Analysis I: ¨Ubungsblatt 2: Folgen und Funktionen

(1)

Analysis I: ¨ Ubungsblatt 2: Folgen und Funktionen 1. Wie lauten die Bildungsgesetze der folgenden Folgen?

(a) a _n : ³ ₄ ; − ⁴ ₉ ; ₁₆ ⁵ ; − ₂₅ ⁶ ; . . . (b) b _n : 2; 1, 3; 1, 09; 1, 027; . . .

2. Das in Kernreaktoren (besonders in schnellen Br¨ utern) freiwerdende (erzeugte) Plutoniumisotop P u ₂₃₉ hat eine Halbwertzeit von t

1

2

= 24360 Jahren, d.h. nach t

1

2

ist die H¨ alfte der Atome zerfallen (α- Strahlung). Wie lange muß man warten, damit von einem Kilogramm Plutonium nur noch h¨ ochstens ein Gramm ¨ ubrigbleibt?

3. Bestimmen Sie (falls vorhanden) die Grenzwerte (a) a n = _−2·n ^3·n

2

+6·n+8

³

⁺²

(b) a n = _−2·n ^3·n

3

+6·n+8

³

⁺²

(c) a _n = (−3 − _n ³ ) ⁿ (d) a _n = 2 · √

ⁿ

3 · n − _n ^3·n

₂

_+6·n

²

⁺² (e) a _n = ⁿ _n!

ⁿ

(f) a n = (1 − _n ¹

2

) ²ⁿ⁺¹ .

Schreiben Sie dazu zun¨ achst die Basis als Produkt (3. binomische Formel) und verwenden dann den bekannten Grenzwert f¨ ur jede Nullfolge b _n : lim n→∞ (1 + b _n )

^bn¹

= e

4. Zeigen Sie, dass die Folge

a _n = √

n + 3 − √ n + 1

eine Nullfolge ist. Erweitern Sie dazu den Ausdruck so, dass die Wurzeln im Z¨ ahler verschwinden.

5. Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten der folgenden Funktionen:

f (x) = x ² e ^x , g(x) = x cos x, h(x) = sin(x ² )

6. Geben Sie den Wertebereich f¨ ur x > 0 der folgenden Funktionen an. Untersuchen Sie außerdem das Monotonieverhalten f¨ ur x > 0.

f (x) = −xe ^x , g(x) = (x − 1) ln x

7. Ermitteln Sie die Umkehrfunktion von f (x) =

√ x+2

√ x+1 , x ≥ 0 und ihren Definitionsbereich.

8. Sei f (x) = x ² + 2 und g(x) = 2x − 1. Ermitteln Sie die Funktionen f ◦ g und g ◦ f

(2)

Analysis I: L ¨ OSUNGEN: Folgen und Funktionen 1. Wie lauten die Bildungsgesetze der folgenden Folgen?

(a) a n = (−1) ⁿ + 1 _(n+3) ⁿ⁺²

2

, n = 1, 2, . . . (b) b _n = 1 + 0, 3 ⁿ , n = 0, 1, 2, . . . 2. 242766, 5 Jahren

3. (a) a n → −∞

(b) a _n → − ³ ₂

(c) a n = (−3 − _n ³ ) ⁿ =(−1) ⁿ

| {z }

±1

· 3 ⁿ

|{z} →∞

· (1 + 1 n ) ⁿ

| {z }

→e

unbestimmt divergent

(d) a _n =2 · √

ⁿ

3n

| {z }

→1

− 3 · n ² + 2 n ² + 6 · n

| {z }

→

³

1

→ 2 · 1 − 3 = −1

(e) a n = ⁿ _n!

ⁿ

= n 1

|{z} →∞

· n 2

|{z} →∞

· n 3

|{z} →∞

·...· n n

|{z} →1

→ ∞

(f)

n→∞ lim (1 − 1

n ² ) ²ⁿ⁺¹ = . . . = e ² · e ⁻² = 1 4.

a n = √

n + 3 − √

n + 1 = . . . < 2

√ n + 1 =: b n

b _n ist eine Nullfolge. Da b _n > a _n > 0 ist, ist auch a _n eine Nullfolge.

