Von der propädeutischen Algebra zur elementaren Algebra

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Von der propädeutischen Algebra zur elementaren Algebra

Publikation zu einem Workshop der Fortbildungsveranstaltung zum BLK-Programm "Steigerung der Effizienz im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht" vom 27.5.2002 in Ludwigsfelde.

Gregor Wieland, Freiburg/Schweiz

1. Probleme mit der Algebra

Probleme von Schülerinnen und Erwachsenen mit der elementaren Algebra sind weithin bekannt. Wer kennt beispielsweise nicht falsches Ausmultiplizieren von Binomen wie (a+b)² = a² + b²? Günter Malle beschreibt in seinem Buch Didaktische Probleme der elementaren Algebra (Malle, 1993) auf eindrückliche Weise Probleme Erwachsener mit der elementaren Algebra durch einige Interviews:

Beispiel 1: Christa (36, Akademikerin)

Interviewer (legt folgende Aufgabe vor): An einer Universität sind P Professoren und S Studenten. Auf einen Professor kommen 6 Studenten. Drücken Sie die Beziehung zwischen S und P durch eine Gleichung aus!

Ch: (schreibt) 6S = P

I: Nehmen wir einmal an, es sind 10 Professoren. Wie viele Studenten sind es dann?

Ch: 60.

I: Setzen Sie das in die Gleichung ein!

Ch: 6 • 60 = 10. Aha, das kann nicht stimmen. (Nach einer Pause schreibt sie) P + 6S

= P + S.

I: Was bedeutet das?

Ch: Die Professoren und die auf jeden Professor fallenden 6 Studenten ergeben zusammen alle Professoren und Studenten.

I: Hhmm ... Bei dieser Gleichung könnte man auf beiden Seiten P subtrahieren. Was ergibt sich dann?

Ch; (streicht P auf beiden Seiten durch) 6S = S.

I: Kann das stimmen?

Ch: Ja natürlich ... die Gruppen zu 6 Studenten ergeben zusammen alle Studenten.

I: Setzen Sie wieder die Zahlen ein!

Ch: 10 Professoren und 60 Studenten. Dann ist das 6 • 60 = 10. Das kann nicht stimmen. (Nach einer Pause schreibt sie) P + S = 7.

I: (räuspert sich)

Ch: (bessert aus zu) P + 6S = 7 I: Was bedeutet das?

Ch: Ein Professor und seine 6 Studenten sind zusammen 7 Personen.

Beispiel 2: Helga (29, Akademikerin)

I: (legt folgende Aufgabe vor) In einem Saal sind x Männer und y Frauen.

Was bedeutet die Formel y = x + 2 ? H: (schweigt minutenlang)

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I: Vielleicht ist die Aufgabe leichter, wenn wir die Anzahl der Männer mit M und die Anzahl der Frauen mit F bezeichnen. Dann lautet die Formel F = M + 2. Was bedeutet das?

H: (spontan) Die Frau hat einen Mann und zwei Kinder.

I: Muss denn diese 2 unbedingt 2 Kinder bedeuten. Können es nicht zwei Männer oder zwei Frauen sein?

H: Nein, denn sonst müsste ja hier stehen: F = M + 2M. Oder: F = M + 2F.

l: Wenn es zwei Kinder sind, dann müsste ja eigentlich F = M + 2K hier stehen.

H: Ja ... richtig.

Beispiel 3: Walter (23, Akademiker)

I: Können Sie die Gleichung ^x₈ = 9 lösen?

W: (schweigt minutenlang) Ich weiss nicht mehr, wie das geht. Da gibt es eine Regel, aber die habe ich leider vergessen.

