Ubung 8 zur Analysis I ¨
Georg Biedermann 13.6.2018 Aufgabe 1:[10 Punkte]
Berechnen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:
1. P∞ n=0zn 2. P∞
n=1
7n(n−1)xn 42nn2
3. P∞ n=1 n3
2nxn
Aufgabe 2:[10 Punkte]
Zeigen Sie die folgende Identit¨at nach Jakob Bernoulli:
1 + 2x+ 3x2+ 4x3+. . .=
∞
X
n=0
(n+ 1)xn= 1 (1−x)2.
Bestimmen Sie den Konvergenzradius. (Tipp: Betrachten Sie das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit sich selbst.)
Aufgabe 3:[10 Punkte]
Wir definieren f¨ur alle n∈Ndie Zahlen sn=
n
X
k=0
1
k! und tn=
1 +1 n
n
.
1. Zeigen Sie mit Hilfe der binomischen Satzes:
tn= 2 +
n
X
k=2
1 k!
k−1
Y
j=1
1− j
n
= 2 + 1 2!
1− 1
n
+. . .+ 1 n!
1− 1
n
· · ·
1−n−1 n
2. F¨ur alle n∈N:tn≤sn und lim sup
n→∞
tn≤e. (eEulersche Zahl) 3. F¨ur alle n≥m gilt:
tn≥2 +
m
X
k=2
1 k!
k−1
Y
j=1
1− j
n
4. F¨ur alle n≥m gilt: lim inf
n→∞ tn≥sm. 5. Die Folge 1 +n1n
n∈N konvergiert und es gilt: e= lim
n→∞ 1 +n1n
(Tipp: Sie k¨onnen ohne Beweis die Aussage von Lemma 6.22 aus dem Skript benutzen.)
Aufgabe 4:[10 Punkte]
Es gelten dieselben Bezeichnungen wie in Aufgabe 3.
1. Zeigen Sie
e−sn≤ 1 n!·n. Man sieht, dass die Reihe P∞
n=0 1
n! sehr schnell konvergiert. Berechnen Sie von Hand eine N¨aherung von ebis auf einen Fehler von h¨ochstens 0,002.
2. Nehmen Sie an, dass es p, q∈N gibt mite= pq. Zeigen Sie, dass dann q!·e , q!·sq, q!(e−sq)∈N.
Schließen Sie daraus, dass eirrational ist.
Abgabe: 20.6.2018 bis 10:00 Uhr in D.13.08
