In der folgenden Tabelle ist die F¨ullmenge schon in 5 Klassen eingeteilt.

4. L¨osung weitere ¨ Ubungsaufgaben Statistik II WiSe 2019/2020

1. Aufgabe: Eine s¨achsische Molkerei f¨ullt Milch in Tetrapacks ab. Es wird vermutet, dass die F¨ullmenge normalverteilt ist mit einem Erwartungswert von 502 ml und einer Standardabweichung von 2 ml.

In der folgenden Tabelle ist die F¨ullmenge schon in 5 Klassen eingeteilt.

i F¨ullmenge x in ml H

p

np

1 x < 499 2 0,0668 3,34 0,54

2 499 ≤ x < 501 13 0,2417 12,085 0,07 3 501 ≤ x < 503 22 0,383 19,15 0,42 4 503 ≤ x < 505 8 0,2417 12,085 1,38

5 505 ≤ x 5 0,0668 3,34 0,83

a) Vervollst¨andigen Sie die Tabelle, bestimmen Sie also die fehlenden vier Werte!

b) Testen Sie die Vermutung zum Signifikanzniveau von α = 0,05!

L¨osung: Hypothetische Verteilung: X

∼ N (502, 2

) a) µ = 502 und σ = 2

p

= P (501 ≤ X

< 503) = Φ

µ 503 − 502 2

¶

− Φ

µ 501 − 502 2

¶

= Φ (0,5) − Φ (−0,5) = Φ (0,5) − (1 − Φ (0,5))

= 0,6915 − (1 − 0,6915) = 0,383 np

= 50 · 0,383 = 19,15

p

= P (503 ≤ X

< 505) = Φ

µ 505 − 502 2

¶

− Φ

µ 503 − 502 2

¶

= Φ (1,5) − Φ (0,5) = 0,9332 − 0,6915 = 0,2417 np

= 50 · 0,2417 = 12,085

Hinweis: Bei diesen Aufgabenteil ist auch ein (einfacherer) anderer L¨osungsweg m¨oglich.

Da X

symmetrisch um den Erwartungswert µ = 40 verteilt ist gilt:

Und aus X

i=1

p

= 1 = ⇒ p

= 1 − (p

+ p

+ p

+ p

)

= 1 − (0,0668 + 0,2417 + 0,2417 + 0,0668) = 0,383.

b) Hypothetische Verteilung: X

∼ N (502, 2

) X- zuf¨allige F¨ullmenge.

1.

H

: F

(t) = F

(t) f¨ur alle t gegen H

: F

(t) 6= F

(t) f¨ur mindestens ein t 2. α = 0,05

3. T = P

i=1

(Hi−npi)² npi

4. K = {t | t > χ

= χ

= χ

= 9,49}

(k = 5 Klassen und m = 0 (beide Parameter sind vorgegeben)) 5. t = 0,54 + 0,07 + 0,42 + 1,38 + 0,83 = 3,24

6. t = 3,24 6> 9,49 = ⇒ H

wird angenommen.

Die Verteilung der zuf¨alligen F¨ullmenge unterscheidet sich nicht signifikant von einer Normalverteilung mit einem Erwartungswert von 502 ml und einer Standardabweichung von 2 ml.

2. Aufgabe: 100 Leser eines Wirtschaftsmagazins wurden nach ihren durchschnitt- lichen Lesezeiten befragt. Es soll untersucht werden, ob die Lesezeit normalverteilt ist. Dazu liegt folgendes Testergebnis vor.

Goodness-of-Fit Tests for Lesezeit Chi-Square Test

Lower Upper Observed Expected

Limit Limit Frequency Frequency Chi-Square

at or below 48,0 1 2,06 0,55

48,0 60,0 3 3,00 0,00

60,0 72,0 6 5,75 0,01

72,0 84,0 10 9,39 0,04

84,0 96,0 12 13,08 0,09

96,0 108,0 19 15,52

108,0 120,0 15 15,71

120,0 132,0 12 13,55 0,18

132,0 144,0 12 9,97 0,41

144,0 156,0 4 6,25 0,81

156,0 168,0 2 3,34 0,54

a) Bestimmen Sie die 2 fehlenden Werte in der Tabelle (Spalte Chi-Square).

b) F¨uhren Sie den Test zu Ende und treffen Sie die Testentscheidung zum Niveau α = 0,05.

c) Mit den gleichen Daten wurde ein weiterer Test mit folgendem Ergebnis durch- gef¨uhrt.

Tests for Normality for Lesezeit

Test Statistic P-Value

Shapiro-Wilk W 0,986744 0,859585

Welche Hypothese wird getestet und wie lautet die Testentscheidung bei α = 0,05?