Man muss sich fragen, ob ein Teil dieser Probleme nicht auch hausgemacht ist. Ein kürzlich durchgeführter Unterrichtsbesuch bestätigte jedenfalls meinen Verdacht, wie folgendes Beispiel zeigt. Thema der besuchten Lektion war das Faktorisieren

algebraischer Terme in einem 10. Schuljahr (!). Es handelte sich dabei um eine Klasse französischsprachiger Schülerinnen und Schüler, die den Stoff des 9. Schuljahres auf deutsch (erste Fremdsprache) nochmals aufarbeiteten. Dies geschah mit folgender Einleitung:

Dies ist sicher in bester Absicht geschehen, hatte jedoch unbeabsichtigte Folgen, wie sich bei den Übungen zeigte:

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Aufgabe 1:

"Lösungen":

Aufgabe 2:

"Lösung":

Offensichtlich wurde die Bedeutung der Variablen als Platzhalter für Zahlen in keiner Art und Weise verstanden. Diese Schülerinnen und Schüler sahen in den Buchstaben Abkürzungen für irgendwelche Gegenstände. So muss die erste Lösung interpretiert werden als: 21 Tannen und 49 Eichen und 14 Palmen ergeben zusammen 84 Bäume.

Der Term bedeutet also nichts anderes als eine Kurzschreibweise eines Satzes der Umgangssprache mit "mathematischen" Hilfsmitteln.

Günter Malle erläutert im oben erwähnten Buch (Malle, 1993) drei Aspekte des Variablenbegriffs, den Gegenstandsaspekt, den Einsetzungsaspekt und den Kalkülaspekt. Er versteht darunter kurz zusammengefasstFolgendes:

Gegenstandsaspekt:

Die Variable wird als unbekannte oder nicht näher bestimmte Zahl betrachtet.

Einsetzungsaspekt:

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Die Variable wird als Platzhalter für Zahlen, resp. als Leerstelle, in die man Zahlen einsetzen darf, betrachtet.

Kalkülaspekt:

Die Variable wird als bedeutungsloses Zeichen, mit dem man nach bestimmten Regeln operieren darf, betrachtet.

Aufgaben, welche den Gegenstandsaspekt betonen, sind häufig in einer Objektsprache formuliert. Es wird von bekannten und unbekannten Zahlen (Objekten) und ihren

Beziehungen untereinander gesprochen. Aufgaben, welche die andern beiden Aspekte betonen, sind häufig in einer Metasprache formuliert. Es ist von Gleichungen und deren Beziehungen (Äquivalenzumformungen) die Rede. Die Objektsprache ist aus folgenden Gründen für Schülerinnen und Schüler einfacher als die Metasprache:

 Die Formulierungen sind einfacher, es bedarf keiner weiteren Erklärungen mehr.

 Sie erlaubt eher die Konzentration auf die eigentliche Problemstellung.

 Sie benötigt keine metasprachlichen Begriffe wie "Aussageform", "Grundmenge",

"Lösungsmenge" usw.

 Es braucht keine speziellen Regeln.

Daraus lässt sich die wichtige Folgerung ziehen:

Am Anfang des Unterrichts ist der Gegenstandsaspekt zu betonen!

oder anders ausgedrückt:

Zunächst Gleichungen gebrauchen und erst später über sie reden!

oder nochmals anders ausgedrückt:

Metasprachliche Begriffe sollten zu Beginn des Algebraunterrichts möglichst nicht und am Ende nur sparsam gebraucht werden!

Hier scheint mir ein wichtiger Schlüssel für die Lösung einiger Probleme mit der Algebra zu liegen. Viele Schülerinnen und Schüler betrachten nämlich den Umgang mit den Buchstaben als eine Art Spiel ohne tiefere Bedeutung mit einem Regelwerk, das man auswendig lernen muss. Wer die Regeln beherrscht, kommt gut damit zurecht. Wer sich nicht rechtzeitig an die richtige Regel erinnert, hat Pech gehabt. Diese Schwierigkeit ist meines Erachtens zu einem grossen Teil auf eine zu frühe und teilweise fast

ausschliessliche Betonung des Kalkülaspektes zurückzuführen.

2. Propädeutische Algebra am Beispiel "Zahlenbuch"

Ein erster Umgang mit Variabeln kann im Sinne von Malle durchaus schon in der Primarstufe erfolgen. Im Zahlenbuch 4 (Müller/Wittmann, 1997 und Hengartner/Wieland 1998) kommen erstmals Variablen in Zahlenrätseln der Form "Ich denke mit eine Zahl" vor. Hier steht ganz klar der Gegenstandsaspekt im Vordergrund. Dazu lernen die Schülerinnen und Schüler auch die wichtige Strategie des

Rückwärtsarbeitens kennen wie das Beispiel aus der Schweizer Ausgabe des Zahlenbuchs zeigt:

