Über einen innovativen Zugang zu einem Benchmark-Problem der Mechanik

Eugen Grycko

Über einen innovativen Zugang zu einem Benchmark-Problem der Mechanik

Lehrgebiet Stochastik Forschungsbericht

Fakultät für

Mathematik und

Informatik

UBER EINEN INNOVATIVEN ZUGANG ZU EINEM¨ BENCHMARK-PROBLEM DER MECHANIK

Eugen Grycko

Arbeitsgebiet Angewandte Mathematik Fakult¨at f¨ur Mathematik und Informatik

FernUniversit¨at Universit¨atsstraße 1 58084 Hagen / GERMANY

Zusammenfassung: Der Beitrag richtet sich in erster Linie an fortgeschrit- tene Studierende, die sich f¨ur Anwendungen der Funktional-Analysis in der Mechanik interessieren. Das Thema ist geeignet, im Rahmen einer Abschluss- arbeit vertieft zu werden.

Der Autor widmet den Beitrag Herrn Professor Werner Kirsch anl¨asslich seines 66-ten Geburtstags

1. Einleitung

Bekanntlich befindet sich ein mechanisches System im stabilen Gleichgewicht, wenn die potenzielle Energie des Zustands ein Minimum annimmt.

Wir betrachten ein einfaches System, das als ein nicht dehnbares, d¨unnes Seil ohne Form-Ged¨achtnis vorstellbar ist, dessen Enden auf gleicher H¨ohe fixiert sind. Wir nehmen an, dass sich die Position und Form des Seils mit einer stetig differenzierbaren reellen Funktion auf einem kompakten Intervall be- schreiben lassen. Da die potenzielle Energie des Seils im homogenen vertika- len Gravitationsfeld als ein Funktional auf einem Funktionenraum modelliert werden kann, ist es physikalisch plausibel, dass eine Funktion gesucht wird, f¨ur die das Funktional ein Minimum unter einer Nebenbedingung annimmt.

Dieser Ansatz motiviert den Begriff der differenzierbaren Funktionale, der im vorliegenden Beitrag eingef¨uhrt und analysiert wird.

Abschließend wird eine Relation zwischen den Ableitungen der potenziellen Energie und der Nebenbedingung hergeleitet, in der eine realistische Funk- tion f¨ur die Beschreibung des durchh¨angenden Seils und ein Lagrangescher Multiplikator involviert sind.

Wir empfehlen unserer Leserschaft den Kurs [9], in dem ausf¨uhrlicher auf dieses und verwandte Themen eingegangen wird. Es ist bekannt, dass sich das durchh¨angende Seil mit Hilfe des cosinus hyperbolicus beschreiben l¨asst;

vgl. [6], wo eine andere Herleitung als die im vorliegenden Beitrag ausgef¨uhr- te pr¨asentiert wird.

2. Pr¨aliminarien

In diesem Abschnitt werden Begriffe, mathematische Objekte und Sachver- halte gesammelt, die sich im vorliegenden Beitrag als n¨utzlich erweisen wer- den.

2.1 Bemerkung:

Seien Θ :R→Reine Funktion undη∈Rderart, dass Θ inηdifferenzierbar ist (vgl. [8]). Sei Θ⁰(η) die Ableitung von Θ an der Stelleη. Dann gilt:

limζ→0

Θ(η+ζ)−Θ(η)−Θ⁰(η)·ζ ζ

= 0.

Beweis:

Es gilt:

Θ(η+ζ)−Θ(η)−Θ⁰(η)·ζ

ζ = Θ(η+ζ)−Θ(η)

ζ −Θ⁰(η)→Θ⁰(η)−Θ⁰(η) = 0 f¨urζ →0.

2.2 Beispiel:

Sei Θ :R→R die durch

Θ(η) :=p 1 +η²

definierte Funktion. Offenbar ist die Ableitungsfunktion Θ⁰ :R→Rgegeben durch:

Θ⁰(η) = η p1 +η².

Mit Bemerkung 2.1 folgt:

(2.1) lim

ζ→0





Θ(η+ζ)−Θ(η)− √^η·ζ

1+η²

ζ



= 0 f¨ur jedes η∈R.

Mit | · | werde die Euklidesche Norm aufR² bezeichnet.

2.3 Bemerkung:

SeienT :R² →Reine stetig differenzierbare Funktion undη := (η₁, η₂)∈R². Es gilt (vgl. [5]):

limζ→0

T(η+ζ)−T(η)− _∂η^∂T

1(η)·ζ1− _∂η^∂T

2(η)·ζ2

|(ζ₁, ζ₂)|

!

= 0.

2.4 Beispiel:

Sei T :R² →R die durch

T(η₁, η₂) :=

q

1 +η₂²·η₁ definierte Funktion. Offenbar ist

∂T

∂η1

(η), ∂T

∂η2

(η)

= q

1 +η₂², η₂

p1 +η²₂ ·η₁

! . Bemerkung 2.3 impliziert:

(2.2) lim

ζ→0





T(η+ζ)−T(η)−p

1 +η²₂ ·ζ₁− √^η2·η1

1+η²₂ ·ζ₂

|(ζ₁, ζ₂)|



= 0.

