Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2006
Übungen zur Vorlesung
Gewöhnliche Differentialgleichungen Aufgabenblatt 11
Aufgabe 1:
Untersuchen Sie die Beziehungen zwischenHamilton-Systemen
˙
x=J∇H(x) undGradientensystemen
˙
x=∇G(x) auf demR2n:
a) Kann ein Hamilton-System, welches ein aus mehr als einem Punkt bestehenden peri- odisches Orbit besitzt, auch ein Gradientensystem sein?
D.h. wenn es eine reellwertige FunktionH auf einem GebietU ⊂ R2n gibt mitx˙ = J∇H für allex∈U, wobei die MatrixJso ist wie auf Aufgabenblatt 9, undp∈U periodisch ist mitJ∇H(p)6= 0,kann es dann eine FunktionG:U →Rgeben mitJ∇H =∇G?
b)Kann ein Gradientensystem mit einem lokalen Extremum ein Hamilton-System sein?
c)Gibt es überhaupt eine Differentialgleichungx˙ =f(x), die sowohl ein Hamilton-System als auch ein Gradientensystem ist?
Aufgabe 2:
Seiu0 ein stabiler Fixpunkt des Gradientensystemsu˙ =∇G(u), welches auf einem Gebiet U imRndefiniert ist. Konstruieren Sie eineLyapunov-Funktionzuu0, welche auf ganzU definiert ist.
Aufgabe 3:
Das Hamilton-Systemx˙ =J∇H(x)habe eine Ruhelageu0, unddH|u0 habe den Eigenwert
−2006 + 11.7·i. Zeigen Sie:u0ist nicht stabil.
Aufgabe 4:
Zeigen Sie: Für jedes Paar von verschiedenen Punkten p 6= q auf dem 2-dimensionalen TorusTgibt es ein System
˙
u=f(u),
so dass fast alle Punkte auf einem heteroklinen Orbitliegen, welches pmitq verbindet.
D.h., wennµdas Volumen (Lebesgue-Maß) aufTist, dann soll gelten:
µ({x∈T:α(x) = p, ω(x) = q}) =µ(T).
Tipps: Der Torus läßt sich auf bekannte Weise in den R3 einbetten. Sie können folgenden Satz verwenden: Für allep′ 6= q′ aufTgibt es einen volumenerhaltenden Diffeomorphis- musF :T→TmitF(p) =p′ undF(q) =q′.
Abgabe: 11.7.2006 in der Vorlesung. Viel Spaß in der vorlesungsfreien Zeit!