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aus: Das Zahlenbuch 4 (Schweizer Ausgabe 1998), S. 66

Als weiteres Beispiel algebraischen Denkens im Sinne des Erkennens und Beschreibens von Beziehungen und Strukturen kann der Folgenkurs angesehen werden, der auch im Zahlenbuch 4 erstmals auftritt und in den Zahlenbüchern 5 und 6 (Schweizer Ausgabe) seine Fortsetzung findet. Als Beispiel daraus sei hier eine Aufgabe aus dem geometrischen Teil des Folgenkurses im dem Begleitband zum Zahlenbuch 6 (Affolter u.a., 2000) vorgestellt:

aus: Folgenkurs Zahlenbuch 6, Begleitband (2000), , S. 67

Die Aufgabe hat auf den ersten Blick wenig mit Algebra zu tun. Für die Lösung muss man jedoch eine Struktur erkennen und (vorläufig) mit Zahlen beschreiben. Das Erkennen und Beschreiben der Struktur, auch wenn dies noch nicht allgemein mit Buchstaben geschieht, kann man bereits algebraischem Denken zuordnen. Erwachsene sehen gemäss Erfahrungen in Kursen sehr häufig nur eine einzige Stuktur in dieser Folge, nämlich eine quadratische Platte mit ungerader Seitenlänge und einem Loch in der Mitte. Die entsprechende algebraische Beschreibung dazu lautet:

Anzahl Würfel der n-ten Figur = (2n + 1)² - 1

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Schülerinnen und Schüler sehen jedoch durchaus auch andere Zusammensetzungen, wie folgende Beispiele zeigen:

Das Erkennen und Beschreiben solcher Strukturen - was vorerst durchaus auch in Worten geschehen kann und soll - ist für das Verständnis algebraischer Schreibweisen ausserordentlich wichtig. Dazu kommt, dass die unterschiedlichen Schreibweisen zu einem späteren Zeitpunkt als Grundlage einer "natürlichen Termumformung" dienen, da alle Terme den gleichen Sachverhalt beschreiben. Damit wird in Anlehnung an Malle eine weitere Forderung erfüllt, die wohl bisher in Lehrmitteln zu wenig Beachtung fand:

Zuerst mit Variabeln arbeiten, dann über sie reden.

3. Einführung in die elementare Algebra am Beispiel "mathbu.ch"

Dieser Weg von der propädeutischen zur elementaren Algebra wird mit dem neuen Lehrmittel mathbu.ch, das als Fortsetzung des Zahlenbuchs in die Klassen 7 bis 9 betrachtet werden kann, seinen konsequenten Ausbau. In einem Workshop des BLK- Programms "Förderung der Effizienz im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht" wurden Beispiele daraus vorgestellt. Inzwischen ist der erste Band, mathbu.ch 7, dieses Lehrmittels erschienen. Die Bände 8 und 9 folgen 2003 und voraussichtlich 2004. Das Lehrmittel kann für unterschiedliche Niveaus der Klassen 7 bis 9 benützt werden, wie die Erprobungen bestätigt haben. Es besteht aus einem Arbeitsbuch mit gut 30 Lernumgebungen pro Jahrgang zur Arithmetik/Algebra, zur Geometrie und zum Sachrechnen. Dazu kommen zwei verschiedene Arbeitshefte, eines für das Grundniveau und eines für das Erweiterte Niveau. Für die Klasse 9 sind zwei verschiedene Arbeitsbücher mit Lernumgebungen vorgesehen. Das Lehrmittel wird

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ergänzt durch einen ausführlichen Begleitband und etwas später erscheinende elektronische Hilfsmittel wie CD-ROM mit Lexikon und weiteren Aufgaben sowie Internet-Ergänzungen. Informationen findet man bereits heute unter der Internet- Adresse http://www.mathbu.ch.

Titlebild mathbu.ch 7

Die erste Lernumgebung, in welcher die Algebra zum Thema gemacht wird, heisst

"X-beliebig" und setzt den geometrischen Teil des Folgenkurses der Zahlenbücher fort.

