Einführung in die Stochastik Übungsblatt 12

Einführung in die Stochastik Übungsblatt 12

Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010

Dr. Robert Schlicht 6. Juli 2010

Dr. Mehdi Slassi

Dipl. Math. Andreas Fromkorth

Aufgabe 12.1 (Lösungsvorschlag)

a)

EX₁= Z

R

x·f(x)d x

= Z2θ

θ

x· 1 θd x

=3 2θ. T_n(X₁, . . . ,X_n)ist erwartungstreuer Schätzer fürθ,da

E_θ

T_n(X₁, . . . ,X_n)

=E_θ



 2 3·n

n

X

i=1

X_i





= 2 3·nE_θ

X₁

=2 3·3

2θ

=θ für alleθ >0.

b) Der Schätzer ist auch konsistent, da nach dem Gesetz der großen Zahlen gilt:

T_n(X₁, . . . ,X_n)→^f.s.2

3·E_θ(X₁) =θ für alleθ >0.

Aufgabe 12.2 (Lösungsvorschlag)

Es gilt

E

T_n X₁, . . . ,X_n

= 1 10·n

n

X

i=1

E”

1_[0,10] X₁—

= 1 10·n

n

X

i=1

1·P”

1_[0,10] X₁=1—

= 1 10·n

n

X

i=1

10·α

=α Es gilt nach dem starken Gesetz der großen Zahlen

T_n X₁, . . . ,X_n

= 1

10·n

n

X

i=1

1_[0,10] X_n

→ 1 10E”

1_[0,10] X₁—

=α fast sicher, womit der Schätzer auch konsistent ist.

1

Aufgabe 12.3 (Lösungsvorschlag)

0 2 4

6 8 10

F5 x

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

empirische Verteilungsfunktion f?r n=5 mit Beobachtungen

X1

= 1,

= 3,

=

= 5,

= 7

a) Fürnfest istF_nals Summe von Indikatorfunktionen von Intervallen der Form(−∞,x]streng monoton wachsend, rechtsseitig stetig und erfüllt

xlim→∞F_n(x) =1 und lim

x→−∞F_n(x) =0.

Also handelt es sich beiF_num eine Verteilungsfunktion.

b)

E F_n(x) = E 1 n

n

X

i=1

1_(−∞,x](Xi)

!

= 1 n

n

X

i=1

E€

1_(−∞,x](Xi)Š

ident. vert.

= E€

1_(−∞,x](X)Š

=P(X∈(−∞,x]) =P[X≤x] =F(x).

c) DaX,X₁,X₂, . . . unabhängig und identisch verteilt sind, gilt dies auch für 1_(−∞,x](X), 1_(−∞,x](X₁), 1_(−∞,x](X₂), . . . .

Die Indikatorfunktionen sind reellwertig und integrierbar. Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen von Kolmo- goroff folgt nun

1 n

n

X

i=1

1_(−∞,x](X_i)→E€

1_(−∞,x](X)Šs.o.

= F(x) f.s. (n→ ∞).

d) Die ZufallsvariableY=1_(−∞,x](X)nimmt nur die Werte0und1an, wobei gilt

P[Y =1] =P[X≤x]undP[Y =0] =P[X >x] =1−P[X≤x].

Somit handelt es sich um eineb(1,p)verteilte Zufallsvariable mitp=P[X ≤x]. Daraus folgt, dassn·F_n(x)gerade die Summe vonnunabhängigenb(1,p)−verteilten Zufallsvariablen, alsob(n,p)−verteilt ist.

2

Aufgabe 12.4 (Lösungsvorschlag) a)

E_θ€

|T_n−g(θ)|²Š

= E_θ

T_n−E_θ(T_n) +E_θ(T_n)−g(θ)

2

= E_θ

T_n−E_θ(T_n)

2 +E_θ

E_θ(T_n)−g(θ)

2

+2·E_θ T_n−E_θ(T_n)

· E_θ(T_n)−g(θ)

= Var_θ(Tn) +

E_θ(Tn)−g(θ)

2+2· E_θ(Tn)−g(θ)

·E_θ T_n−E_θ(Tn)

= Var_θ(T_n) +

E_θ(T_n)−g(θ)

2+2· E_θ(T_n)−g(θ)

·0

= Var_θ(T_n) +

E_θ(T_n)−g(θ)

2.

b) WennT_nErwartungstreu ist, gilt

E_θ(T_n)−g(θ) =g(θ)−g(θ) =0.

Mit dem zuvor gezeigten folgt dann

E_θ€

|T_n−g(θ)|²Š

=Var_θ(T_n).

c) Setzt man

n→∞limVar_θ(T_n) =0

voraus, so erhält man mit der Ungleichung von Tschebyscheff P_θ

|T_n−g(θ)|> ε = P_θ

|T_n−E_θT_n|> ε

≤ 1

ε²Var T_n

→ 0 (n→ ∞).

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