Sei jetzt (B,|| · ||) ein normierterR-Vektorraum..

F¨urr >0 und x∈B bezeichne

B_r(x) :={y∈B| |y−x||< r}

den offenen Ball mit dem Mittelpunkt x und Radius r.

Eine Teilmenge U ⊆Bheißt bekanntlich offen in B, wenn es zu jedemx∈U ein r >0 existiert mitB_r(x)⊆U.

Sei f :B→R eine lineare Abbildung mit

(2.3) sup{f(x)|x∈B₁(0)}<∞.

Eine solche Abbildung ist bekanntlich stetig.

Die Menge aller linearen Abbildungenf :B→Rmit (2.3) heißt der (stetige) Dual vonBund wird mitB⁰ bezeichnet. AufB⁰ l¨asst sich auf nat¨urliche Weise die Vektorraum-Struktur einf¨uhren.

Auf B⁰ l¨asst sich auch eine Norm || · ||⁰ erkl¨aren:

||f||⁰ := sup{f(x)|x∈B₁(0)}.

Aus der Funktional-Analysis ist bekannt, dass das Tupel (B⁰,||·||⁰) ein Banach- Raum ist.

Da man an Hand des Arguments erkennen kann, ob || · || oder|| · ||⁰ gemeint ist, lassen wir das Apostroph in || · ||⁰ weg.

3. Differenzierbarkeit von reellen Funktionalen

Sei (B,|| · ||) wieder ein normierter R-Vektorraumaum und (B⁰,|| · ||) sein stetiger Dual.

Seien ferner U eine offene Teilmenge von B, f : U → R eine Funktion und a ∈ U. Die Funktion f heißt differenzierbar in a, falls es eine lineare und stetige Funktion f⁰(a) :B→R existiert mit

(3.1) lim

h→0

f(a+h)−f(a)−f⁰(a)h

||h|| = 0.

f⁰(a)∈B⁰ heißt dann die Ableitung von f ina.

3.1 Bemerkung:

Angenommen, es gibt zwei verschiedene Ableitungen f₁⁰(a) und f₂⁰(a) von f in a. W¨ahle einh∈B mit f₁⁰(a)h6=f₂⁰(a)h. Es folgt f¨urα >0:

f(a+αh)−f(a)−f₁⁰(a)(αh)

α||h|| − f(a+αh)−f(a)−f₂⁰(a)(αh) α||h||

= f₂⁰(a)(αh)−f₁⁰(a)(αh) α||h||

= f₂⁰(a)h−f₁⁰(a)h

||h|| 6= 0

und dieser Term konvergiert nicht gegen 0 f¨urα →0, was im Widerspruch zur Annahme steht. Deshalb hat eine differenzierbare Funktion in einem Punkt nur eine Ableitung.

3.2 Bemerkung:

Aus der Differenzierbarkeit von f in einem Punkt afolgt die Stetigkeit in a:

Bedingung (3.1) und die Relation

h→0limf⁰(a)h= 0 implizieren

h→0limf(a+h) = f(a).

Funktion f heißt differenzierbar auf U, wenn f differenzierbar in a ist f¨ur jedes a ∈U. Die Funktion f⁰ : U → B⁰ derart, dass f⁰(a) die Ableitung von f in a ist f¨ur jedes a ∈ U, heißt dann die Ableitungsfunktion von f. Nach 3.1 ist f⁰ eindeutig definiert und damit ist die Bezeichnung berechtigt.

Ist die Funktion f⁰ : U → B⁰ stetig, dann heißt die Funktion f : U → R stetig differenzierbar.

3.3 Beispiel:

Sei f :B→Reine stetige lineare Funktion. An Hand von (3.1) erkennt man, dass f differenzierbar ist mit f⁰(a) =f f¨ur jedes a∈B. Also ist f⁰ konstant und somit stetig. Es folgt, dass f stetig differenzierbar ist.

3.4 Bemerkung:

Sei f :U →R in einem Punkt a∈U differenzierbar und sei h∈B beliebig.

F¨ur hinreichend kleinesr >0 werde die Funktion

g : (−r, r)→R, g(α) :=f(a+αh)

definiert. Dann ist die Funktiong differenzierbar in α= 0 und es gilt gem¨aß (3.1):

g⁰(0) = lim

α→0

g(α)−g(0) α

= lim

α→0

f(a+αh)−f(a) α

= lim

α→0

f(a+αh)−f(a)−f⁰(a)(αh)

|α| · ||h|| ·sign(α) · ||h||

+ lim

α→0

α·f⁰(a)h α

= f⁰(a)h.

