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Aufgabenblatt 1
Angewandte Statistik MBIOB17 WS 2015
1. Für Eisen im Trinkwasser wird ein Grenzwert von 200 mg/l genannt. Eine Überprüfung der Fe-Konzentration X ergab in einem Wohnhaus die folgenden fünf Probenwerte (in mg/l): 213, 217, 191, 207, 228. Die Variable X möge zumindest näherungsweise normalverteilt sein.
a) Man zeige auf 5%igem Testniveau, dass das arithmetische Mittel der Probenwerte den Grenzwert nicht signifikant überschreitet.
b) Welche Sicherheit bietet eine Versuchsanlage mit n=5, mit dem auf 5%igem Testniveau geführten t-Test eine Überschreitung des Grenzwerts um 20 mg/l als signifikant zu erkennen? Die Standardabweichung der Grundgesamtheit schätze man mit den gegebenen Probenwerten.
2. Einer Pressemeldung ist zu entnehmen, dass der "`typische"' Österreicher eine
Körpergröße von mu0=178cm aufweist. Von 10 Männern mit mehr als 50 Jahren wurden die folgenden Körpergrößen (in cm) bestimmt: 160, 175, 170, 165, 174, 173, 178, 181, 167, 180.
a) Kann den Stichprobenwerten entnommen werden, dass die Körpergröße von über 50-jährigen Männern im Mittel von der typischen Körpergröße (178 cm) abweicht? Man prüfe diese Aussage mit dem t-Test auf 5%igem
Signifikanzniveau. Dabei nehme man an, dass die Stichprobe eine zufällige Auswahl aus der Gesamtheit der über 50-jährigen Österreicher sei und die Körpergröße in dieser Gesamtheit eine näherungsqweise normalverteilte Zufallsvariable ist.
b) Welcher Stichprobenumfang müsste geplant werden, damit der 2-seitige t-Test (Testniveau 5%) mit 90%iger Sicherheit ein signifikantes Resultat anzeigt, wenn der wahre Mittelwert von mu0 um mindestens 2% des Referenzwertes mu0 abweicht. Die Standardabweichung setze man näherungsweise gleich der mit den gegebenen Stichprobenwerten berechneten empirischen Standardabweichung.
3. Die folgende Tabelle enthält Produktivitätsdaten von 60 Kohorten von je 15 weiblichen Tsetsefliegen. Als Produktivitätsmaß wird die Anzahl Y der Puparien verwendet, die in einer Kohorte bis zum 78ten Lebenstag abgelegt werden.
a) Man vergleiche den Mittelwert von Y mit dem Wert 55; liegt eine signifikante Abweichung vor? (5%-Testniveau)
b) Welcher Stichprobenumfang müsste geplant werden, um eine Abweichung des Mittelwerts (vom Referenzwert) in der beobachteten Höhe mit 90%iger Sicherheit erkennen zu können?
c) Man stelle fest, ob die Werte der Variablen Y im Einklang mit der Annahme
„H0: Y ist normalverteilt“ stehen (α = 5%)
Nr. Y Nr. Y Nr. Y Nr. Y Nr. Y Nr. Y
1 72 11 54 21 67 31 51 41 59 51 58
2 81 12 57 22 59 32 69 42 65 52 58
3 55 13 69 23 49 33 64 43 60 53 60
4 55 14 62 24 51 34 68 44 43 54 66
5 50 15 73 25 65 35 73 45 52 55 75
6 53 16 58 26 56 36 81 46 57 56 41
7 70 17 46 27 58 37 54 47 37 57 40
8 79 18 50 28 67 38 65 48 39 58 51
9 42 19 27 29 66 39 58 49 49 59 37
10 69 20 68 30 74 40 61 50 51 60 38
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4. Zur Untersuchung der Frage, welchen Anteil die Skelettmasse an der Körpermasse bei Vögeln bzw. Säugetieren hat, wurden für verschiedene Vögel und Säugetiere die Skelettmasse Y und die Körpermasse X (alle Angaben in kg) bestimmt. Jemand
behauptet, dass die Skelettmasse 5% der Körpermasse ausmacht. Stehen die folgenden Daten in Widerspruch zu dieser Aussage? Man nehme eine Überprüfung auf 5%igem Niveau für Vögel und Säugetiere vor.