L¨osung: X- zuf¨allige durchschnittliche Lesezeit.

a)

i = 6 : (H

− np

)

np

= (19 − 15,52)

15,52 = 0,78 i = 7 : (H

− np

)

np

= (15 − 15,71)

15,71 = 0,03 b) H

:

” durchschnittliche Lesezeit X ist normalverteilt“

H

:

” durchschnittliche Lesezeit X ist nicht normalverteilt“

t = 0,55 + 0,00 + 0,01 + ... + 0,54 + 1,10 = 4,54 K = ©

t | t > χ

ª

k = 12 und m = 2 χ

= 16,92 t = 4,54 6> 16,92 = χ

= ⇒ H

wird angenommen.

Die durchschnittliche Lesezeit unterscheidet sich nicht signifikant von einer Normalverteilung.

c) H

: ” durchschnittliche Lesezeit X ist normalverteilt“

H

:

” durchschnittliche Lesezeit X ist nicht normalverteilt“

p = 0,859585 > 0,05 = α = ⇒ H

wird angenommen.

Die durchschnittliche Lesezeit unterscheidet sich nicht signifikant von einer

Normalverteilung.

3. Aufgabe:

In der ersten Fußballbundesliga sind in der Saison 2015/2016 866 Tore gefallen. Das sind bei 306 Spielen im Schnitt 2,83 Tore pro Spiel. Dabei erzielten die Heimmann- schaften 479 Tore (Ø 1,57 pro Spiel) und die Gastmannschaften 387 (Ø 1,26 pro Spiel).

a) F¨ur die Tore der Heimmannschaft gibt es folgende H¨aufigkeitsverteilung:

Tore Heimmannschaft H¨aufigkeit

0 74

1 96

2 67

3 43

4 13

5 10

6 3

Testen Sie, zum Niveau α = 0,05, ob die Anzahl der Tore der Heimmannschaft pro Spiel Poisson-verteilt ist.

L¨osung:

Hypothetische Verteilung: X

∼ Poi(λ)

X- zuf¨allige Anzahl der Tore der Heimmannschaft (pro Spiel).

1.

H

: F

(t) = F

(t) f¨ur alle t gegen H

: F

(t) 6= F

(t) f¨ur mindestens ein t

2. α = 0,05

5. EX

= λ und damit wird λ wie folgt g esch¨atzt:

λ ˆ = x = 479

306 = 1,56536

i Tore Heimmannschaft H

p

np

i

1 0 74 0,2090 63,95 1,58

2 1 96 0,3272 100,12 0,17

3 2 67 0,2561 78,37 1,65

4 3 43 0,1336 40,88 0,11

5 4 13 0,0523 16 0,56

6 5 10 0,0164 5,02 4,94

7 6 und mehr 3 0,0054 1,65 1,1

p

= P (X

= 0) = λ

0! · e

= 1,56536

0! · e

= 0,2090 ...

p

= P (X

= 5) = λ

5! · e

= 1,56536

5! · e

= 0,0163 p

= P (X

≥ 6) = 1 − (p

+ . . . + p

) = 0,0054

t = 1,58 + 0,17 + 1,65 + 0,11 + 0,56 + 4,94 + 1,1 = 10,11 6. t = 10,11 6> 11,07 = ⇒ H

wird angenommen.

Die Anzahl der Tore pro Spiel der Heimmannschaft unterscheidet sich nicht signifikant von einer Poisson-Verteilung, bei Signifikanzniveau α = 0,05.

Bemerkung: Legt man beim Test die letzten beiden Klassen zu einer (5 und mehr Tore) zusammen, so wird beim Signifikanzniveau α = 0, 05 H

abgelehnt.

Beim Niveau α = 0, 01 wird auch bei dieser ge¨anderten Klasseneinteilung H

angenommen.

b) Betrachtet man die H¨aufigkeiten der Tore der Gastmannschaft so erh¨alt man beim Test auf Poissonverteilung mit Statgraphics das folgende Ergebnis:

Goodness-of-Fit Tests for Tore Auswärtsmannschaft Chi-Square Test

Lower Upper Observed Expected

Limit Limit Frequency Frequency Chi-Square

at or below 0,0 89 86,39 0,08

1,0 1,0 110 109,26 0,01

2,0 2,0 56 69,09 2,48

3,0 3,0 40 29,13 4,06

4,0 4,0 10 9,21 0,07

5,0 1 2,93 1,27

Chi-Square = 7,95854 with 4 d.f. P-Value = 0,0931086

Wie lautet die Testentscheidung und das Testergebnis bei α = 0,05?

L¨osung:

Hypothetische Verteilung: X

∼ Poi(λ)

X- zuf¨allige Anzahl der Tore der Gastmannschaft (pro Spiel).

1.

H

: F

(t) = F

(t) f¨ur alle t gegen H

: F

(t) 6= F

(t) f¨ur mindestens ein t 2. α = 0,05

6. p = 0,0931086 > 0,05 = α = ⇒ H

wird angenommen.

Die Anzahl der Tore pro Spiel der Gastmannschaft unterscheidet sich nicht

signifikant von einer Poisson-Verteilung, bei Signifikanzniveau α = 0,05.