3.5 Satz:

Seien f : U → R eine differenzierbare Funktion, a ∈ U und h ∈ B derart, dass die Strecke

{a+αh|α∈[0,1]}

in U enthalten ist. Dann existiert ein α∈(0,1) mit f(a+h)−f(a) =f⁰(a+αh)h.

Beweis:

Definiere die Funktion

g : [0,1]→R, g(α) := f(a+αh).

Gem¨aß Bemerkung 3.4 gilt f¨urα∈(0,1):

g⁰(α) = lim

β→0

g(α+β)−g(α) β

= lim

β→0

f(a+ (α+β)h)−f(a+αh) β

= f⁰(a+αh)h.

Also ist die Funktion g differenzierbar auf (0,1). Nach dem klassischen Mit- telwertsatz der Differenzialrechnung (vgl. [8]) existiert ein α∈(0,1) mit

g(1)−g(0) =g⁰(α), womit das Gew¨unschte gezeigt ist. q.e.d.

3.6 Lemma:

Seien a ∈ U und f₁, f₂ : U → R zwei Funktionale, die differenzierbar in a sind. Seien ferner α₁, α₂ ∈ R und f : U → R die Linearkombination f =α₁·f₁+α₂·f₂ von f₁ und f₂. Dann ist f ebenfalls differenzierbar in a und es gilt:

f⁰(a) =α₁·f₁⁰(a) +α₂·f₂⁰(a).

Beweis:

Die G¨ultigkeit der Formel folgt mit einer Standard-Anwendung der Definition der Ableitung. q.e.d.

3.7 Satz:

Seien a ∈ U und f₁, f₂ : U → R zwei Funktionale, die differenzierbar in a sind. Dann ist das Produkt f₁·f₂ :U →R ebenfalls differenzierbar ina und es gilt:

(f₁·f₂)⁰(a) = f₁⁰(a)·f₂(a) +f₁(a)·f₂⁰(a).

Beachten Sie, dass in der obigen Formel eine Linearkombination von stetigen Linear-Formen bem¨uht wird, die ihrerseits auch eine stetige Linear-Form ist.

Beweis:

Der Beweis verwendet Bemerkung 3.2, ist aber etwas technisch und wird zur Ein¨ubung der Definition der Ableitung empfohlen. q.e.d.

4. Differenziation von nichtlinearen Funktionalen

Sei [a, b]⊂Rein kompaktes Intervall undC[a, b] der Vektorraum der stetigen Funktionen ϕ: [a, b]→R. Bekanntlich wird durch

||ϕ||∞ := sup

ξ∈[a,b]

|ϕ(ξ)|

eine vollst¨andige Norm auf C[a, b] erkl¨art.

Sei jetzt C¹[a, b] der Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen ϕ: [a, b] → R. Aus der Funktional-Analysis ist bekannt, dass (C¹[a, b],|| · ||∞) kein vollst¨andig normierter Raum ist. Dagegen wird durch

||ϕ||₁ :=||ϕ||∞+||ϕ⁰||∞

eine vollst¨andige Norm|| ·||₁ aufC¹[a, b] erkl¨art. MitC¹[a, b]⁰ wird der stetige Dual des vollst¨andig normierten Raums (C¹[a, b],|| · ||₁) bezeichnet.

4.1 Beispiel:

Offenbar ist jede Evaluations-Abbildung

e_ξ :C¹[a, b]→R, e_ξ(ϕ) :=ϕ(ξ),

linear und stetig und somit e_ξ ∈C¹[a, b]⁰ f¨urξ ∈[a, b], vgl. Beispiel 3.3.

4.2 Satz:

Sei Θ :R→R eine stetig differenzierbare Funktion. Durch f(ϕ) :=

b

Z

a

Θ(ϕ⁰(ξ)) dξ

wird ein stetiges Funktional f : C¹[a, b] → R definiert. f ist auch differen- zierbar auf C¹[a, b] und es gilt:

(4.1) f⁰(ϕ)ψ =

b

Z

a

Θ⁰(ϕ⁰(ξ))·ψ⁰(ξ) dξ f¨urϕ, ψ∈C¹[a, b].

Beweis:

Durch

(4.2) Ξ(ξ, ϕ, ψ) := Θ(ϕ⁰(ξ) +ψ⁰(ξ))−Θ(ϕ⁰(ξ))−Θ⁰(ϕ⁰(ξ))ψ⁰(ξ)

||ψ||₁ wird ein stetiges Funktional

(4.3) Ξ : [a, b]×C¹[a, b]×(C¹[a, b]\ {0})→R

definiert.

Seien ϕ ∈ C¹[a, b] und ξ ∈ [a, b] beliebig aber fest und sei ε > 0. Nach Bemerkung 2.1 existiert ein δ >0 derart, dass gilt:

(4.4) |Θ(ϕ⁰(ξ) +ζ)−Θ(ϕ⁰(ξ))−Θ⁰(ϕ⁰(ξ))·ζ|

|ζ| < ε

f¨ur jedes ζ ∈R\ {0} mit |ζ|< δ.

