3. Atome. 1. Klassische Atomstruktur 2. Das Wasserstoffatom 3. Der Spin 4. Atome in äusseren Feldern 5. Atome mit mehreren Elektronen

3. Atome

1. Klassische Atomstruktur 2. Das Wasserstoffatom 3. Der Spin

4. Atome in äusseren Feldern

5. Atome mit mehreren Elektronen

3. Das Atom

Radioaktive Quelle

⊗

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B r

γ → ungeladen β⁻ → 1 × negativ geladen

α → 2 × positiv geladen

( )

^{α 8 10 m}

( )

^β

m ≈ ⋅ ⁴

1827 Brown: Existenz von Atomen/Molekülen ↔ Molekularbewegung 1911 Wilson: Erfindung der Nebelkammer

Existenz von Atomen, Ionen, Elektronen

1937 Ernst Müller: Erfindung des Feldemissionsmikroskops Direkte Beobachtung von Atomen

1932 Ruska: Erfindung des Elektronenmikroskops

1984 Binning, Rohrer: Erfindung des Rastertunnelmikroskops

1912 von Laue: Röntgenbeugung an Kristallen (Nobelpreis 1914) Messung von Atomgrößen (O(1 Å)) und Bindungsabständen 1896... Becquerel: Radioaktive Zerfälle (α-, β-, γ-Strahlung)

M. u. P. Curie Beobachtung von Atomkern-Zerfällen

(Nobelpreis 1927)

(Nobelpreis 1986)

(Nobelpreis 1903)

3.1. Atommodelle

3.1.1. Thomsonsches Atommodell

Hypothese (Thomson): Ein Atom ist eine homogen geladene Kugel gleich vieler positiver (Protonen) und negativer (Elektronen) Elementarladungen.

Streu-Target

(10 µm dünne Goldfolie) Experimenteller Test: Streuexperiment nach Rutherford

Radioaktive α-Quelle

α

E = O(10 MeV)

Detektor (drehbar)

θ

3.1.1. Thomsonsches Atommodell

Atom (ortsfest) Z Protonen

Streuebene

s

e Z Q = +

T (transversal)

R

Abschätzung der Streuwinkelverteilung:

• m_e ≪ m_p, m_α ⇒ Streuung an Elektronen kann vernachlässigt werden.

• Atomradius ≅ 0,1 nm, Foliendicke ≅ 10 µm ⇒ n ≅ 5⋅10³ Atomlagen.

α

• Streuung nur in durchkreuzten Atomen;

die anderen sind zu weit weg und insgesamt neutral.

• Die Streuwinkel pro durchkreuztem Atom sind extrem klein.

b

Stoßparameter

e z e 2 q

v m E

α ₂^{1 2}

≡ +

=

=

α in

α out

α

E E

E = =

α ϑ ≪ 1

Sicht gegen die s-Achse y

x b

ϑ

b_y ϕ

b_x

ϑ_x ϑ_y β

r r

F

r

3.1.1. Thomsonsches Atommodell

E 1 R 12

1 ε

4 π e Z z 12

R σ Κ

0 α 2 2

y ,

x = =

ϑ

Breite der Streuwinkelverteilung:

Atom (ortsfest) Z Protonen

Streuebene

s

e Z Q = +

T (transversal)

R b

Stoßparameter

e z e 2 q

v m E_α ¹₂ ²

≡ +

=

=

α in

α out

α

E E

E = =

α ϑ ≪ 1

Sicht gegen die s-Achse y

x b

ϑ

b_y ϕ

b_x

ϑ_x ϑ_y β

r r

F r

ϕ

=

ϕ

=

sin b b

cos b b

y x

ϕ ϑ

= ϑ

ϕ ϑ

= ϑ

sin cos

y x

Ablenkung:

E 1 R

1 ε

4 π

Z z Κ e

b R

b Κ

α 3

0 2

2 2

=

−

= ϑ

Tafelrechnung →

3.1.1. Thomsonsches Atommodell

Beispiel: ^{R 0,1 nm z 2 Z Gold 79 E α 5 MeV}

α = =

=

=

5 4 , 0 007

, 0 rad

10 3

, 1

σ ⁴

y ,

x = ⋅ ⁻ ≈ ≈ ′

ϑ o

Gesamtablenkung: ²_x ²_y

n

1 i

y y

n

1 i

x

x

θ θ θ θ

θ

i

i

= ϑ = +

ϑ

= ∑ ∑

=

=

Fehlerfortpflanzung: ^∆ ≡ ^{σ θ}_x = ^{σ θ} _y = ^{n σ} ϑ_x,y typisch O (1°) Zentraler Grenzwertsatz ⇒