Ein erster Ausschnitt aus der Lernumgebung möge dies verdeutlichen:

aus: mathbu.ch 7, S. 20

Die vollständige Lernumgebung "X-beliebig" ist im Anhang 1 zu sehen. Folgendes Beispiel aus der Erprobung zeigt, wie eine Schülerin mit dem Problem umgegangen ist:

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Es ist erstaunlich, wie schnell diese Schülerin die allgemeine Beschreibung findet.

Natürlich ist die Schreibweise im streng mathematischen Sinn noch nicht korrekt, da sie in der 3. Zeile der Tabelle das x sowohl für die Anzahl sichtbarer Seiten als auch für die Turmhöhe braucht. Dass sie diese Dinge jedoch voneinander zu unterscheiden weiss, zeigen die anschliessenden Zeilen sehr deutlich. Es ist auch klar, dass über die korrekte Schreibweise gesprochen werden muss. Doch zum Zeitpunkt der Hinführung zur

Algebra stehen die Überlegungen der Schülerin im Vordergrund. Diese sollten nicht zu früh durch formale Vorschriften gestört werden. Ist aber einmal das Selbstvertrauen in das eigene Denken gestärkt, lässt sich die vorläufig noch "falsche" Schreibweise auch einsichtig berichtigen.

Ein weiteres Beispiel aus der gleichen Lernumgebung zeigt die Fortführung des geometrischen Teils des Folgenkurses:

Dazu kommt ein reichhaltiges Übungsmaterial im Arbeitsheft, wie man dem Anhang 2 entnehmen kann. Wie Schülerinnen und Schüler in der Erprobung damit umgegangen sind, mögen zwei Beispiele illustrieren:

Beispiel 1:

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Beispiel 2:

Auch diese Beispiele zeigen sehr deutlich das korrekte (!) Denken der Lernenden in einer noch nicht ausgereiften formalen Sprache. Die vorläufige Beschreibung im ersten Beispiel "5 KG = 40 Z." bedeutet: Das 5. Kettenglied besteht aus 40 Zundhölzchen.

Daraus wird korrekt abgeleitet: "x-beliebig wird zum Term x·7 + 5", was nichts anderes heisst als: "das x-te Kettenglied besitzt 7x+5 Hölzchen".

Aus dem zweiten Beispiel geht nach der individuellen, vorläufigen Schreibweise

"4 Gl. [4 Glieder] = 4·4 H. [Hölzchen] + 3 H." bereits eine erste "natürliche

Termumformung" hervor: x·4 + x - 1 = 4x + x - 1 = 5x - 1, ohne dass dies in der Aufgabe bereits verlangt wird.

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Diese Denk- und Arbeitsweise mit Lernenden fällt nicht allen Lehrpersonen auf Anhieb leicht. Es hat sich gezeigt, dass es in Einführungskursen unabdingbar ist, die

Lehrerinnen und Lehrer selbst diese Aufgaben lösen zu lassen. Dann geschieht es nicht selten, dass sie den Eindruck haben, diese Art Aufgabenstellung sei für ihre

Schülerinnen und Schüler zu schwierig. Oft muss man sie geradezu ermuntern, dies im Unterricht dennoch auszuprobieren. Dann allerdings stellen sie erstaunt fest, dass den Lernenden die Lösungssuche kaum schwerer fällt als ihnen selbst. Dies muss wohl mit den Bildern zusammenhängen, welche die Lehrpersonen von ihrem eigenen Unterricht im Kopf haben. Sie suchen häufig und zu schnell nach einer "Formel". Dazu kommt, dass sie in ihrem früheren Unterricht kaum dazu angehalten wurden, selbst Formeln zu finden. Sie haben dafür mit gegebenen Termen in einer Metasprache operiert. Dies oft ohne grosse nachhaltige Wirkung wie die ersten Erfahrungen zeigen. Die Lernenden, auch die Schwächeren (!), gehen viel unbeschwerter an die Probleme heran. Die Anschaulichkeit und die vorläufige Marginalisierung von formalen Unzulänglichkeiten erleichtert ihnen eine Lösungsfindung. Eine besondere Bedeutung kommt bei dieser Art Lernen dem dialogischen Austausch der Schülerinnen und Schüler untereinander zu.