Sei

ψ ∈B_δ(0)\ {0} ⊂C¹[a, b]

beliebig.

Falls ψ⁰(ξ) = 0 ist, dann impliziert (4.2):

|Ξ(ξ, ϕ, ψ)|= 0< ε.

Falls ψ(ξ)6= 0, dann ist|ψ⁰(ξ)| ≤ ||ψ||1 < δ und es folgt mit (4.4):

|Ξ(ξ, ϕ, ψ)| = |Θ(ϕ⁰(ξ) +ψ⁰(ξ))−Θ(ϕ(ξ))−Θ⁰(ϕ⁰(ξ))·ψ⁰(ξ)|

||ψ||₁

≤ |Θ(φ⁰(ξ) +ψ⁰(ξ))−Θ(ϕ⁰(ξ))−Θ⁰(ϕ⁰(ξ))·ψ⁰(ξ)|

|ψ⁰(ξ)|

< ε.

Wir haben also gezeigt, dass

(4.5) lim

ψ→0Ξ(ξ, ϕ, ψ) = 0 ist f¨ur jedes ξ ∈[a, b] und jedesϕ∈C¹[a, b].

F¨urϕ∈C¹[a, b] und ψ ∈C¹[a, b]\ {0} setze

I(ϕ, ψ) :=

b

Z

a

Ξ(ξ, ϕ, ψ) dξ.

Die Stetigkeit von Ξ, (4.5) und der Satz von Lebesgue ¨uber majorisierte Konvergenz (vgl. [7]) implizieren:

(4.6) lim

ψ→0I(ϕ, ψ) = 0,

womit wegen der Linearit¨at des Integrals das Gew¨unschte gezeigt ist. q.e.d.

4.3 Bemerkung:

An Hand von (4.1) erkennt man, dass die Ableitungsfunktion f⁰ :C¹[a, b]→ C¹[a, b]⁰ stetig ist, so dass das Funktional f :C¹[a, b]→R stetig differenzier- bar ist.

4.4 Beispiel:

Sei Θ :R→R die durch Θ(η) :=p

1 +η² definierte Funktion. Durch λ(ϕ) :=

b

Z

a

Θ(ϕ⁰(ξ)) dξ

wird ein stetiges und nichtlineares Funktional λ :C¹[a, b]→Rdefiniert.

Aus der Analysis ist bekannt, dass durch λ(ϕ) die L¨ange des Graphen einer Funktionϕ∈C¹[a, b] definiert wird. Satz 4.2 impliziert, dass die Ableitungs- funktion λ⁰ :C¹[a, b]→C¹[a, b]⁰ die Darstellung

(4.7) λ⁰(ϕ)ψ =

b

Z

a

ψ⁰(ξ)ϕ⁰(ξ) p1 + (ϕ⁰(ξ))² dξ besitzt.

4.5 Satz:

Sei T : R² → R eine stetig differenzierbare Funktion. F¨ur η = (η₁, η₂) ∈ R² bezeichnen

∂T

∂η₁ und ∂T

∂η₂

die partiellen Ableitungen von T. Durch die Vorschrift

(4.8) f(ϕ) :=

b

Z

a

T

ϕ(ξ) ϕ⁰(ξ)

dξ

wird ein stetiges Funktionalf :C¹[a, b]→Rdefiniert.f ist auch differenzier- bar aufC¹[a, b] und es gilt f¨ur die Ableitungsfunktionf⁰ :C¹[a, b]→C¹[a, b]⁰: (4.9) f⁰(ϕ)ψ =

b

Z

a

∂T

∂η₁

ϕ(ξ) ϕ⁰(ξ)

·ψ(ξ) + ∂T

∂η₂

ϕ(ξ) ϕ⁰(ξ)

·ψ⁰(ξ) dξ

f¨urϕ, ψ∈C¹[a, b].

Beweis:

Durch die Vorschrift (4.10)

Ξ



 ξ ϕ ψ



:=

T

ϕ(ξ) +ψ(ξ) ϕ⁰(ξ) +ψ⁰(ξ)

−T

ϕ(ξ) ϕ⁰(ξ)

−_∂η^∂T

1

ϕ(ξ) ϕ⁰(ξ)

·ψ(ξ)−_∂η^∂T

2

ϕ(ξ) ϕ⁰(ξ)

·ψ⁰(ξ)

||ψ||₁ wird eine stetige Funktion

Ξ : [a, b]×C¹[a, b]×(C¹[a, b]\ {0})→R definiert.

Seien ϕ ∈ C¹[a, b] und ξ ∈ [a, b] beliebig aber fest und sei ε > 0. Nach Bemerkung 2.3 existiert ein δ >0 derart, dass gilt:

(4.11) T

ϕ(ξ) +ζ₁ ϕ⁰(ξ) +ζ₂

−T

ϕ(ξ) ϕ⁰(ξ)

− _∂η^∂T

1

ϕ(ξ) ϕ⁰(ξ)

·ζ₁− _∂η^∂T

2

ϕ(ξ) ϕ⁰(ξ)

·ζ₂

|ζ| < ε

f¨ur alleζ ∈R²\ {0} mit |ζ|< δ.

