Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tutorien Höhere Mathematik II 9.-11.7.2012
1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichungen. Wo Anfangsbedingun- gen gegeben sind, lösen Sie bitte zusätzlich das angegebene Anfangswertproblem.
a) y0 =xy2
b) y0 = (y−3) cosx, y(0) = 5
c) f0(x) = xf(x)1−x2 (|x|<1), f(0) = 42 2. Lösen Sie folgende Anfangswertprobleme.
a) f0(x) =xf(x) + 2x, f(0) = 2
b) (x2+ 2)y0−2xy= 3(x2+ 2)2, y(−1) = 6 c) y0+ycosx−sinxcosx= 0, y(0) = 1
3. Geben Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichungen an. Führen Sie zunächst die angegebene Variablensubstitution durch, um eine für die Trennung der Variablen geeignete Struktur der Differentialgleichung zu erhalten.
a) y0 =xy− yx2
, z=xy b) y0 = (2x+ 3y)2, z= 2x+ 3y
4. Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
u(t)(1 +t)u0(t) = (u(t))2−1−(1 +t)2 (t >−1), u(0) = 1.
Hinweis: Es empfiehlt sich eine Substitution der Form v(t) = 1−(u(t))2