Produktion von Seifenkisten

Produktion von Seifenkisten

Kosten & Preisuntergrenzen

Begeistert durch das vergangene Seifenkistenrennen in Leverkusen-Edelrath entschließt sich Herbert, sich mit der Produktion von Seifenkisten selbstständig zu machen.

Kostensituation

Um seine Investition auch kaufmännisch beurteilen zu können, macht er sich zunächst Gedanken über seine Kostensituation.

• Herbert hat dazu zum 1.1.2011 eine Werkstatt mit Maschinen gemietet (Vertragslaufzeit 2 Jahre). Das kostet ihn inklusive aller Nebenkosten 360 GE (Geldeinheiten) im Jahr.

• Je nach produzierter Menge schwanken die Material- und Lohnkosten (u.a. bedingt durch

Mengenrabatte und Überstundenzuschläge). Insgesamt lassen sich diese Kosten durch folgende Funktion darstellen. (x = 1 Mengeneinheit)

K

var

(x) = x

³

-2x

²

+ 10x

(Weitere Kosten entstehen nicht).

Somit lassen sich die Gesamtkosten (in Abhängigkeit von der produzierten Menge) durch folgende Funktion abbilden:

 Gesamtkosten:

K(x) = K

fix

+ K

var

(x)

=> K(x) = x³ - 2x² + 10x + 360

(1 ME entspricht 10 Stück /1 GE entspricht 50 Euro)

Herbert ist sich jedoch nicht so sicher, wie viele Einheiten er zu welchem Preis absetzen kann (d.h. seine Preisabsatzfunktion p(x) ist unbekannt).

Aus diesem Grund möchte er zunächst berechnen, welchen Preis er mindestens erzielen muss, um keine Verluste zu machen ( Preisuntergrenze).

Welchen Preis muss Herbert (langfristig) erzielen?

Er fragt sich:

Sollte er bis zum nächsten Rennen im September zum Beispiel 4 Mengeneinheiten produziert haben, zu welchem Preis (pro ME) muss er diese Seifenkisten dann verkaufen, wenn er keinen Verlust machen will.

=> Es entstehen Gesamtkosten in Höhe von: K(4) = 432



^Rechnung:

=> 432 : 4= 108 => Pro Mengeneinheit muss er mindestens 108 GE erzielen.

Allgemein lässt sich festhalten:

Um keine Verluste zu erzielen, muss der Preis mindestens so hoch sein, wie die



Durchschnittlichen Kosten

=

Stückkosten Damit sind alle Kosten gedeckt.

Die Stückkosten (= Durchschnittskosten) in Abhängigkeit von der produzierten Menge lassen sich so angegeben:



Stückkostenfunktion allg.: k(x) = K(x) / x

hier: k(x) =

x

²

- 2x + 10 + 360/x

Herbert möchte möglichst geringe Stückkosten haben.

Er fragt sich:

Wie viele Mengeneinheiten soll ich produzieren, so dass die Stückkosten möglichst gering sind?

 Minimum der Stückkosten allg.: k´(x) = 0 und k´´(x) < 0

Tipp: x

BO

ist ganzzahlig und kleiner 7

hier: k(x) = x

²

- 2x + 10 + 360/x = x

²

- 2x + 10 + 360 x

^-1

k`(x) = 2x - 2 + 360* (-1)*x

^-2

= 2x - 2 - 360 / x

²

= 0 <=> 2x

³

- 2x

²

= 360

<=> x

³

– x

²

- 180= 0;

Nullstelle: x

BO

= 6; k(6) = 94

k´´(x) = 2 + 720 /

x

³

=>

k´´(6) > 0

=>

Tiefpunkt TBO (6 | 94)

Begründung entweder durch Verlauf / rechnerischer Beweis, dass kein weiterer Tiefpunkt existiert.

Wenn Herbert 6 Mengeneinheiten produziert sind seine Stückkosten am geringsten.

Seine langfristige Preisuntergrenze beträgt bei dieser Menge dann: 94 GE

Merke

: Die Menge, bei deren Produktion die geringsten Durchschnittskosten entstehen, nennt man

Betriebsoptimum

. Diese Durchschnittskosten bilden die

langfristige Preisuntergrenze.

Welchen Preis muss Herbert kurzfristig erzielen?

Die Miete für die Werkstatt und die Maschinen hat er bereits bezahlt. Zudem kann er kurzfristig den Mietvertrag auch nicht kündigen (=> nicht entscheidungsrelevant). Also entstehen bei der Produktion unmittelbar - also kurzfristig - nur variable Kosten.

Um kurzfristig keine (bzw. nicht mehr) Verluste zu machen, muss Herbert bei einer Produktion von zum Beispiel 4 Mengeneinheiten also nur diese Kosten

Kvar (x) =

x

³

- 2x

²

+ 10x

= > Kvar (4) =72 decken.



^Rechnung:

=> 72 : 4= 18 => Pro Mengeneinheit muss er kurzfristig mindestens 18 GE erzielen.

Aber was bedeutet diese kurzfristige Preisuntergrenze genau?

Herbert vergleicht nun die folgenden (beliebig ausgewählte) Situationen:

Er produziert nichts, d.h. x = 0 Er produziert 4 ME und erzielt dafür je 20 GE

Kosten

K(0) = 360 K(4) = 432

Erlös=

Menge * Preis

E(0) = 0 E(4) = 4 * 20 = 80

Gewinn = Erlös -

Kosten

G(0) = 0 – 360 = -360 G(4) = 80 – 432 = -352



Folgerung:

Kann Herbert - kurzfristig gesehen - mehr als die variablen Stückkosten erzielen, stellt er sich mit der Produktion besser, auch wenn er insgesamt gesehen, Verlust macht.