Sei

ψ ∈B_δ(0)\ {0} ⊂C¹[a, b]

beliebig.

Ist |(ψ(ξ), ψ⁰(ξ))|= 0, dann impliziert (4.10):

Ξ



 ξ ϕ ψ



= 0 < ε.

Falls (ψ(ξ), ψ⁰(ξ))6= (0,0) ist, impliziert (4.11):

Ξ



 ξ ϕ ψ



 < ε,

weil die Ungleichung |(ψ(ξ), ψ⁰(ξ))| ≤ ||ψ||1 < δ erf¨ullt ist.

Wir haben also gezeigt, dass

ψ→0limΞ



 ξ ϕ ψ



= 0

f¨ur jedes ξ ∈ [a, b] und jedes ϕ ∈C¹[a, b] gilt. Analog zum Beweis von Satz 4.2 implizieren der Satz von Lebesgue ¨uber majorisierte Konvergenz und die Linearit¨at des Integrals das Gew¨unschte. q.e.d.

4.6 Bemerkung:

Identit¨at (4.9) impliziert, dass das Funktionalf stetig differenzierbar ist.

4.7 Bemerkung:

Satz 4.2 ist ein Spezialfall des Satzes 4.5.

4.8 Beispiel:

Betrachtet wird ein d¨unnes, nicht dehnbares und homogenes Seil der L¨ange L und Masse M, welches sich in dem ebenen Streifen [a, b]×R ⊂ R² mit b−a < Lbefindet. Wir nehmen an, dass sich die Position und Form, die das Seil angenommen hat, mit Hilfe des Graphen einer Funktionϕ∈C¹[a, b] be- schreiben lassen. Die Endpunkte des Seils m¨ogen die Koordinaten (a, ϕ(a)) und (b, ϕ(b)) besitzen. Wir stellen uns vor, dass der Streifen [a, b]×R ei- nem homogenen Gravitationsfeld in vertikaler Richtung und der St¨arke g = 9.81m/s² ausgesetzt ist. Der infinitesimale Beitrag dE zur potenziellen Ge- samtenergie des Seils im Gravitationsfeld ist gegeben durch:

dE =dm·g·ϕ(ξ) = M g

L ·dl·ϕ(ξ) = M g L ·p

1 + (ϕ⁰(ξ))²·ϕ(ξ)dξ f¨ur ξ ∈ [a, b]. Es folgt, dass die potenzielle Gesamtenergie E : C¹[a, b] → R des Seils die Darstellung

E(ϕ) := M g L ·

b

Z

a

p1 + (ϕ⁰(ξ))² ·ϕ(ξ) dξ

besitzt. Offenbar ist E ein stetiges Funktional auf (C¹[a, b],|| · ||₁). Sei T : R² →R die durch

(4.12) T

η₁ η₂

:= M g L ·

q

1 +η₂²·η₁

definierte (stetig differenzierbare) Funktion. Bekanntlich hat das Funktional E die Darstellung:

(4.13) E(ϕ) =

b

Z

a

T

ϕ(ξ) ϕ⁰(ξ)

dξ

im Sinne von (4.8). Wie man mit Hilfe des Beispiels 2.4 erkennt, liefert Satz 4.5 die Darstellung

(4.14) E⁰(ϕ)ψ = M g L ·

b

Z

a

p1 + (ϕ⁰(ξ))²·ψ(ξ) + ϕ(ξ)·ϕ⁰(ξ)

p1 + (ϕ⁰(ξ))² ·ψ⁰(ξ)dξ f¨ur die AbleitungsfunktionE⁰ :C¹[a, b]→C¹[a, b]⁰ von E.

5. Lokale Extrema

Sei (B,|| · ||) ein normierter R-Vektorraum, (B⁰,|| · ||) sein stetiger Dual, U eine offene Teilmenge von B und f :U →R eine Funktion.

Bekanntlich besitzt f ein lokales Maximum in einem Punkt a ∈ U, falls ein r >0 existiert mit f(a)≥f(b) f¨ur jedes b ∈B_r(a)⊆U.

Funktionf besitzt entsprechend ein lokales Minimum in einem Punkta∈U, falls ein r >0 existiert mit f(a)≤f(b) f¨ur jedes b ∈B_r(a)⊆U.

5.1 Proposition:

Die Funktionf :U →Rbesitze ein lokales Extremum in einem Punkta∈U. Ist f differenzierbar in a, dann folgt: f⁰(a) = 0∈B⁰.

Beweis:

Die Funktion f besitze o.B.d.A. ein Maximum in a. Wir nehmen an, dass f⁰(a)6= 0 ist. Es existiert einh∈Bmitf⁰(a)h >0, obwohl gem¨aß Bemerkung 3.4 folgt:

f⁰(a)h = lim

α→0⁺

f(a+αh)−f(a)

α ≤0,

was ein Widerspruch ist. Die Annahmef⁰(a)6= 0 hat sich als falsch erwiesen.

q.e.d.