Vögel Y X Säugetiere Y X
1.995 40.667 0.193 3.35 0.072 1.225 0.227 3.915
0.0054 0.163 0.0003 0.0063
0.203 2.504 0.039 0.79
0.043 0.701 0.027 0.82
0.027 0,416 0,244 4,836
0,186 2,379 0,002 0,03
0,0058 0,124 0,015 0,275
0.028 0.427 0.02 0.365
0.00174 0.031 0.0025 0.03
0.00182 0.029 0.0076 0.115
0.00102 0.02 1.146 22.7
0.024 0.383 0.748 11.95
0.00618 0.144 0.25 3.395
0.00184 0.038 0.107 2.46
0.00297 0.069 0.224 4.26
0.00183 0.045 0.233 4.21
0.00076 0.013 0.0173 0.35
0.00128 0.023 0.27 4.45
0.00049 0.0087 0.448 6.725
0.00062 0.0126 0.135 1.56
5. Es soll die Abweichung einer Messgröße X von einem vorgegebenen Sollwert µ0=1.5 geprüft werden. Da X als normalverteilt angenommen werden kann und überdies ein Schätzwert für die Standardabweichung, nämlich =0.3, bekannt ist, wird die Prüfung mit dem 2-seitigen t-Test vorgenommen und dabei das Signifikanzniveau α=5% vereinbart.
Wie groß ist der Stichprobenumfang zu planen, damit man mit dem Test eine kritische Abweichung von 10% des Sollwerts mit 80%iger Sicherheit als signifikant erkennen kann.
6. Von einer Messstelle wurden die folgenden Werte der Variablen X (SO2-Konzentration der Luft in mg/m3) gemeldet: 32, 41, 33, 35, 34. a) Weicht die mittlere SO2-Konzentration signifikant vom Wert µ0=30 ab? Als Testniveau sei α=5% vereinbart. b) Welcher
Mindeststichprobenumfang müsste geplant werden, um mit dem Test eine Abweichung vom Referenzwert m0 um 5% (des Referenzwertes) mit einer Sicherheit von 95%
erkennen zu können?
7. Für eine Blumenzwiebelsorte wird eine Keimfähigkeit von mindestens 75% garantiert. In einer Stichprobe von n=60 keimten 35 Zwiebeln.
a) Liegt eine signifikante Abweichung vom garantierten Ergebnis vor? Man prüfe diese Frage auf dem Signifikanzniveau α=5%.
b) Welche Fallzahl ist notwendig, um eine Unterschreitung des garantierten Anteils um 0.1 mit einer Sicherheit von 90% feststellen zu können?
8. In einer Studie über die Behandlung von akuten Herzinfarktpatienten wurde einer
Standardtherapie mit einer neuen Therapie verglichen. Es wurden 160 Patienten mit der neuen Therapie behandelt, von denen 20 innerhalb von 4 Wochen verstarben. Bei
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Anwendung der Standardtherapie muss eine Sterbewahrscheinlichkeit von p0 =0.2 angenommen werden. Man prüfe mit dem Binomialtest, ob die neue Therapie ein signifikant unter p0 =0.2 liegendes Sterberisiko ergibt (α =5%).
9. Von einer Abfüllanlage sei bekannt, dass die abgefüllten Einheiten nur mit 5%iger Wahrscheinlichkeit nicht eine vorgegebene Mindestmenge aufweisen. Nach einer
Neueinstellung der Anlage wurden im Probelauf 150 Packungen zufällig ausgewählt und dabei festgestellt, dass in 4 Fällen die Mindestmenge nicht erreicht wurde. Die Frage ist, ob dieses Ergebnis eine signifikante Unterschreitung des Sollwertes p0=5% anzeigt (α=5%).
