Lemma 1.26 Ordnung entlang des Randes

Offline Bewegungsplanung: SWR und Touring

Elmar Langetepe University of Bonn

Lemma 1.26 Ordnung entlang des Randes

Lemma 1.26 Ordnung entlang des Randes

• Rechtwinkeliges Polygon

c4 s

c1

Lemma 1.26 Ordnung entlang des Randes

• Rechtwinkeliges Polygon

• Wesentliche Cuts werden nie ¨uberschritten!

c2

c4 s

c1

Lemma 1.26 Ordnung entlang des Randes

• Rechtwinkeliges Polygon

• Wesentliche Cuts werden nie ¨uberschritten!

• SWR besucht Cuts gem¨aß Ordnung

c4 s

c1

Lemma 1.26 Ordnung entlang des Randes

• Rechtwinkeliges Polygon

• Wesentliche Cuts werden nie ¨uberschritten!

• SWR besucht Cuts gem¨aß Ordnung

• Widerspruch! Abk¨urzung!

c2

c4 s

c1

s

c4 c1

c3 c2

x

Lemma 1.26 Ordnung entlang des Randes

• Rechtwinkeliges Polygon

• Wesentliche Cuts werden nie ¨uberschritten!

• SWR besucht Cuts gem¨aß Ordnung

• Widerspruch! Abk¨urzung!

c4 s

c1 c1

c3 c2

x

Lemma 1.26 Ordnung entlang des Randes

• Rechtwinkeliges Polygon

• Wesentliche Cuts werden nie ¨uberschritten!

• SWR besucht Cuts gem¨aß Ordnung

• Widerspruch! Abk¨urzung!

• O(n) Algorithmus!!

c2

c4 s

c1

s

c4 c1

c3 c2

x

SWR (RW Polygon) Alg. 1.9/Th. 1.27: O (n)

SWR (RW Polygon) Alg. 1.9/Th. 1.27: O (n)

c3

c1

(i) Wesentliche Cuts (ii) Abschneiden! (iii) Triangulation c2

(iv) Spiegeln und Ausrollen!!

s

s’

s

c3

c1 s

c2

c1 c2

c3

SWR (RW Polygon) Alg. 1.9/Th. 1.27: O (n)

c3

c1

(i) Wesentliche Cuts (ii) Abschneiden! (iii) Triangulation c2

s s

c3

c1 s

c2

c2

c3

SWR (RW Polygon) Alg. 1.9/Th. 1.27: O (n)

c3

c1

(i) Wesentliche Cuts (ii) Abschneiden! (iii) Triangulation c2

(iv) Spiegeln und Ausrollen!!

s

s’

s

c3

c1 s

c2

c1 c2

c3

(vi) Zusammenklappen!

SWR (RW Polygon) Alg. 1.9/Th. 1.27: O (n)

c3

c1

(i) Wesentliche Cuts (ii) Abschneiden! (iii) Triangulation c2

s s

c3

c1 s

c2

c2

c3 O(n)

SWR (RW Polygon) Alg. 1.9/Th. 1.27: O (n)

c3

c1

(i) Wesentliche Cuts (ii) Abschneiden! (iii) Triangulation c2

(iv) Spiegeln und Ausrollen!!

s

s’

s

c3

c1 s

c2

c1 c2

c3

(vi) Zusammenklappen!

O(n) O(n)

SWR (RW Polygon) Alg. 1.9/Th. 1.27: O (n)

c3

c1

(i) Wesentliche Cuts (ii) Abschneiden! (iii) Triangulation c2

s s

c3

c1 s

c2

c2

c3

O(n) O(n) O(n)

SWR (RW Polygon) Alg. 1.9/Th. 1.27: O (n)

c3

c1

(i) Wesentliche Cuts (ii) Abschneiden! (iii) Triangulation c2

(iv) Spiegeln und Ausrollen!!

s

s’

s

c3

c1 s

c2

c1 c2

c3

(vi) Zusammenklappen!