6. Lokale bedingte Extrema auf Rⁿ

Seien n, k ∈N mit k < n, U_k ⊆R^k und U_n−k ⊆R^n−k offene Teilmengen und f_j :U_k×Un−k→R, (j = 1,· · · , k) stetig differenzierbare Funktionen. Dann ist

(f₁, . . . , f_k) :U_k×U_n−k →R^k

eine stetig differenzierbare Abbildung. F¨ur ein (a, b)∈U_k×Un−kmit (f₁, . . . , f_k)(a, b) = 0∈R^k gelte

(6.1) Rg













∂f1

∂x1 · · · _∂x^∂f1

k

· ·

· ·

· ·

∂fk

∂x1 · · · _∂x^∂fk

k













|_x=(a,b)=k.

Nach dem Satz ¨uber implizite Funktionen (vgl. [5]) existieren offene Umge- bungenV_k⊆U_kvonaundVn−k ⊆Un−kvonbund eine stetig differenzierbare Abbildung

g = (g₁, . . . , g_k) :Vn−k→V_k ⊆R^k mit g(b) =a und

(6.2) f_j(g(x_k+1, . . . , x_n), x_k+1, . . . , x_n) = 0 f¨urj = 1, . . . , k und jedes (x_k+1, . . . , x_n)∈Vn−k.

Seiene_k+1, . . . , e_n∈R^n−k die kanonischen Basisvektoren desR^n−k. (6.2) und die Kettenregel der Differenziation implizieren:

(6.3)













∂f1

∂x1 · · · _∂x^∂f1

n

· ·

· ·

· ·

∂fk

∂x1 · · · _∂x^∂fk

n













·



















∂g1

∂xk+1 · · · _∂x^∂g1

n

· ·

· ·

· ·

∂gk

∂xk+1 · · · _∂x^∂gk

n

e_k+1 · · · e_n



















= 0∈R^k×(n−k)

f¨ur (x_k+1, . . . , x_n)∈V_n−k.

6.1 Bemerkung:

Da die Zeilenvektoren (6.4)

∂f_j

∂x₁, . . . , ∂f_j

∂x_n

|_x (j = 1, . . . , k)

linear unabh¨angig sind f¨ur (x₁, . . . , x_n)∈V_k×Vn−k, erzeugen sie aus Gr¨unden der Dimension das orthogonale Komplement des von der Basis

(6.5)



















∂g1

∂xk+1

·

·

·

∂gk

∂xk+1

e_k+1

















 , . . . ,

















∂g1

∂xn

·

·

·

∂gk

∂xn

e_n

















erzeugten Untervektorraums von Rⁿ f¨ur (x_k+1, . . . , x_n)∈V_n−k, vgl. (6.1).

Sei jetzt Λ :V_k×Vn−k →R eine stetig differenzierbare Funktion, die an der Stelle (a, b) ein bedingtes lokales Minimum besitzt, d.h., dass ein r > 0 mit B_r(a, b)⊂V_k×Vn−k derart existiert, dass die Ungleichung

(6.6) Λ(x₁, . . . , x_n)≥Λ(a, b) f¨ur alle (x₁, . . . , x_n)∈B_r(a, b) mit

f_j(x₁, . . . , x_n) = 0 (j = 1, . . . , k) erf¨ullt ist.

Sei

(g,Id_Vn−k) :V_n−k →V_k×V_n−k die durch

(g,Id_Vn−k)(x_k+1, . . . , x_n) := (g(x_k+1, . . . , x_n), x_k+1, . . . , x_n)

definierte, stetig differenzierbare Abbildung. (6.2) und (6.6) implizieren die Ungleichung

Λ◦(g,Id_Vn−k)(x_k+1, . . . , x_n)≥Λ(a, b) = Λ◦(g,Id_Vn−k)(b)

f¨ur alle (x_k+1, . . . , x_n) aus dem (offenen) Urbild (g,Id_Vn−k)⁻¹(B_r(a, b)) von B_r(a, b).

Mit Proposition 5.1 folgt:

∂

∂x_k+1, . . . , ∂

∂x_n

Λ◦(g,Id_Vn−k)|_{(xk+1,...,xn)=b} = 0∈R^n−k.

Mit Bemerkung 6.1 und der Kettenregel der Differenziation folgt, dass der Gradient

∂Λ

∂x1

, . . . , ∂Λ

∂xn

|_x=(a,b)

ein Element der linearen H¨ulle der (linear unabh¨angigen) Vektoren ∂f_j

∂x₁, . . . , ∂f_j

∂x_n

|_x=(a,b) (j = 1, . . . , k)

ist. Es existieren also Lagrangesche Multiplikatoren α₁, . . . , α_k ∈Rmit ∂Λ

∂x1

, . . . , ∂Λ

∂xn

|_x=(a,b) =

k

X

j=1

α_j · ∂f_j

∂x1

, . . . , ∂f_j

∂xn

|_x=(a,b).

