Der Impuls
Anstoss beim Billard: Der Impuls der weissen Kugel verteilt sich auf alle Kugeln.
1. Der Impuls
Newtons Schaukel
Aufgabe 1: Newtons Schaukel (das Kugelstosspendel) kennst du bestimmt. Die Figur rechts zeigt die Situation vor dem Stoss. Wie geht es nachher weiter. Skizziere die Situation nach dem Stoss. Wie viele Kugeln gehen jeweils weiter? Wie kannst du dieses Verhalten mit der Energieerhaltung erklären?
Ein Experiment auf der Luftkissenbahn
Wechselwirkungsprinzip (actio et reactio):
Wirkt ein Körper 1 auf einen Körper 2 mit der Kraft F12 ein, so wirkt stets der Körper 2 auf den Körper 1 mit einer gleich grossen, aber entgegengesetzt gerichteten Kraft F21.
Es gilt also: F21= – F 12
Mit dem Aktionsprinzip (Newton II) finden wir:
Unter der Annahme konstanter Beschleunigung kann man schreiben:
Multiplikation mit Δt und Einführung der Differenz Δv = v‘ – v zwischen Endgeschwindigkeit v‘ und Anfangsgeschwindigkeit v ergibt:
Sammeln der Grössen vor dem Stoss auf der linken Gleichungsseite, derjenigen nach dem Stoss auf der rechten Gleichungsseite:
Einführung der Grösse „Impuls p“ als Kürzel für das Produkt von Masse und Geschwindigkeit.
Dabei bedeutet p‘ jeweils den Impuls nach der Wechselwirkung:
Aus der Gleichung erkennt man, dass beim Stoss der Impuls eine Erhaltungsgrösse darstellt. Die Summe der Impuls vor dem Stoss ist gleich der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung!
Der Impuls
Definition: Der Impuls ist durch das Produkt von Masse und Geschwindigkeit eines Körpers definiert: p = ……… Einheit: [p] = ……… = ………
Impulserhaltung: Im angeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls
p konstant, d.h. die vektorielle tot
Summe aller Impulse vor und nach der Wechselwirkung ist gleich gross. tot =
i =i
p p konst.
Aktionsprinzip: Der Impuls wird durch eine äussere Kraft geändert. Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich der resultierenden Kraft auf den Körper. Für eine konstante Kraft gilt also: =Δ
Δ
p
F t
2. Impulsänderung: Der Kraftstoss
Der Impuls einem ……… System ist erhalten. Um den Impuls eines Körpers zu ändern muss also eine ……… Kraft auf den Körper wirken. Für die Änderung des Impulses Δp durch einen konstanten Kraftstoss gilt: ………
Aufgabe 2: Beim „Hornussen“ wird der 76 g schwere Wurfkörper durch einen kräftigen Schlag mit der elastischen Rute vom „Bock“ fortgeschleudert. Dabei erreicht der Wurfkörper eine Geschwindigkeit von 234 km/h. Mit welcher mittleren Kraft ist er geschlagen worden, wenn der Schlag 2.0 ms dauerte? Schätze zuerst, welche Kraft geschlagen wird und rechne erst dann die Zahl aus. Lagst Du mit deiner Schätzung nahe am rechnerischen Ergebnis?
Aufgabe 3: Beim Golfspielen wird der Ball vom Kopf des Schlägers („Eisen“ oder „Holz“) nur für Sekunden- bruchteile berührt. Entsprechend grosse Kräfte bewirken die erwünschte Beschleunigung. Um einige
Berechnungen relativ einfach durchführen zu können, machen wir folgende Annahmen: Der Ball wird waagrecht geschlagen. Er hat eine Masse von 45 g.
Es wirkt für 5 ms eine Kraft von 540 N auf den Ball.
a) Welche Geschwindigkeit hat der Ball nach dem Stoss?
b) Wie gross ist die Änderung des Impulses?
c) Wie gross ist die mittlere Beschleunigung des Balles während des Stosses?
Aufgabe 4: Gladys kommt aus England zu Besuch. Sie hat Ihnen als kleines Geschenk eine Krocketausrüstung mitgebracht, die Sie sogleich im praktisch ebenen Garten ausprobieren.
Das Gemälde von Winslow Homer stellt eine Krocket Szene aus dem Jahre 1866 dar.
a) Welche Geschwindigkeit hat eigentlich die Krocketkugel nach dem Ham- merstoss? Treffen Sie folgende Annahmen: Die Krocketkugel habe eine Masse von 454 g. Ihr Schlag dauert nur 5.25 ms, wobei Sie eine Kraft von 200 N ausüben.
b) Welche mittlere Beschleunigung erfährt die Krocketkugel? Berechnen Sie daraus die Endgeschwindigkeit.
Aufgabe 5: Kann ein ferngesteuertes Auto seinen Impuls ändern, ohne dass seine kinetische Energie ändert? Welche Antwort ist richtig?
a) Alle physikalischen Grössen, die den Impuls p mv beschreiben, kommen auch in der = Bewegungsenergie Ekin =12mv vor. Wird der Impuls geändert, so ändert sich auch die 2 kinetische Energie.
b) Wenn man es geschickt anstellt, so kann man dennoch den Impuls ändern ohne die kinetische Energie zu verändern.
