6 .1 F e h le rb e h a ft e te e rk lä re n d e V a ri a b le

155

6 A u s b lic k

6 .1 F e h le rb e h a ft e te e rk lä re n d e V a ri a b le

a

x

isindoftzufällig.Dasisto.k.

− →

BedingteAnalyse,gegebendie

x

i.

AnderesProblem:

x

mitMessfehlern.(WahrerWertnichtzufällig!)

b„Latente"Variable

u ,v

v = e α + e β u X

i

= u

i

+ D

i

, Y

i

= v

i

+ E

i

= e α + e β u

i

+ E

i

D

i

∼ N h 0 ,σ

2D

i , E

i

∼ N h 0 ,σ

2

i

unabhängig.

Wiegrosssind

e α , e β

?

cerrors-in-variables,functionalandstructuralmodel

1566.1

d

−20246810121416

5 6 7 8 9 10

u, x

y

Beobachtungenohne Fehler D

Fehler EFehler D

wahre GeradeKleinste Quadratekorr. Steigung

1576.1 eSchätzung:Falls

σ

2D bekannt:

b β = P

ni=1

( Y

i

− Y )( x

i

− x ) P

ni=1

( x

i

− x )

2

− σ

2D

= b β

LS

/ b κ b κ = c v a r h X i − σ

2D

c v a r h X i κ

:(attenuationcoefficient)

f

b α = Y − b β X

1586.1

gImBeispielderSchadstoffeimTunnel

051015202530

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Ef.NOx

ohne Korrekturmit Korrektur

1596.1 iSchätzung:Falls

γ = σ / σ

Dbekannt:

X

„umskalieren",sodass

γ = 1

ist

− →

orthog.Regression,zurückrechnen.

jOrthogonaleRegression:Minimiere

P

ni=1

d

2i

h a ,b i

.

Hauptkomponenten-Analyse.

-

x

6

y

◦ ◦ ◦

◦

BBBB

d

i

h a ,b i [ x

i

,y

i

] y = a + bx

1606.1 kManmuss

σ / σ

Doder

σ

Dkennen.

lAnwendung:

•

Vorhersage:gewöhnlicheRegression(Achtung!)

•

TestfürEinfluss(

β = 0

):gewöhnlicheR.

•

Schätzungvon

e α , e β

:errors-in-variables

161

6 .2 E ic h u n g

aAusdemResultateiner(billigen)Mess-Methode

dasResultateineranderen(teuren)„schätzen".

BestimmungdesZusammenhangs:

ExakteWertevorgegeben

x

i.AnwendungderbilligenMethode

→ Y

i. Anwendung:von

Y

0auf

x

0schliessen.InverseRegression,Calibration

bSchätzung:

b α , b β

bestimmen

− → b x = ( Y − b α ) / b β

cWiegenauistdieserWert?–Vorhersage-Band

b α + b β x

0

± b

mit

b = q

tn−20.975

b σ q 1 +

1n

+ ( x

0

− x )

2

/

SSQ (X)

Umkehrung:

( y − b α ) / b β ± b/ b β

162

Messung

05101520253035

0 5 10 15 20 25

1636.2

d

*

EinigeweitereStichworte:

•

Fehlerbehaftete

x

-Werte:

ManverwendeeineSchätzungder„wahrenGeraden"

e α + e β x

.

•

ÜberprüfungderLinearitätundandererModell-Annahmen!

•

PeriodischeEichung:solltenichtmitEinzelmessungenerfolgen.

1646.2

e

*

Eichproblemundfehlerbehaftete

x

:

„Naives"VorgehenbeimEichproblem:

Damandie

x

-Werteaus

Y

„vorhersagen"will,vertauschtmandieRollen

aber:DannistdiefalscheVariablemitMessfehlernbehaftet.

Errors-in-variables-ModellliefertrichtigeGerademit

σ / σ

D

= 0

.

Aber:BeiVorhersagewardochKl.-Quadrate-Schätzungrichtig.???

Nur,wennfüreineneueBeobachtungdiebedingteVert.derZielgrösse,

geg.dieAusgangsgrösse,gleichistwiebeiden„Trainings-Daten"!

165

M e rk p u n k te R e g re s s io n 1 - E rg ä n z u n g e n

1.Fehlerbehaftete

x

-Variable:

WennKoeffzientengeschätztwerdensollen,mussmankorrigieren!

KleinsteQuadrategebenzuflacheGerade.

2.Eich-Problem=inverseRegression

AufgepasstmitderFestlegungvon

x

und

Y

!