5. f (x) = x ² e ^x : weder gerade noch ungerade, g(x) = x cos x ungerade Funktion, h(x) = sin(x ² ) gerade Funktion

6. f (x) : W = IR ⁻ ₀ , streng monoton fallend.

g(x) : W = IR ₀ ⁺ , f¨ ur 0 < x ≤ 1 streng monoton fallend, f¨ ur x ≥ 1 streng monoton steigend.

7. f ⁻¹ (x) = ^(2−x) _(x−1)

²2

Analysis I: ¨Ubungsblatt 2: Folgen und Funktionen

Analysis I: ¨ Ubungsblatt 2: Folgen und Funktionen 1. Wie lauten die Bildungsgesetze der folgenden Folgen?

(a) a n : 3 4 ; − 4 9 ; 16 5 ; − 25 6 ; . . . (b) b n : 2; 1, 3; 1, 09; 1, 027; . . .

2. Das in Kernreaktoren (besonders in schnellen Br¨ utern) freiwerdende (erzeugte) Plutoniumisotop P u 239 hat eine Halbwertzeit von t

= 24360 Jahren, d.h. nach t

ist die H¨ alfte der Atome zerfallen (α- Strahlung). Wie lange muß man warten, damit von einem Kilogramm Plutonium nur noch h¨ ochstens ein Gramm ¨ ubrigbleibt?

3. Bestimmen Sie (falls vorhanden) die Grenzwerte (a) a n = −2·n 3·n

+6·n+8

+2

(b) a n = −2·n 3·n

+6·n+8

+2

(c) a n = (−3 − n 3 ) n (d) a n = 2 · √

3 · n − n 3·n

+6·n

+2 (e) a n = n n!

(f) a n = (1 − n 1

) 2n+1 .

Schreiben Sie dazu zun¨ achst die Basis als Produkt (3. binomische Formel) und verwenden dann den bekannten Grenzwert f¨ ur jede Nullfolge b n : lim n→∞ (1 + b n )

= e

4. Zeigen Sie, dass die Folge

a n = √

n + 3 − √ n + 1

eine Nullfolge ist. Erweitern Sie dazu den Ausdruck so, dass die Wurzeln im Z¨ ahler verschwinden.

5. Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten der folgenden Funktionen:

f (x) = x 2 e x , g(x) = x cos x, h(x) = sin(x 2 )

6. Geben Sie den Wertebereich f¨ ur x > 0 der folgenden Funktionen an. Untersuchen Sie außerdem das Monotonieverhalten f¨ ur x > 0.

f (x) = −xe x , g(x) = (x − 1) ln x

7. Ermitteln Sie die Umkehrfunktion von f (x) =

√ x+2

√ x+1 , x ≥ 0 und ihren Definitionsbereich.

8. Sei f (x) = x 2 + 2 und g(x) = 2x − 1. Ermitteln Sie die Funktionen f ◦ g und g ◦ f

Analysis I: L ¨ OSUNGEN: Folgen und Funktionen 1. Wie lauten die Bildungsgesetze der folgenden Folgen?

(a) a n = (−1) n + 1 (n+3) n+2

, n = 1, 2, . . . (b) b n = 1 + 0, 3 n , n = 0, 1, 2, . . . 2. 242766, 5 Jahren

3. (a) a n → −∞

(b) a n → − 3 2

(c) a n = (−3 − n 3 ) n =(−1) n

| {z }

±1

· 3 n

|{z} →∞

· (1 + 1 n ) n

| {z }

→e

unbestimmt divergent

(d) a n =2 · √

3n

| {z }

→1

− 3 · n 2 + 2 n 2 + 6 · n

| {z }

→

→ 2 · 1 − 3 = −1

(e) a n = n n!