7. Lokale bedingte Extrema in Banach-R¨aumen

Seien (B,|| · ||) ein vollst¨andig normierter R-Vektorraum, Λ, f :B→R zwei stetig differenzierbare Funktionale und a ∈B mit f(a) = 0 und f⁰(a)6= 0∈ B⁰. Das Funktional Λ sei bedingt lokal minimal in a, d.h., dass ein r > 0 existiert derart, dass f¨ur jedes x ∈ B_r(a) mit f(x) = 0 die Ungleichung Λ(a) ≤ Λ(x) erf¨ullt ist. Die Ableitungsfunktion f⁰ : B → B⁰ sei um a lokal Lippschitz-beschr¨ankt, d.h., dass eine positive Konstante K existiert derart, dass gilt:

||f⁰(a+h)−f⁰(a)|| ≤K · ||h||

f¨ur jedes h∈B_r(0).

7.1 Satz:

Unter den obigen Annahmen gilt: Es existiert ein Lagrangescher Multiplika- tor α∈R mit

Λ⁰(a) = α·f⁰(a).

Beweis:

Da die Voraussetzungf⁰(a)6= 0∈B⁰ impliziert, dassf⁰(a) :B→Rsurjektiv ist, ist Satz 7.1 ein Spezialfall von Theorem 11.3.2 aus [4]. q.e.d.

8. ¨Uber einen Lagrangeschen Multiplikator

Sei b > 0 und C¹[−b, b] der Vektorraum der stetig differenzierbaren Funk- tionen ϕ : [−b, b]→ R versehen mit der vollst¨andigen Norm || · ||₁; vgl. Ab- schnitt 4. Betrachtet werden die linearen und stetigen Evaluation-Funktionale e−b, e_b :C¹[−b, b]→R und der abgeschlossene Untervektorraum

B:= ker(e−b)∩ker(e_b) ={ϕ∈C¹[−b, b]|ϕ(−b) =ϕ(b) = 0}, auf dem die Norm || · ||₁ ebenfalls vollst¨andig ist.

Damit die folgenden Ausf¨uhrungen anschaulich werden, nehmen wir an, dass sowohl die Argumente ξ ∈ [−b, b] als auch die Werte ϕ(ξ) von Funktionen ϕ ∈ B die gleiche L¨angeneinheit tragen. Es folgt, dass die Werte ϕ⁰(ξ) der Ableitungen ϕ⁰ einheitenlos sind.

Wir ¨ubernehmen die ParameterM, gundLaus Beispiel 4.8 und restringieren das Funktional E :C¹[−b, b]→R mit

E(ϕ) := M·g L ·

b

Z

−b

p1 + (ϕ⁰(ξ))²·ϕ(ξ) dξ

auf den Unterraum B. Gem¨aß Beispiel 4.8 ist die Ableitung E⁰ : B → B⁰ gegeben durch

(8.1) E⁰(ϕ)ψ = M g L ·

b

Z

−b

p1 + (ϕ⁰(ξ))²·ψ(ξ) + ϕ(ξ)·ϕ⁰(ξ)

p1 + (ϕ⁰(ξ))² ·ψ⁰(ξ) dξ

f¨urϕ, ψ∈B. Mit dem Satz von Lebesgue ¨uber majorisierte Konvergenz folgt, dass das Funktional E stetig differenzierbar ist auf B.

Sei λ:B→Rdas durch

λ(ϕ) :=

b

Z

−b

p1 + (ϕ⁰(ξ))² dξ

definierte Funktional. λ(ϕ) gibt die L¨ange des Graphen von ϕ an. Gem¨aß Beispiel 4.4 ist die Ableitung λ⁰ :B→B⁰ von λ gegeben durch:

(8.2) λ⁰(ϕ)ψ =

b

Z

−b

ϕ⁰(ξ)·ψ⁰(ξ) p1 + (ϕ⁰(ξ))² dξ f¨urϕ, ψ∈B.

8.1 Bemerkung:

Die Darstellung (8.2) impliziert, dass λ⁰ Lippschitz-beschr¨ankt ist aufB. Durch

ch(ξ) := exp(ξ) + exp(−ξ)

2 und sh(ξ) := exp(ξ)−exp(−ξ)

2

werden zwei Funktionen ch,sh: [−b, b]→R definiert, f¨ur die die Relationen ch⁰ = sh, sh⁰ = ch und 1 + sh² = ch²

gelten.