2 ∆ exp θ

∆ 2 π

A N 2 ∆

θ 2 ∆

exp θ

∆ 2 π

A N d θ

d θ

N d

2 2 2

0 2

2 y 2

2 x 2

0 n

y x

2

 



 

 −

 =







 



 − −

=

^∞

→

# α-Teilchen pro Targetfläche A E

1 R 12

1 ε

4 π e Z z 12

R σ Κ

0 α 2 2

y ,

x = =

ϑ

Breite der Streuwinkelverteilung:

Ablenkung:

E 1 R

1 ε

4 π

Z z Κ e

b R

b Κ

α 3

0 2

2 2

=

−

= ϑ

3.1.1. Thomsonsches Atommodell

Das Tho

mson-M

odell ist u

nhaltbar dΩ

N d d

dθ θ

N d dθ

dθ

N

d ²

y x

2 ≈

= ϕ

ϕ

=

ϕ

= θ sin θ

cos θ

θ

y

x dΩ = sin θ dθ dϕ

E 1 E

1 R

1 12

n ε

4π e Z

∆ z

2∆ exp θ

∆ 2π

A N dΩ

N d

α 0 α

2

2 2 2

0

∝

=







 −

=

Eα

∆ ∝ 1

θ dΩ

N θ d

2π dθ

N

d =

∆ = O ( 1° )

( )

2^∆22

exp

θ

θ −

∝

Theorie

2∆ exp θ

∆ 2 π

A N 2∆

θ 2∆

exp θ

∆ 2 π

A N dθ

dθ

N d

2 2 2

0 2

2 y 2

2 x 2

0 n

y x

2







 −

 =











 − −

=^∞

→

(^{θ 2} )

sin 1 E

1

4 2

α

Experiment

∝

(Geiger, Marsden)

E_α [MeV]

10 20 30

Ω d

N d

θ = 60° fest

E_α|Knick ∝ cot(θ/2)

3.1.2. Rutherfordsches Atommodell

F r

δ

F

y

Hypothese (Rutherford): Ein Atom besteht aus einem praktisch punkt-

förmigen Kern der Ladung +Ze, der praktisch die gesamte Atommasse trägt.

Der Kern ist umgeben von einer ausgedehnten Hülle von Z Elektronen (→ Atomgröße), die die Kernladung perfekt abschirmt.

Streuung von α-Teilchen: Streuung nur in unmittelbarer Kernnähe

⇒ Mehrfachstreuungen sehr selten ⇒ betrachte nur Einfachstreuungen!

x y

b

Stoßparameter

α θ

Kern Q ==== Z e

Streuebene Q_α = z e

m_α

H y p erb el E_α , v_α

v_α δ

r r

Streuwinkel:

cot m v b E

_α

b

e Z z

ε 8 π 2

α e α

Z z

ε 4 π 2

θ

2 0 2

0

=

=

3.1.2. Rutherford Streuung

gerechnet für einen Einzelkern als Streutarget

σ = Wirkungsquerschnitt der α-Kern Streuung (Einheit m²)

= differentieller Wirkungsquerschnitt der α-Kern Streuung d Ω

d σ

Bezeichnung:

d Ω d σ d Ω

N d N

1

0

= Einzelkern

x y

b

Stoßparameter

α θ

Kern Q = Z e Streuebene

Q_α = z e m_α

H y p erb el E_α , v_α

v_α δ

r r

Winkelverteilung:

(→ Tafelrechnung) _sin

1 E

1 ε

4 π e Z z 16

1 d Ω

N d N

1

2 4 θ 2

2

0 2

0  α







= 

3.1.2. Rutherfordsches Atommodell

sin 1 E

1 ε

4 π e Z z 16

1 d Ω

N d N

1

2 4 θ 2

2

0 2

0



α





 

= 

θ







 dΩ

N lg d

2 4 θ

sin

⁻

∝

0° 50° 100°

E_α = 10 MeV

Theorie Experiment

Theorie experimentell bestätigt, solange nicht zu groß, bzw. minimaler Kernabstand nicht zu klein

2 2 θ α sin E

Folgerung: Abschätzung von Kerngrößen aus Abweichungen von Rutherfordscher Streuwinkelverteilung

fm 3 , 1 m

10 3

, 1 r

A r r

15 0

3 1 0 K

=

⋅

≈

≈

−

A = # Protonen + # Neutronen

= Kernmassenzahl Kerne sind um 5 Größenordnungen kleiner als Atome!

