Mathematik 1 für Bauwesen 10. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik Wintersemester 2011/2012
Dr. Ivan Izmestiev 11./12.01.20
Dr. Vince Bárány, M. Sc. Julia Plehnert
Gruppenübung
Aufgabe G1
Mit Hilfe der l’Hospital-Regel berechnen Sie die Grenzwerte:
(a) limx→1 1−x
1−sinπx2
(b) limx→1coshx−1
1−cosx
(c) limx→0(cosx)x32 Aufgabe G2
SeiP der Punkt mit Koordinaten(0,14)und sei Gdie Gerade mit der Gleichung y=−14. Finden Sie die Gleichung der Kurve, deren Punkte vonPundGgleich entfernt sind.
Aufgabe G3
Leiten Sie die Gleichung der Tangente im Punkt(2, 2) = (x(1),y(1))zur Kurve
x(t) = 1+t
t3 , y(t) = 3 2t2+ 1
2t
her.
Aufgabe G4 (Zusatzaufgabe)
Finden Sie die Iterationsvorschrift für das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen von x3−2. Setzen Sie a0=1und berechnen Siea1,a2,a3,a4. Vergleichen Sie die Ergebnisse mitp3
2.
Aufgabe G5 (Zusatzaufgabe) SeiP ein Punkt auf der Ellipsenx2
a2+ yb22=1o
und seiQ ein Punkt auf dem Kreis{x2+y2=a2}, sodass PundQdie gleichex-Koordinate haben. Zeigen Sie, dass der Schnittpunkt der Tangente im PunktPan die Ellipse und der Tangente im PunktQan den Kreis auf derx-Achse liegt.
Aufgabe G6 (Zusatzaufgabe)
(a) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor in jedem Punkt der Zykloide:
x=t−sint, y=1−cost.
Für welche Werte vontverschwindet der Geschwindigkeitsvektor? Welche Punkte der Zykloide entsprechen diesen Werten vont?
(b) Zeigen Sie, dass der Geschwindigkeitsvektor der Trochoide (derverlängerten Zykloide) x=t−2 sint, y=1−2 cost
nirgends gleich Null ist.
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Hausübung
Aufgabe H1 (8 Punkte)
Mit Hilfe der l’Hospital-Regel berechnen Sie die Grenzwerte:
(a) (2 Punkte)limx→0xcosx−sinx x3
(b) (3 Punkte)limx→0ln(sin 2x)ln(sinx) (c) (3 Punkte)limx→0xx.
Aufgabe H2 (4 Punkte)
Finden Sie die Iterationsvorschrift für das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen vonx2−x−1. Beginnend mita0=1, berechnen Siea1,a2,a3.
Aufgabe H3 (5 Punkte)
SeiC=n
P(t)|t∈h
−p13,p1 3
iomitP(t) = (3t2−1, 3t3−t)eine parametrisierte Kurve.
(a) (1 Punkt) Zeigen Sie, dassCeine geschlossene Schlinge ist:P
−p13
=P
p1 3
.
(b) (2 Punkte) Berechnen Sie die Steigungen der beiden Tangenten an die KurveCim PunktP(−p13) =P
p1 3
. (c) (2 Punkte) Finden Sie die Koordinaten der Punkte, in denen die Tangente anCsenkrecht oder waagerecht ist.
Aufgabe H4 (3 Punkte)
Finden Sie die Koordinaten der Brennpunkte der Ellipse x2
9 + y42 =1.
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