Aufgabe 6: Welcher Rückstosskraft muss der nebenstehende Feuerwehrmann standhalten, wenn er den gesamten Rückstoss aufnehmen müsste und aus dem Löschrohr pro Sekunde 9.0 Liter Wasser mit der Geschwindigkeit 25 m/s
ausströmen? Gehen Sie bei Ihrer Rechnung davon aus, dass sich das Wasser im Schlauch in Ruhe befindet und beim Ausströmen beschleunigt wird.
Aufgabe 7: Die Pelton-Turbine ist eine Wasserturbine, die in Wasserkraftwerken eingesetzt wird. für Wasserkraftwerke. Sie wurde 1879 vom ameri- kanischen Ingenieur Lester Pelton konstruiert und im Jahr 1880 patentrechtlich geschützt, denn sie erhöhte die Effizient von Wasser-Turbinen erheb- lich. Die Schaufel des Pelton-Rades sind so geformt, dass das Wasser umgelenkt und gegen hinten weg wegspritzt. Dadurch kann das Wasser schnell aus dem Bereich der Turbine abfliessen.
Da das Wasser fast mit der gleichen Geschwin- digkeit gegen hinten wegspritzt, ist die Änderung des Impulses fast 200 % und die Kraft auf dem Rad sehr gross. Bei einem Pelton-Rad trifft das Wasser mit 500 km/h auf das Rad. Der Wasser- durchlauf beträgt 5 m3/s. Welche Kraft wirkt auf das Rad, wenn es noch nicht dreht und das Wasser also auf das ruhende Turbinenrad trifft?
Aufgabe 8: Grössere Hagelkörner können verheerende Folgen auf Gebäude und Autos haben. Für unsere Abschätzung betrachten wir das Glasdach eines Gewächshauses, welches unter einem Winkel von 45° von einem 4 g schweren Hagelkorn (Durchmesser etwa 2 cm) getroffen wird.
Der Stoss dauert 1 ms. Der Stoss ist vollkommen elastisch, d.h. das Hagelkorn verliert keine kinetische Energie. Die Fallgeschwindigkeit des Hagelkorns wird auf 20 m/s geschätzt.
Welche mittlere Kraft wirkt während der Stosszeit auf das Dach?
3. Impulserhaltung im ruhenden System
Impulserhaltung: Im angeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls
p konstant, d.h. die vektorielle tot
Summe aller Impulse vor und nach der Wechselwirkung ist gleich gross. tot =
i =i
p p konst.
Ruhendes System: Ein System ruht zu Beginn: sein Impuls ist also Null. Nun bewegt sich ein Teil des Systems weg, so muss der Rest des Systems diesen Impuls aufnehmen, da der Gesamtimpuls immer noch Null sein muss. Es gilt also: + = = −
1 2 1 2
p p 0 p p und für die Beträge p1=p . 2
Aufgabe 9: Karl sitzt in einem ruhenden Boot und wirft einen grossen Stein (m = 2 kg) mit viel Schwung (v = 5 m/s) gegen hinten. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das Boot mit Karl (m = 120 kg) nach vorne?
Aufgabe 10: Lucy (65 kg) steht in einem ruhenden Punt (320 kg) auf und geht (1.2 m/s) gegen vorne zum Bug.
Wie gross ist der Gesamtimpuls? In welche Richtung und mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das Boot?
Aufgabe 11: Wie treibt sich eine Rakete an? Sie kann sich im luftleeren Raum an nichts abstossen oder ziehen.
Raketen verbrennen dazu einen Treibstoff. Das Verbrennungsgas strömt mit grosser Geschwindigkeit gegen hinten aus. Da der Impuls erhalten bleibt wir die Rakete gegen vorne angetrieben. Bei der V2-Rakete strömten die Verbrennungsgase mit einer
Geschwindigkeit von 2.0 km/s aus.
a) Berechnen Sie, wie viel Treibstoff pro Sekunde verbrannt werden musste, wenn die Rakete eine Schubkraft von 2.0⋅105 N entwickeln sollte.
b) Berechnen Sie die Brenndauer, wenn die Rakete 5.0 t Treibstoff enthielt.
c) Die Masse der vollgetankten Rakete betrug 10 t.
Berechnen Sie, mit welcher Beschleunigung die Rakete in lotrechter Richtung vom Startplatz abhob.
Aufgabe 12: In vielen Actionfilmen sieht man wie der Schütze beim Abfeuern einer Pistole oder eines Gewehrs einen Rückstoss erhält.
a) Erklären Sie kurz, weshalb ein Rückstoss erfolgt, obwohl das Geschoss eigentlich nach vorne losgeht.
b) Schätzen Sie die Geschwindigkeit ab, mit der das 6.0 kg schwere Gewehr wegen der Impulserhaltung zurückgestossen wird, wenn das 11.3 g schwere Geschoss den Lauf mit 750 m/s verlässt.
c) Berechnen Sie dann die Kraft auf die Schulter, wenn das Gewehr auf einer Strecke von 3.2 cm abgebremst wird.