Sie erklären einander, was sie gemacht haben, was ihre Formeln bedeuten, wie sie darauf gekommen sind. Der gegenseitige Lerneffekt wiegt allfälligen, zeitweisen

Kontrollverlust der Lehrperson erfahrungsgemäss bei weitem auf. Aber auch in diesem Punkt müssen sich Lehrerinnen und Lehrer bewusst werden, dass sie im Unterricht immer auch Lernende (von ihren Schülerinnen und Schülern) sind.

Im Workshop konnten noch zwei weitere Lernumgebungen aus dem mathbu.ch bearbeitet werden.

In der einen, "Knack die Box", geht es um eine erste Einführung in Gleichungen und deren Lösung (allenfalls durch Probieren). Die letzte Aufgabe der Lernumgebung soll zeigen, worum es geht. Die vollständige Lernumgebung findet sich im Anhang 3.

In einer weiteren Lernumgebung wird das Thema der Gleichungen mit Graphen ergänzt.

Die ganze Lernumgebung ist im Anhang 4. Die Einführung in die Lernumgebung soll zeigen, worum es geht:

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Die Bemerkungen zur Lernumgebung "X-beliebig" lassen sich sinngemäss auf die weiteren Lernumgebungen übertragen. Man kann sich nun fragen, wo die Effizienz bei diesem aufwändigen Unterricht liegt. Die Antwort kann man kurz so zusammenfassen:

Der anfängliche zeitliche Aufwand lässt sich langfristig durch vielseitigere Vernetzung und besseres Verständnis kompensieren. Dadurch bleibt das Gelernte sicherer in unserem Gedächtnis haften, was schliesslich Effizienz ausmacht. Das ist eine wesentliche Grundlage des Lernverständnisses im mathbu.ch.

Im Moment wird das mathbu.ch in mehreren Kantonen der Schweiz eingeführt, teilweise begleitet durch Einführungskurse über mehrere Halbtage im Verlaufe des Schuljahres.

Dies bewährt sich ausserordentlich gut, weil während den Begegnungen nicht nur eigene Erfahrungen und Schülerarbeiten ausgetauscht sondern auch allfällige

Schwierigkeiten auf den Tisch gelegt werden können. Gemeinsam werden Lösungen gesucht, wie der Unterricht unterstützt durch diese neuen Materialien verbessert werden kann. Das Autorenteam ist nach wie vor an Rückmeldungen und insbesondere an Reaktionen und konkreten Arbeiten von Schülerinnen und Schülern interessiert. Alle an diesem Lehrmittel und dem entsprechenden Unterricht interessierten Personen sind eingeladen, ihre Erfahrungen und auch ihre Kritik zu äussern. Denn auch wir sind uns bewusst, dass wir uns auf einem Lernweg befinden. Personen, die sich durch diesen Beitrag angesprochen fühlen, melden sich bei einer der Autorinnen oder Autoren. Die entsprechenden Adressen findet man unter http://www.mathbu.ch.

Literatur

Affolter W. / Amstad H. / Döbeli M. / Wieland G. (1999). Das Zahlenbuch 5, Begleitband, Klett und Balmer, Zug

Affolter W. / Amstad H. / Döbeli M. / Wieland G. (2000). Das Zahlenbuch 6, Begleitband, Klett und Balmer, Zug

Affolter W. u.a. (2002). mathbu.ch 7, blmv, Bern / Klett und Balmer, Zug Hengartner E. / Wieland G. (1998). Das Zahlenbuch 4, Klett und Balmer, Zug

Malle G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra, Vieweg, Braunschweig Müller G. N. / Wittmann E. Ch. (1997). Das Zahlenbuch 4, Lehrerband, Klett, Leipzig

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Anhang 1A

Das Material ist urheberrechtlich geschützt. blmv/Klett und Balmer AG, Zug, 2002

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Anhang 1B

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Anhang 2A

aus: mathbu.ch Arbeitsheft 7+, S. 49

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Anhang 2 B

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Anhang 2 C

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Anhang 2 D

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Anhang 2 E

aus mathbu.ch Arbeitsheft 7+, S. 53

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Anhang 2 F

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Anhang 3 A

Anhang 3 B

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Anhang 4 A

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Anhang 4 B

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Anhang 4 C

aus: Begleitband mathbu.ch 7, Kopiervorlage 1