Analysis IV

Analysis IV

Maß- und Integrationstheorie 6. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik SS 2012

Prof. Dr. Burkhard Kümmerer 21. Mai 2012

Walter Reußwig Miroslav Vrzina

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Das Lebesguesche Maß von Quadern)

Seiena,b∈R^d mita<b undλdas Lebesguesche Maß aufB(R^d). Zeigen Sie λ(]a,b[) =λ(]a,b]) =λ([a,b]).

Aufgabe G2 (Translationsinvariante Maße)

Seiµein Maß auf dem Messraum(R^d,B(R^d))mitµ(W) =1, wobeiW :=Qd

n=1]0, 1]den halboffenen Einheitswürfel inR^d bezeichne. Weiter gelte für alle halboffenen QuaderQund Vektorenx ∈R^d:

µ(x+Q) =µ(Q). Zeigen Sie, dassµ=λgilt.

Folgern Sie, dass es für jede translationsinvariante Maßµauf(R^d,B(R^d))eine Zahlα≥0gibt mit µ=α·λ.

Aufgabe G3 (Eine Variation des Satzes von Vitali)

Wir definieren mit Hilfe von Polarkoordinaten wie folgt Teilmengen desR²: l_ϕ:={(r,ϕ): 0<r≤1}.

Es ist offensichtlich S

ϕ∈[0,2π[l_ϕ = D\ {0}. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf [0, 2π[ durch ϕ∼ψ:⇔ϕ−ψ∈Q·π.Sei I ⊆[0, 2π[ derart, dass jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus I enthalte und sei(x_n)_n∈Neine Abzählung vonQ·π∩[0, 2π[.Wir setzen fürn ∈N:

E_n:=[

i∈I

l_(i+xn).

Zeigen Sie folgende Aussagen:

(a) Die MengenE_n sind disjunkt und ihre Vereinigung istD\ {0}. (b) Fürm,n∈Ngibt es eine Drehung T mit T(E_m) =E_n.

Stellen Sie sich die Familie(E_n)_n∈Nals Puzzle (mit abzählbar unendlich vielen Teilen) vor. Ist es möglich, durch sukzessives Verschieben und Drehen der Mengen(E_n)_n∈N zwei Kopien vonD\ {0} zusammenzu- setzen?

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Aufgabe G4 (Die Gleichverteilung auf dem Einheitsintervall) SeiΩ0:={0, 1, 2, ..., 9}und seiΩ:=Q_∞

k=1Ω0.Wir definieren dieGleichverteilung aufΩals das eindeutig bestimmte Maßµ, welches durch die konsistente Familie der Maßeµn aufQn

k=1Ω0 mit µn({ω1,ω2, ...,ωn}):=10⁻ⁿ

induziert wird. Dieses Maß ist also das Pendant des fairen Münzwurfs auf einer10-elementigen Menge.

(a) Zeigen Sie: Die Menge aller FolgenN :={ω∈Ω:ωist schließlich konstant}ist eineµ-Nullmenge.

Wir definieren nun eine AbbildungΦ:Ω\N →[0, 1]durch Φ(ω):=

X∞ k=1

ωk·10^−k.

(b) Zeigen Sie, dassΦinjektiv ist und dasΦ(Ω)^C eine Lebesguesche Nullmenge definiert.

(c) SeiZ_i:={ω∈Ω: ω1=i}. Bestimmen Sieλ(Φ(Z_i)).

(d) Zeigen Sie, dass für jede ZylindermengeZ:=Z(1,2,3,...,n),(j1,j₂,...,j_n)gilt:λ(Φ(Z)) =µ(Z).Folgern Sie, dass für jedeµ-meßbare MengeZ gilt:λ(Φ(Z)) =µ(Z).

Wir nennen eine Zahl x ∈ [0, 1] satanisch, falls die Ziffernfolge666in der Dezimalentwicklung von x mindestens einmal vorkommt.

(e) Zeigen Sie, dass die Menge aller satanischen Zahlen aus[0, 1]Lebesguemaß1besitzt.

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Hausübung

Aufgabe H1 (Der Satz von Steinhaus) (1 Punkt)

SeiK⊆R^d eine kompakte Menge mitλ(K)>0.

(a) Zeigen Sie, dass es eine offene MengeU ∈R^d gibt mitλ(U)≤2λ(K)undK∩U^C =;. Zeigen Sie weiter, dass die Distanzδ:=d(K,U^C):=inf{ku−kk: k∈K, u∈U^C}echt positiv ist.

(b) Seit ∈R^d mitktk< δ.Zeigen Sie, dass(t+K)⊆U gilt.

(c) Zeigen Sie den Satz von Steinhaus: SeiA∈ L(R^d)eine Menge mitλ(A)>0.Dann ist die Menge A−A:={a−b: a,b∈A} ⊆R^d eine Nullumgebung.

Hinweis: Zeigen Sie für (c), dass für jedes t ∈ K_δ(0) die Mengen K und (t +K) nicht disjunkt sein können.

Aufgabe H2 (Eine Mengenfunktion auf Teilmengen natürlicher Zahlen) (1 Punkt) SeiA⊆Neine beliebige Teilmenge. Wir definierens_n(A):=|{k∈A: k≤n}|und setzen

d(A):= lim

n→∞

s_n(A) n ,

sofern dieser Grenzwert existiert. SeiA die Menge aller Teilmengen vonN, auf welchenddefiniert ist.

(a) Zeigen Sie, dassdnichtσ-additiv aufA ist.

Wir betrachten die MengeA:=2·N={2n: n∈N}und definieren

B:={k∈2·N: Es gibt einn∈Nmit2²ⁿ≤k≤2²ⁿ⁺¹}∪{k∈2·N+1 : Es gibt einn∈Nmit2²ⁿ⁻¹≤k≤2²ⁿ}.

(b) Entscheiden Sie, welche der MengenA, B, A∪BinA enthalten sind. IstA eine Algebra?

Aufgabe H3 (Zusatzaufgabe: Hausdorff-Maße) (+1 Punkte)

Sei(X,d)ein metrischer Raum und seiA die Menge allerA⊆X mit d(A):=sup{d(a,b): a,b∈A}<∞. Für Zahlenα >0definieren wir äußere Maße durch

h_α,δ(B):=inf ( _∞

X

n=0

d(A_n)α

: (A_n)_n∈N⊆ A, d(A_n)≤δ, B⊆ [

n∈N

A_n )

und schließlich

h_α(B):=sup

δ>0{h_α,δ(B)}.

Das äußere Maß h_α heißt α-dimensionales äußeres Hausdorff-Maß. Für α = 0 setzen wir h₀ als das Zählmaß.

(a) Zeigen Sie: Isth_α(B)<∞so gilth_α+h(B) =0für alleh>0.

(b) Seiα:= ^ln(2)_ln(3) undC die Cantormenge. Zeigen Sieh_α(C)≤1.

Hinweis:Nutzen Sie die Subadditivität und Monotonie des äußeren Maßes.

(c) Zeigen Sie:h_β(C)>0für alleβ < α.

Für eine Teilmenge; 6=B⊆X heißt die Zahl δ(B):=sup{α≥0 : h_α(B)>0}dieHausdorff-Dimension vonB. Somit gilt für die Cantormengeδ(C) = ^ln(2)_ln(3).

Bemerkung:Für eine MengeB⊆R^d mit nichtleerem Inneren giltδ(B) =d.Insofern ist die Hausdorff- Dimension eine Verallgemeinerung des Dimensionsbegriffs.

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