3.1.2. Rutherfordsches Atommodell

Ungeklärte Probleme des Rutherfordschen Atommodells:

•

Beschleunigte Ladungen strahlen e.m. Energie ab. Warum stürzen die um den Kern kreisenden Hüllenelektronen nicht ins Zentrum des Atoms?

Wieso sind Atome also stabil?

•

Atome strahlen elektromagnetische Strahlung u. a. in Form von Linienspektren ab. Was ist deren Ursprung?

•

Wie kommt es zu chemischen Bindungen zwischen Atomen und was ist deren Natur?

•

^……

Antwort: Die klassische Physik ist auf atomaren Skalen nicht mehr anwendbar. Wir benötigen ein quantenmechanisches Atommodell!

3.1.2. Quantenstruktur

Wasserstoff: Kern → 1Proton ; Hülle → 1 Elektron ; einfachstes Atom Beobachtung (Jakob Balmer, 1885): Ex. Serie von Emissionslinien im

sichtbaren Bereich (VIS) mit einfacher geometrischen Systematik (He/C):

, 5 , 4 , 3 n

n , 1 2

Ry 1 λ

1

2 2

n

= K

 

 



 −

=

₁

cm 109678

Ry =

⁻

Rydbergkonstante des Wasserstoffs

… Entdeckung weiterer Serien (Lyman, Paschen, Bracket, Pfund, …)

, 2 n

, 1 n

n

, 3 , 2 , 1 , n

n 1 n

Ry 1 λ

1

1 1

2 1 2

2 2

1 n

n_{1 2}

K K

+ +

==







 −

=

Interpretation: Dem Hüllenelektron stehen im Potentialtopf des Kern- Coulombfeldes unendlich viele Energieeigenzustände zur Verfügung.

Übergänge zwischen Zuständen mit Energiedifferenz ∆E können durch Emission / Absorption von Photonen mit ω = E h vermittelt werden.

3.1.2. Bohrsches Atommodell

, 2 n

, 1 n

n

, 3 , 2 , 1 , n

n 1 n

Ry 1 λ

1

1 1

2 1 2

2 2

1 n

n_{1 2}

K K

+ +

= =

 



 

 −

=

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n n ==67 E [eV]

0

−0,9

−1,5

−3,49

−13,6

Lyman-Serie (UV)

Balmer-Serie (UV, VIS)

Paschen- Serie (IR)

Bracket-Serie (IR)

Pfund-Serie (IR) Ionisierungsgrenze

eV 13,6 Ry

c h

Ry

^∗

= =

Energiekontinuum

3.1.2. Bohrsches Atommodell

(1913, Nobelpreis 1922)

Betrachte wasserstoffartiges Atom: Kern der Ladung Z e mit Masse mK ≫ me, ,,umgeben” von einem einzelnen Hüllenelektron Postulat (1): Das Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn um den

Kern (genauer: um den gemeinsamen Schwerpunkt).

Kern

v r

e⁻

r r

⇒

r

2 (∗∗)

0 2

v µ

1 ε

4 π e

=

Z

reduzierte Masse:

µ

_m^{m m}_m

m

_e

K e

K

e

≈

=

₊

Kräftegleichgewicht: (∗)

2 2 0

2

r e Z ε

4 π 1 r

v

µ =

3.1.2. Bohrsches Atommodell

Postulat (2): Die Materiewelle des Elektrons ist stationär, d. h. der Kreisumfang ist ein ganzzahliges Vielfaches der de Broglie-Wellenlänge (periodische Randbedingung).

mathematisch:

2 π r n λ n , n 1 , 2 , K

vn

µ h

n

= = =

0 2

n

n

Z r = a

⇒ Quantisierte Bahnradien:

Bohrscher Radius

m 10

3 , e 5

µ π

h

a ε ₂ ¹¹

2 0 0

⋅ −

=

=

⇒ für feste Quantenzahl n sind r_n und v_n festgelegt.

n

v

rn

1 n µ

=

h

2 n n

µ µ

1 ε

4 π e Z v

µ 1 ε

4 π e Z n

) (

r

r

₂ ² ₂

0 2 2

0 n 2

=

h

=

⇒

∗∗

(∗∗∗)

Kern

v r

e⁻

r r

3.1.2. Bohrsches Atommodell

Postulat (3): Die Bahn jeder Quantenzahl n gehört zu einem Energie- Eigenzustand: E ⁿ = E ^{kin ,n} + E ^{pot ,n}

n , 2 pot

1 2

n 2

0 n

) (

n 2 n 2 n

2 n 1 n

,

kin E

r e Z ε

4π 1 2

r r

v µ 2 v r

E = µ = =^∗ = −

( )

2 n

2 2

2 2

2 1 2 n

1 n

, kin n

, pot n

, kin

n r

n µ

v µ E µ

E E

E h

−

=

−

=

−

= +

=

⇒

∗

∗

∗

2 4 2 0

2 4 2 2 2

2 2 n

2 2 2 0

0

n ε h n

Z e µ π µ 8π

E h Z

e µ π

n h n ε

Z

r = a = ⇒ = −

n Ry Z n

h 8 ε

Z e

E µ

₂

2 2

2 2 0

2 4 n

−

∗

≡

−

=

1 n n

h c λ

E =

⁻

2 2 0

4

h 8ε

e Ry µ

c h

Ry

^∗

= =

Rydbergkonstante

Ry hängt über µ von Kernmasse m_K ab:

( )

m_e µ K

Ry

m

Ry =

_∞

⋅ Ry 109737 , 31534 cm

¹

c h 8ε

e m

3 2 0

4

e −

∞

= =

3.1.2. Bohrsches Atommodell

E_n

r_n Bemerkung: Bedeutung des Postulats (3)

klassisch E

r

r e Z ε 4π

1 pot

2

E = −

0 2 pot 1

kin E

E = −

2 pot 1 E E =

Es gibt keinen Zustand minimaler Energie. Das Elektron stürzt in den

Kern.

n 2

0 r

e Z ε 4π

1

E

pot

= −

2 n 2 2

r 1 2µ

2 n 2 n µ

kin

v

E = =

^h

Es gibt einen Zustand minimaler Energie. Die Elektronenbahn ist stabil.

quantenmechanisch E

r_n

n fest

E

nur hier ist E_kin

= −½ E_pot

3.1.2. Bohrsches Atommodell

Bemerkung: Bedeutung von...

= ⇒

=

µvn

h

n

n λ n

π r

2 v n

r

n

1 n µ

= h

Folgerung:

L µ v

_n

r

_n

n h

r = =

Der ( Bahn- ) Drehimpuls des Elektrons ( relativ zum Kern ) ist in Einheiten von h quantisiert.

Postulat (2): Die Materiewelle des Elektrons ist stationär, d. h. der Kreisumfang ist ein ganzzahliges Vielfaches der de Broglie-Wellenlänge (periodische Randbedingung).

3.1.2. Franck-Herzt Versuch

(1913, Nobelpreis 1925) Bekannt: Niveauübergänge ↔ Absorption / Emission von Photonen

Frage: Niveauübergänge ↔ Energieübertrag durch Atomstöße ? Experiment: Quecksilberdampf (10⁻² mbar)

Glühkathode

e⁻

I

− + + −

Röhre

Anode

Gitter

U ∆U

Kathode → Gitter: ∆E_e = e U − δE_Stöße Gitter → Anode: ∆E_e = −e ∆U

Elektronen erreichen Anode ( ⇒ I ) wenn E | > e ∆U

3.1.2. Franck-Herzt Versuch

4.9 V Dioden-

Charakteristik

Anodenstrom als Funktion der

Beschleunigungsspa nnung (∆U fest):

I [ µA ]

U [ V ]

0 5 10 15

1 Stoßanregung

2 Stoßanregungen

3 Stoßanregungen

4.9 V

4.9 V

Hg e

Hg

e

E E 4,9eV

∗

−

−

−

+ → +

Hg γ

Hg

^∗

→ +

4,9 eV _→ Spektrograph