Erzielt er nur genau die variablen Stückkosten ist der Gewinn / Verlust genauso hoch, als wenn er nichts (x=0) produzieren würde.

Herbert fragt sich jetzt: Bei welcher Menge sind die variablen Stückkosten am geringsten?

 Minimum der variablen Stückkosten

allg.: kvar´(x) = 0 und kvar´´(x) < 0

hier; kvar(x) =

x

²

- 2x + 10 = 0

k

var

´(x) = 2x -2 = 0 <=> x

BM

= 1 ;

^{kvar(1) = 9}

k

var

´´(x) = 2; k

var

´´(2) > 0 => =>

Tiefpunkt TBM (1 | 9 )

Wenn Herbert 1 Mengeneinheit(en) produziert sind seine variablen Stückkosten am geringsten.

Seine kurzfristige Preisuntergrenze beträgt bei dieser Menge dann: 9 GE

Merke: Die Menge, bei deren Produktion die geringsten variablen Durchschnittskosten entstehen, nennt man

Betriebsminimum. Diese Durchschnittskosten bilden die kurzfristige Preisuntergrenze.

Produktion von Seifenkisten Gewinne & Erlöse

Kostensituation

Seine Kosten hat Herbert fest im Griff, er ist sich sicher, dass seine Kostenfunktion so aussieht:

K(x) = x

³

- 2x

²

+ 10x + 360

Preise und Erlöse

Welchen Preis kann Herbert erzielen?

Da es kaum andere Anbieter gibt, kann sich Herbert nicht am Konkurrenzpreis orientieren.

Bei einer Umfrage bei potentiellen Interessenten stellt er fest:

Je höher der Preis, umso weniger kann er verkaufen. (

=>

typische Monopolsituation) Bei einem Preis von 102GE verkauft er gerade keine Seifenkiste mehr. Dieser Preis heißt:

Höchstpreis

Weiter stellt er fest: Mit jeder Geldeinheit, die er den Preis reduziert, kann er eine Mengeneinheit mehr absetzen (d.h. bei einem Preis von 101GE setzt eine 1 ME ab, bei 100 GE 2ME, bei 99 GE 3 ME, usw.).

Somit ergibt sich seine Preisabsatzfunktion:

p(x)= -x +102

Daraus ergibt sich: Unabhängig vom Preis kann er maximal

112

Einheiten absetzen. Diese Menge nennt man Sättigungsmenge.

Welchen Umsatz (=Erlös) erzielt Herbert?

Der Erlös / Umsatz berechnet sich aus Preis mal Menge, d.h.



Erlösfunktion

allg.: E(x) = p(x)*x hier: E(x) = -x

² + 102x

Wie viel Erlös kann Herbert maximal machen, welche Menge muss er dafür produzieren und welchen Preis kann er dann erzielen?

 Erlösmaximum

allg. gilt für das Erlösmaximum: E´(x)= 0 und E´´(x) < 0;

hier: E(x) = -x

²

+ 102x; E'(x) = -2x +102

E´´(x) = -2 < 0 => Es gibt nur einen Hochpunkt / keinen Tiefpunkt

-2x +102=0 <=> x=51; E(51)= 2601 => E

max

(51 | 2601); Preis: p(51)= 51;

Wenn Herbert 51 ME produziert, erzielt er den höchsten Erlös ( 2601 GE ). Er kann jede Mengeneinheit dann zu einen Preis von 51 GE absetzen.

Herbert überlegt, eigentlich ist der Gewinn die entscheidende Größe.

Wie viel Gewinn kann Herbert maximal machen? Wie viel muss er dann produzieren?

 Gewinnmaximum

allg.: G(x) = E(x) – K(x): im Maximum: G´(x)= 0 und G´´(x) < 0;

hier: G(x) = -x

³

+ x

²

+ 92x - 360

G´(x) = -3x

²

+ 2x + 92; G´´(x) =-6x + 2

-3x

²

+ 2x + 92 = 0 <=> x

²

- 2/3 x – 30 2/3 = 0 <=> x

²

- 2/3 x + 1/9 = 30 7/9

<=> (x - 1/3)

²

= 30 7/9 => x

1

= 5,55 + 0,33 = 5,8 ; x

2

außerhalb des Definitionsbereiches, da negativ.

G(5,9) = 12,23 und G´´(5,8) < 0 => Hochpunkt H(5,9 | 12,23); p(5,9)= 96,1 ; E(5,9) = 67,19 Wenn Herbert ca. 6 ME produziert, erzielt er den höchsten Gewinn. Er kann sie dann zu zu einen Preis von 96 GE absetzen.

Ab welcher Mengen (Gewinnschwelle) und bis zu welcher Menge (Gewinngrenze) macht er Gewinn?



Gewinnschwelle & Gewinngrenze (Gewinnzone) (Tipp: Die erste Nullstelle ist ganzzahlig und < 6)

allg.: G(x)= 0 ;

hier: G(x)= -x

³

+ x

²

+ 92x – 360 = 0 <=> x

³

- x

²

- 92x + 360 = 0 x

01

= 5 (Erratene Nullstelle)

Polynomdivision:

(x

³

- x

²

- 92x + 360):(x-5) = x

²

+ 4x – 72

x

²

+ 4x – 72= 0 <=> x

02

= 6,72; x

03

< 0 nicht im Definitionsbereich

Ab einer Menge von 5 und bis zu einer Menge von 6,72 wird Gewinn gemacht.