Bin¨ are Suchb¨ aume - Aufbau

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Algorithmen und Datenstrukturen 11

Stefan Ploner

17. Januar 2012

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Besprechung Blatt 10 Binary Search Hashing Vorbereitung Blatt 11

1 Besprechung Blatt 10 Fragen

2 Binary Search

Bin¨are Suche in Arrays

Bin¨are Suchb¨aume (Binary Search Tree) 3 Hashing

Kollisionsaufl¨osung 4 Vorbereitung Blatt 11

Hinweise Zirkul¨are Arrays

Anonyme und innere Klassen

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Fragen zu Blatt 10?

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Besprechung Blatt 10 Binary Search Hashing Vorbereitung Blatt 11 Bin¨are Suche in Arrays

Zur Erinnerung: Binary Search sucht nach einem Element in einer sortierten Datenstruktur nach dem Divide and Conquer Prinzip.

Vorraussetzungen

• Sortiert

• Zugriff ¨uber Index in O(1)

• ⇒ Arrays

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Algorithmus

• Array leer→ Element nicht enthalten

• sonst: gesuchten Wert mit mittlerem Element vergleichen

• Element gleich→gefunden

• Element zu groß→gesuchtes Element liegt links

• Element zu klein→gesuchtes Element liegt rechts

• beginne die Suche im eingegrenzten Array von Neuem

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Besprechung Blatt 10 Binary Search Hashing Vorbereitung Blatt 11 Bin¨are Suche in Arrays

Bei der bin¨aren Suche ist es egal, ob man Zahlen oder irgendwelche anderen Elemente durchsucht, f¨ur die eine feste Ordnung definiert ist. (→Comparable-Interface)

Problem

• die Suche ist damit in logarithmischem Aufwand

• aber: Einf¨ugen in sortiertes Array hat Aufwand O(n)!

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Bin¨ are Suchb¨ aume - Aufbau

Baumstruktur, das heißt:

• ein Wurzelelement (vgl. mit Head in Listen)

• mehrere Kinder erlaubt (hier Bin¨arbaum →max. 2!)

• wie bei Listen ist der Speicherverbrauch dynamisch von der momentanen Anzahl der Elemente abh¨angig.

Anordnung (¨uber Wert selbst oder “Key”):

• “kleinere” Kinder links

• “gr¨oßere” (und wenn erlaubt gleiche) Kinder rechts

Im folgenden sind keine doppelten Keys (bzw. Werte, wenn nach diesen sortiert wird) erlaubt.

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Besprechung Blatt 10 Binary Search Hashing Vorbereitung Blatt 11 Bin¨are Suchb¨aume (Binary Search Tree)

Suchen

• Baum leer→ Element nicht enthalten

• sonst: gesuchtes Element mit Wurzel vergleichen

• Element gleich→gefunden

• Element zu groß→ges. Element liegt in linkem Unterbaum

• Element zu klein→ges. Element liegt in rechtem Unterbaum

• beginne die Suche im Unterbaum von Neuem

Im Prinzip eine bin¨are Suche auf einer verzeigerten Datenstruktur.

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Einf¨ ugen

• beginne mit einer Suche nach dem Element diese bricht an 2 Stellen ab:

• Abbruch bei leerem Restbaum→ Element an diese Stelle einf¨ugen

• Element gefunden - je nach Wunsch

• Element verwerfen, da bereits enthalten

• bei Sortierung ¨uber Keys k¨onnte ein Ersetzen sinnvoll sein

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Besprechung Blatt 10 Binary Search Hashing Vorbereitung Blatt 11 Bin¨are Suchb¨aume (Binary Search Tree)

L¨ oschen

(In der Hausaufgabe nicht ben¨otigt.)

• beginne mit einer Suche nach dem Element

• diese bricht an 2 Stellen ab:

• Abbruch bei leerem Restbaum→ Element ist nicht enthalten

• Element gefunden→ Element l¨oschen

Beim L¨oschen gibt es 3 M¨oglichkeiten, es darf kein Loch entstehen

• Element ist ein Blatt → beim L¨oschen entsteht kein Loch, ok

• Element hat ein Kind → Kind an Stelle des Elements h¨angen

• Element hat zwei Kinder → Element durch ein innerstes Kind ersetzen (siehe n¨achste Folie)

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L¨ oschen

Beispiel: L¨oschen eines Elements mit 2 Kindern

Die 6 und die 9 sind die “innersten” Kinder - alle anderen

Unterelemente sind sowohl von der Zahlenordnung als auch von der horizontalen Position gesehen weiter von der 7 (Mitte) entfernt.

Quelle: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Binary search tree delete.svg

Daher bleibt die Suchbaumeigenschaft beim Ersetzen erhalten.

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Besprechung Blatt 10 Binary Search Hashing Vorbereitung Blatt 11 Kollisionsaufl¨osung

Zur Erinnerung:

• eine Hashfunktion bildet Keys auf ihre Werte ab (bzw. auf deren Speicheradressen)

• im Optimalfall wird jede Speicherzelle nur von einem verwendeten Key getroffen, dadurch direkter Zugriff

• da man nicht für alle möglichen Keys Speicherplatz anlegen kann, muss es Überschneidungen geben

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Kollisionsaufl¨ osung mit verketteten Listen

Hashtablestruktur: Array aus Listen, erst in diese wird eingef¨ugt Vorteile:

• beliebig viele Elemente

• Kollisionen st¨oren andere Pl¨atze nicht Nachteile:

• Zus¨atzliche Listenstruktur notwendig

• Dadurch entsteht zus¨atzlicher Aufwand

Vorsicht: Entweder immer vorne oder immer hinten in die Listen einf¨ugen.

