UNIVERSIT ¨AT KARLSRUHE SS 2007
INSTITUT F ¨UR ANALYSIS 02.06.2007
1. ¨Ubungsklausur
H¨ohere Mathematik II f¨ur die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geod¨asie
Aufgabe 1 (10 Punkte)
Gegeben sei das Anfangswertproblem
(∗) x2y00−7xy0+ 15y =x, y(1) =y0(1) = 0.
a) Um welchen Differentialgleichungstyp handelt es sich?
b) L¨osen Sie das Anfangswertproblem (∗) .
Aufgabe 2 (10 Punkte)
a) Entwickeln Sie f(x) = sinx, 0≤x≤π, in eine Cosinusreihe.
b) In welchem Sinn konvergiert die Reihe auf [0, π] ?
Geben Sie f¨ur jedes x∈[0, π] den Wert an, gegen den die Reihe konvergiert.
(Begr¨unden Sie.)
c) Geben Sie die Werte der folgenden beiden Reihen an:
∞
X
n=1
1
(2n+ 1)(2n−1) und
∞
X
n=1
(−1)n
(2n+ 1)(2n−1) .
Hinweis: Sie k¨onnen f¨ur c) ohne Beweis verwenden:
(Ff)(x) = 2 π +
∞
X
k=1
akcoskx (x∈R)
mit ak = 2((−1)k+ 1)
π(1−k2) , k= 2,3, . . . .
– bitte wenden –
Aufgabe 3 (10 Punkte)
Die Funktionenb1, b2, b3 und c1, c2, c3 seien gegeben durch
b1(x) = sin2x, b2(x) = sinxcosx, b3(x) = cos2x (x∈R) und
c1(x) = (sinx+ cosx) sinx, c2(x) = (cosx+ sinx) cosx, c3(x) = 1 (x∈R). Weiter sei V = Lin (b1, b2, b3) .
a) Zeigen Sie, dass durch Lv :=v0+ 2v eine lineare Abbildung L:V →V gegeben ist.
b) Zeigen Sie, dassb1, b2, b3 linear unabh¨angig sind.
c) Zeigen Sie, dassc1, c2, c3 eine Basis von V bilden.
d) Bestimmen Sie die zu
L: (V, {b1, b2, b3})−→(V, {c1, c2, c3}) geh¨orende Abbildungsmatrix.
Aufgabe 4 (10 Punkte)
Die Spalten der (4,4)–MatrixA seien gegeben durch
~a1 =
−1 1 1 0
, ~a2 =
0 1
−1 1
, ~a3 =
1 0 0 0
, ~a4 =
0 0 0 1
.
a) Berechnen Sie rang (A) und det (A).
b) Gegeben sei ~y ∈ C4. Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung des Gleichungssystems A~x=~y.
c) Berechnen Sie M ∩N f¨urM = Lin (~a1, ~a2) undN = Lin (~a3, ~a4).
d) Zeigen Sie, dass jeder Vektor ~b ∈ C4 eindeutig in der Form ~b = m~ +~n mit
~
m ∈M und ~n ∈N dargestellt werden kann.
Viel Erfolg!
Nach der Klausur:
Die korrigierten ¨Ubungsklausuren k¨onnen ab Mittwoch, den 13. Juni 2007, im Sekreta- riat (312) abgeholt werden.
Fragen zur Korrektur sind ausschliesslich am 14. Juni 2007 von 13.15 – 13.45 Uhr im Seminarraum S 33 m¨oglich.