Da die Argumente und die Werte der Exponentialfunktion keine Einheiten tragen sollten, f¨uhren wir eine Konstante β > 0 ein, die eine L¨angeneinheit tr¨agt, und definieren die Funktion

ϕ₀ : [−b, b]→R, ϕ₀(ξ) :=β·

ch ξ

β

−ch b

β

. Offenbar ist ϕ0 ∈B und es gilt wegen (8.1):

E⁰(ϕ₀)ψ = M g L ·

b

Z

−b

ch ξ

β

·ψ(ξ)

+

β· ch

ξ β

−ch

b β

·sh

ξ β

ch

ξ β

·ψ⁰(ξ) dξ

= M g L ·

b

Z

−b

ch ξ

β

·ψ(ξ) +β·sh ξ

β

·ψ⁰(ξ) dξ

−

βM g·ch

b β

L ·

b

Z

−b

sh

ξ β

ch ξ

β

·ψ⁰(ξ)dξ

= M g

L ·[β·sh ξ

β

·ψ(ξ)]^b_−b −

βM g·ch

b β

L ·

b

Z

−b

sh

ξ β

ch

ξ β

·ψ⁰(ξ) dξ

= −

βM g·ch

b β

L ·

b

Z

−b

sh

ξ β

ch

ξ β

·ψ⁰(ξ)dξ f¨ur jedes ψ ∈B. Wir haben also die Identit¨at

(8.3) E⁰(ϕ₀)ψ =−

βM g·ch

b β

L ·

b

Z

−b

sh

ξ β

ch

ξ β

·ψ⁰(ξ) dξ f¨urψ ∈B gezeigt.

Offenbar ist

(8.4) L=λ(ϕ0) =

b

Z

−b

ch ξ

β

dξ= 2β·sh b

β

.

Gleichung (8.2) impliziert

(8.5) λ⁰(ϕ₀)ψ =

b

Z

−b

sh

ξ β

ch

ξ β

·ψ⁰(ξ)dξ f¨urψ ∈B.

Setze

α :=−

βM g·ch

b β

L .

Gleichungen (8.3) und (8.5) ziehen nach sich, dass αein Lagrangescher Mul- tiplikator ist; es gilt n¨amlich:

E⁰(ϕ₀)ψ =α·λ⁰(ϕ₀)ψ

f¨ur alle ψ ∈ B. Also minimiert ϕ₀ m¨oglicherweise die potenzielle Energie E(ϕ) unter allenϕ∈B, die die Nebenbedingungλ(ϕ) =Lerf¨ullen, was phy- sikalisch plausibel w¨are und sich empirisch untersuchen l¨asst; wir berichten eine solche Untersuchung in Abschnitt 9.

9. Experimentelle ¨Uberpr¨ufung

Wir betrachten die in Abschnitt 8 definierte Funktion ϕ₀ : [−b, b] → R mit b :=β := 13cm.

Wir erzeugen rechnergest¨utzt den Graphen von ϕ₀ und drucken ihn als eine rote Kurve aus. Anschließend befestigen wir das bedruckte Blatt an einer Pinnwand. Dann fixieren wir einen schwarzen Schn¨ursenkel an der Pinnwand, so dass er die rote Kurve ¨uberdeckt; vgl. Abb. 1.

Abb. 1: Durchh¨angender Schn¨ursenkel

Offenbar h¨angt der Schn¨ursenkel unter dem Einfluss des Gravitationsfeldes durch und koinzidiert mit dem Graphen von ϕ₀; vgl. Abb. 2.

Abb. 2:Der Graph von ϕ₀

Danksagung

Der Autor bedankt sich bei Andrei Duma, Silke Hartlieb, Stefan Helfert, Frank Recker, Michael Skrzipek und Andreas Wiegner f¨ur die tatkr¨aftige Unterst¨utzung der Untersuchung. Mein Dank gilt auch Michael Fleermann f¨ur seine wertvollen Literaturhinweise. Ich bedanke mich nicht zuletzt bei Wilfried Arends f¨ur die grafische Ausgestaltung von Abschnitt 9. Die Betei- ligung aller genannten Freund*innen*e war pivotal f¨ur die Entstehung des vorliegenden Beitrags.

Literatur

[1] H. Amann, J. Escher, Analysis I. 3. Aufl., Birkh¨auser Verlag, Basel, Bo- ston, Berlin (2006).

[2] H. Amann, J. Escher, Analysis II. 3. Aufl., Birkh¨auser Verlag, Basel, Boston, Berlin (2006).

[3] H. Amann, J. Escher, Analysis III. 3. Aufl., Birkh¨auser Verlag, Basel, Boston, Berlin (2006).

[4] F. Botelho, Functional Analysis and Applied Optimization in Banach Spaces. Springer, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London (2014).

[5] O. Forster, Analysis 2. 11. Aufl., Springer Spektrum, Wiesbaden, (2017).

[6] https://mathepedia.de/Kettenlinie (2022).

[7] W. Kirsch, Maß- und Integrationstheorie. Kurs der FernUniversit¨at, Ha- gen (2021).

[8] L. Unger, Mathematische Grundlagen. Kurs der FernUniversit¨at, Hagen (2020).

[9] K. Veselic,Mathematische Modellierung in Physik und Technik. Kurs der FernUniversit¨at, Hagen (2020).