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Besprechung Blatt 10 Binary Search Hashing Vorbereitung Blatt 11 Kollisionsaufl¨osung

Kollisionsaufl¨ osung mit Sondieren (open adressing, probing)

Hashtablestruktur: Array, dass die Elemente direkt enth¨alt.

Vorteile:

• keine zus¨atzliche Listenstruktur notwendig Nachteile:

• max. so viele Elemente, wie Arrayelemente vorhanden sind

• die ¨Uberpr¨ufung, ob ein Eintrag bereits enthalten ist, wird komplizierter

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Sondierungsverfahren

• es gibt verschiedenste Sondierungsverfahren (linear, quadratisch, double hashing)

• am ¨uberschaubarsten ist lineares Sondieren

Bei schlechten Sondierungsverfahren kann es passieren, dass Elemente nicht eingef¨ugt werden k¨onnen, obwohl der Hashtable nicht voll ist.

Beispiel: Hashtable mit L¨ange 9, Schrittweite 3

• ²

3 der (m¨oglicherweise freien) Elemente werden nicht erreicht

• bei linearem Sondieren tritt das Problem auf, wenn Schrittweite und Arrayl¨ange gemeinsame Teiler haben

• mit Primzahlen als Arrayl¨ange kann das nicht passieren

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Besprechung Blatt 10 Binary Search Hashing Vorbereitung Blatt 11 Hinweise

11.1: Telefonbuch

Zum Rumspielen mit bin¨aren Suchb¨aumen Link auf dem Ubungsblatt oder Java-Applet hier¨

http://www.site.uottawa.ca/ stan/csi2514/applets/avl/BT.html (Haken bei AVL rausnehmen!) verwenden

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11.2: Modifizierte Bin¨ arsuche

• hier muss man die Idee verstehen, die Implementierung ist sehr einfach

• Uberschrift beachten!¨

• kann man durch Betrachten eines Elements eine komplette H¨alfte ausschließen?

• Aufzeichnen von ein paar Sortierten Reihungen sehr hilfreich

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Besprechung Blatt 10 Binary Search Hashing Vorbereitung Blatt 11 Hinweise

11.3: RingQueue

• die zugrunde liegende Datenstruktur muss ein Array sein

• verzeigerte Datenstrukturen sind nicht erlaubt

• vlt. hilft das Generic-Beispiel des letzten Foliensatzes

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Zirkul¨ are Arrays

• Index des Folgeelements = (akt. Index + 1) % Arrayl¨ange

• damit man in O(1) hinzuf¨ugen / entfernen kann, muss man sich den Index des letzten / ersten Queueelements merken

• Preisfrage: Wie merkt man, ob das Array voll ist?

• wof¨ur die “voll”-Variable der Vorlesungsfolie gedacht ist, bleibt mir verborgen

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Besprechung Blatt 10 Binary Search Hashing Vorbereitung Blatt 11 Anonyme und innere Klassen

Anonyme Klassen

• Grundidee: Deklaration und direkte Verwendung einer Klasse in einer Methode

• die Klasse hat keinen Namen, aber eine Instanz

• statischer Typ der Klasse ist wie von Vererbung bekannt eine beliebige Vaterklasse

• das normalerweise in der Kindklasse durchgef¨uhrte Uberschreiben von Methoden wird hier direkt bei der¨ Verwendung durchgef¨uhrt

• nur sinnvoll wenn nur an dieser einen Stelle Instanzen dieser Klasse angelegt werden sollen

Verwendung an anderen Stellen im Code nur ¨uber Methoden des statischen Typs der Instanz m¨oglich, wenn sie z.B. von einer

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public Enumeration enumerate() {

return new Enumeration() { // anonymous class MyClass cur;

{ cur = head; } // replace constructor public boolean hasMoreElements() {

return (current != null);

}

public Object nextElement() { if (cur == null)

throw new NoSuchElementException();

Object res = cur;

cur = cur.getNext(); // declared in MyClass return res;

}

}; // semicolon required!

}

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Innere Klassen

• Grundidee: Deklaration und Verwendung einer Klasse in einer anderen (“¨außeren”) Klasse

• die innere Klasse ist nur in dieser Klasse bekannt (private!)

• alle von Klassen bekannte M¨oglichkeiten sind f¨ur innere Klassen ebenso anwendbar (Vererbung, Konstruktoren, Methoden, ...)

Verwendung an anderen Stellen im Code nur indirekt über die (die innere Klasse enthaltende) äußere Klasse möglich!

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public class IntegerArray { private int[] data;

private class EvenIterator { // inner class private int next = 0;

public boolean hasNext() {

return (next <= data.length - 1);

}

public int getNext() { int res = data[next];

next += 2;

return res;

} } }

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Evaluation

Der Evaluationszeitraum endet am 31.01.

Danke im vorraus.