4. Gerade, zentrale Stösse
Ein Stoss ist ein Vorgang, bei dem zwei oder mehr Körper kurzzeitig Kraft aufeinander ausüben. Bei einem geraden Stoss bewegen sich die Körper in der gleichen Richtung, d.h. die Geschwindigkeitsvektoren verlaufen entlang einer gemeinsamen Stosslinie. Liegt der gemeinsame Schwerpunkt der beiden Körper auf dieser Stossline, so sprechen wir von einem zentralen Stoss.
Der vollkommen elastische Stoss
Zwei Körper stossen aufeinander, ohne dass dabei Energie in innere Energie, beispielsweise Wärme oder Deformation, umgewandelt wird. Ein Beispiel sind zwei
……….., die zusammenprallen.
Situation vor dem Stoss
Situation nach dem Stoss
Es gelten sowohl die Energie- wie auch die Impulserhaltung und wir schreiben:
Gerader, zentraler Stoss
Schiefer, zentraler Stoss
Exzentrischer Stoss
Rauer Stoss: Es treten auch Reibungskräfte zwischen den Körpern auf.
Beim vollkommen elastischen Stoss gilt für die Geschwindigkeiten nach dem Stoss:
v1’ = v2’ =
Spezialfall: gleiche Massen, Körper 2 ruht
Spezialfall: Ein Körper stösst mit einer Wand zusammen
Der vollkommen unelastische Stoss
Beim unelastischen Stoss wird ein Teil der kinetischen Energie in innere Energie U umgewandelt.
Beim vollkommen unelastischen Stoss wird der maximal mögliche Anteil der kinetischen Energie in innere Energie umgewandelt, dabei „kleben“ die beiden Massen nach dem Stoss aneinander und bewegen sich mit derselben Geschwindigkeit weiter. Ein Beispiel sind zwei ……….., die nach dem Stoss aneinander haften.
Situation vor dem Stoss
Situation nach dem Stoss
Die beiden Körper bewegen sich nach dem Stoss gemeinsam und es gilt: v’ = v1’ = v2’
Energie und Impulserhaltung gelten auch hier. Wir müssen aber einen Term für die Veränderung der inneren Energie ΔU einführen.
Beim vollkommen unelastischen Stoss gilt für die Geschwindigkeiten nach dem Stoss:
v’ = v1’ = v2’ =
Spezialfall: gleiche Massen, Körper 2 ruht
Spezialfall: Ein Körper stösst mit einer Wand zusammen
Anwendung: Geschwindigkeit einer Pistolenkugel
5. Dezentraler vollkommen elastischer Stoss
Spezialfall: gleiche Massen, Körper 2 ruht
Winkel zwischen den Körpern
Aufgabe 13: Zwei Kugeln mit den Massen m1 = 5.0 kg und m2 = 10 kg stossen mit den
Geschwindigkeiten v1 = 5.0 m/s und v2 = 8.0 m/s gerade gegeneinander. Wie schnell sind die Kugeln nach dem Stoss, wenn dieser
a) elastisch b) unelastisch ist?
c) Wie viel Bewegungsenergie geht in beiden Fällen verloren?
Aufgabe 14: Ein Schüler der Masse m = 60 kg springt mit der Geschwindigkeit v = 5.0 m/s auf einen ruhenden Wagen mit der Masse 200 kg. Beide zusammen rollen anschliessend auf der waagerechten Strasse weiter.
a) Um welche Art von Stoss handelt es sich bei dem Vorgang?
b) Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich dann Wagen und Schüler zusammen?
Aufgabe 15: Auf einer horizontalen Luftschiene stösst ein Gleiter (1.2 m/s, 0.50 kg) vollkommen elastisch auf einen zweiten ruhenden (der zweite hat die gleiche Masse wie der erste).
a) Wie schnell bewegt sich der erste und wie schnell zweite Gleiter nach dem Stoss?
b) Wie viel Impuls wurde übertragen?
c) Welche Energie wurde dabei in innere Energie umgewandelt?
Aufgabe 16: Zwei identische Autos (Masse 800 kg) fahren mit gleicher Geschwindigkeit (50 km/h) frontal ineinander und verkeilen sich.
a) Wie schnell sind sie nach dem Stoss?
b) Wie viel Energie wurde dissipiert (in innere Energie umgewandelt)?
Aufgabe 17: Auf horizontaler Strecke fährt ein Eisen- bahnwagen mit einer Masse von 2000 kg mit 5.0 m/s auf einen stehenden Wagen auf und kuppelt an. Die Geschwindigkeit der beiden Wagen nach dem Stoss ist 40% der Auffahrgeschwindigkeit des ersten Wagens.
a) Wie gross ist die Masse des zweiten Wagens?
b) Wie viel Energie wurde dissipiert?
Aufgabe 18: Ein Fussball (0.42 kg) fliegt mit 20 m/s in die Arme nach oben springenden Torhüters (75 kg), der den Ball fängt. Mit welcher Geschwindigkeit fliegt der Torhüter rückwärts?
