PDA Berechnungen

Startkonfiguration aufw =a₁. . .a_n q↑₀

. . .

a₁a₂ a_n

C

₀

[w]

#

typische KonfigurationC aufw =a₁. . .a_n

↑q

. . . .

a₁a₂ b a_n

v

z }| {

C

^.._.

γ o

α_rest

(4)

PDA Berechnungen

↑q

. . . .

a₁a₂ b a_n

v

z }| {

C

^.._.

γ o

α_rest

Nachfolgekonfiguration von C zu (q, γ,b, β,q⁰)∈∆

q↑⁰

. . . .

a₁a₂ b a_n

v⁰

z }| {

... ...

β o

αrest

C

⁰

Nachfolgekonfiguration von C zu (q, γ, ε, β,q⁰)∈∆

q↑⁰

. . . .

a₁a₂ b a_n

v⁰

z }| {

... ...

β o

α_rest

C

⁰

PDA Berechnungen

(terminierende) Berechnung von P auf Eingabew ∈Σ^∗: KonfigurationsfolgeC₀. . .C_f, wobei

C₀=C₀[w] = (q₀,w,#),

C_i+1 eine Nachfolgekonfiguration vonC_i, 06i <f, C_f Endkonfiguration ohne anwendbare Transition Notation:

C

₀

[w] −→

^P

C

_f

akzeptierende Berechnung: C_f = (q, ε, ε) mit q ∈A von P akzeptierte Sprache:

L(P) =

w ∈Σ^∗:C₀[w]−→^P (q, ε, ε) f¨ur einq ∈A

Beispiel: PDA f¨ ur Klammersprache

P = {(,)},Q,q₀,∆,{q₀},Γ,#

, Q =A={q}, ein Zustandq=q₀ Γ ={|,#}

Transitionen:

(q,#,(,|#,q) verarbeitet “(” und addiert “|” im Keller (q, | ,(, || ,q) verarbeitet “(” und addiert “|” im Keller (q, | ,), ε ,q) verarbeitet “)” und l¨oscht ein “|” im Keller (q,#, ε , ε ,q) ε-Transition, die # l¨oscht

Idee: Kellerspeicher als Z¨ahler f¨ur |u|(− |u|)

Satz: kontextfrei = PDA-erkennbar

Satz 4.1.5 F¨urL⊆Σ^∗ sind ¨aquivalent: (i) Lkontextfrei.

(ii) L=L(P) f¨ur einen PDA P.

Beweis

(i) ⇒ (ii): aus L=L(G), G = (Σ,V,P,X₀) kontextfrei, gewinne PDA P = (Σ,Q,q₀,∆,A,Γ,#) Q=A={q},q₀=q

Γ =V ∪Σ, # =X₀

Transitionen: (q,X, ε, α,q) f¨ur Produktionen X →α vonG (q,a,a, ε,q) f¨ur jedesa∈Σ.

(ii) ⇒ (i): ausL=L(P),P = (Σ,Q,q₀,∆,Γ,#), gewinne kontextfreies G = (Σ,V,P,X₀)

Idee: Ableitungsschritte von G ≈Berechnungsschritte vonP

(5)

Kap. 4: Berechnungsmodelle Turingmaschinen 4.2

Turing: prinzipielle Berechenbarkeit

→ Abschnitt 4.2

Alan Turing (1912 – 1954)

Pionier der modernen Theorie der Berechenbarkeit prinzipielle Grenzen

und M¨oglichkeiten

Turingmaschinen: DTM

→ Abschnitt 4.2

DTM = DFA + unbeschr¨ankter Lese/Schreibzugriff Eingabe-/Arbeitsspeicher: unbeschr¨ankte Folge von Zellen

als “Band” mit Lese/Schreibkopf Konfigurationbestimmt durch

• Zustand (q ∈Q)

• Position auf dem Band

• Bandbeschriftunng

Ubergang in Nachfolgekonfiguration¨ abh¨angig von

• Zustand

• aktuell gelesenem Bandsymbol Ubergang¨ resultiert in

• Zustandswechsel

• Schreiben

• Kopfbewegung (<,◦, >)

DTM M= Σ,Q,q₀, δ,q⁺,q⁻ Q Zustandsmenge q₀∈Q Anfangszustand

q⁺/q⁻∈Q akzeptierender/verwerfender Endzustand, q⁻6=q⁺ δ ”Ubergangsfunktion

δ:Q×(Σ∪ {2})→(Σ∪ {2})× {<,◦, >} ×Q Konfigurationen:

C = (α,q,x, β)∈(Σ∪ {2})^∗×Q×(Σ∪ {2})×(Σ∪ {2})^∗ α: Bandinhalt links vom Kopf

x: Bandinhalt in Kopfposition β: Bandinhalt rechts vom Kopf q: aktueller Zustand

Startkonfiguration auf Eingabe w: C₀[w] := (ε,q₀,2,w) Nachfolgekonfiguration: C 7−→C⁰ gem¨aßδ . . .

Endkonfigurationen: q∈ {q⁺,q⁻}, akzeptierend/verwerfend

Kap. 4: Berechnungsmodelle Aufz¨ahkbarkeit/Entscheidbarkeit 4.3

DTM: Akzeptieren und Entscheiden

→ Abschnitt 4.3

von DTMM akzeptierte Sprache

L(M) ={w ∈Σ^∗: M akzeptiertw }={w ∈Σ^∗:w −→^M q⁺} Entscheidung (des Wortproblems) von L

M entscheidet Lfalls f¨ur allew ∈Σ^∗: w −→^M

q⁺ f¨urw ∈L

q⁻ f¨urw 6∈L definit!

L entscheidbar(rekursiv):

Lvon einer DTM entschieden

L aufz¨ahlbar(rekursiv aufz¨ahlbar, semi-entscheidbar):

Lvon einer DTM akzeptiert