= n 1

|{z} →∞

· n 2

|{z} →∞

· n 3

|{z} →∞

·...· n n

|{z} →1

→ ∞

(f)

n→∞ lim (1 − 1

n 2 ) 2n+1 = . . . = e 2 · e −2 = 1 4.

a n = √

n + 3 − √

n + 1 = . . . < 2

√ n + 1 =: b n

b n ist eine Nullfolge. Da b n > a n > 0 ist, ist auch a n eine Nullfolge.

5. f (x) = x 2 e x : weder gerade noch ungerade, g(x) = x cos x ungerade Funktion, h(x) = sin(x 2 ) gerade Funktion

6. f (x) : W = IR − 0 , streng monoton fallend.

g(x) : W = IR 0 + , f¨ ur 0 < x ≤ 1 streng monoton fallend, f¨ ur x ≥ 1 streng monoton steigend.

7. f −1 (x) = (2−x) (x−1)

, D =]1, 2]

8. f (g(x)) = 4x 2 − 4x + 3, g(f (x)) = 2x 2 + 3

(a) a _n : ³ ₄ ; − ⁴ ₉ ; ₁₆ ⁵ ; − ₂₅ ⁶ ; . . . (b) b _n : 2; 1, 3; 1, 09; 1, 027; . . .

2. Das in Kernreaktoren (besonders in schnellen Br¨ utern) freiwerdende (erzeugte) Plutoniumisotop P u ₂₃₉ hat eine Halbwertzeit von t

3. Bestimmen Sie (falls vorhanden) die Grenzwerte (a) a n = _−2·n ^3·n

⁺²

(b) a n = _−2·n ^3·n

⁺²

(c) a _n = (−3 − _n ³ ) ⁿ (d) a _n = 2 · √

3 · n − _n ^3·n

_+6·n

⁺² (e) a _n = ⁿ _n!

(f) a n = (1 − _n ¹

) ²ⁿ⁺¹ .

Schreiben Sie dazu zun¨ achst die Basis als Produkt (3. binomische Formel) und verwenden dann den bekannten Grenzwert f¨ ur jede Nullfolge b _n : lim n→∞ (1 + b _n )

a _n = √

f (x) = x ² e ^x , g(x) = x cos x, h(x) = sin(x ² )

f (x) = −xe ^x , g(x) = (x − 1) ln x

8. Sei f (x) = x ² + 2 und g(x) = 2x − 1. Ermitteln Sie die Funktionen f ◦ g und g ◦ f

(a) a n = (−1) ⁿ + 1 _(n+3) ⁿ⁺²

, n = 1, 2, . . . (b) b _n = 1 + 0, 3 ⁿ , n = 0, 1, 2, . . . 2. 242766, 5 Jahren

(b) a _n → − ³ ₂

(c) a n = (−3 − _n ³ ) ⁿ =(−1) ⁿ

· 3 ⁿ

· (1 + 1 n ) ⁿ

(d) a _n =2 · √

− 3 · n ² + 2 n ² + 6 · n

(e) a n = ⁿ _n!

n ² ) ²ⁿ⁺¹ = . . . = e ² · e ⁻² = 1 4.

b _n ist eine Nullfolge. Da b _n > a _n > 0 ist, ist auch a _n eine Nullfolge.

5. f (x) = x ² e ^x : weder gerade noch ungerade, g(x) = x cos x ungerade Funktion, h(x) = sin(x ² ) gerade Funktion

6. f (x) : W = IR ⁻ ₀ , streng monoton fallend.

g(x) : W = IR ₀ ⁺ , f¨ ur 0 < x ≤ 1 streng monoton fallend, f¨ ur x ≥ 1 streng monoton steigend.

7. f ⁻¹ (x) = ^(2−x) _(x−1)

8. f (g(x)) = 4x ² − 4x + 3, g(f (x)) = 2x ² + 3