O(n) O(n) O(n)

SWR (RW Polygon) Alg. 1.9/Th. 1.27: O (n)

c3

c1

(i) Wesentliche Cuts (ii) Abschneiden! (iii) Triangulation c2

s s

c3

c1 s

c2

c2

c3

O(n) O(n) O(n)

SWR (Allgemeiner Fall)

SWR (Allgemeiner Fall)

• Corner Problem!!

4 5

SWR (Allgemeiner Fall)

• Corner Problem!!

• Def. 1.28 Folge wes. Cuts, die sich sukzessive schneiden

1 2

3

4 5

6

SWR (Allgemeiner Fall)

• Corner Problem!!

• Def. 1.28 Folge wes. Cuts, die sich sukzessive schneiden

• M¨ussen nicht gem¨aß Ordnung besucht werden

4 5

SWR (Allgemeiner Fall)

• Corner Problem!!

• Def. 1.28 Folge wes. Cuts, die sich sukzessive schneiden

• M¨ussen nicht gem¨aß Ordnung besucht werden

• Aber die zugeh¨origen P_ci!!!

1 2

3

4 5

6 P3

SWR (Allgemeiner Fall)

• Corner Problem!!

• Def. 1.28 Folge wes. Cuts, die sich sukzessive schneiden

• M¨ussen nicht gem¨aß Ordnung besucht werden

• Aber die zugeh¨origen P_ci!!!

4 5 P3

Lemma 1.29

Lemma 1.29

Die SWR besucht die Corner gem¨aß der Ordnung entlang des Randes!

Lemma 1.29

Die SWR besucht die Corner gem¨aß der Ordnung entlang des Randes!

Beweis: Genauso wie Lemma 1.26!

Lemma 1.29

Die SWR besucht die Corner gem¨aß der Ordnung entlang des Randes!

Beweis: Genauso wie Lemma 1.26! Anpassungen im Corner!

c3 c2

x c1

Lemma 1.29

Die SWR besucht die Corner gem¨aß der Ordnung entlang des Randes!

Beweis: Genauso wie Lemma 1.26! Anpassungen im Corner!

c3 c2

x

s

c4 c1

Touring a sequence of polygons (TPP)

Touring a sequence of polygons (TPP)

• Sequenz konvexer Polygone

Touring a sequence of polygons (TPP)

• Sequenz konvexer Polygone

P1

Touring a sequence of polygons (TPP)

• Sequenz konvexer Polygone

P1 P2

Touring a sequence of polygons (TPP)

• Sequenz konvexer Polygone

P1 P2

Touring a sequence of polygons (TPP)

• Sequenz konvexer Polygone

P1 P2

P3

P4

Touring a sequence of polygons (TPP)

• Sequenz konvexer Polygone

• Start s und Ziel t

P1 P2

P4 s

Touring a sequence of polygons (TPP)

• Sequenz konvexer Polygone

• Start s und Ziel t

• Besuche Polygone nach geg. Reihenfolge, Shortest Path

P1 P2

P3

P4

t s

Touring a sequence of polygons (TPP)

• Sequenz konvexer Polygone

• Start s und Ziel t

• Besuche Polygone nach geg. Reihenfolge, Shortest Path

P1 P2

s Fences for subsequence!

F3

P4

Touring a sequence of polygons (TPP)

• Sequenz konvexer Polygone

• Start s und Ziel t

• Besuche Polygone nach geg. Reihenfolge, Shortest Path

P1 P2

P3

t s

F3

P3

P4

Fences for subsequence!

Konvex boundary!!

Touring a sequence of polygons (TPP)

• Sequenz konvexer Polygone

• Start s und Ziel t

• Besuche Polygone nach geg. Reihenfolge, Shortest Path

P2.5

P1 P2

s

F3

P4

Fences for subsequence!

TPP

TPP

P1 P2

t s

P4 P3

TPP

P1 P2

t s

P4 P3

• Einfache Version:

• O(nk log ⁿ_k)

TPP

P1 P2

t s

P4 P3

• Einfache Version:

• O(nk log ⁿ_k)

• Build(Query): O(nk log ⁿ_k)

TPP

P1 P2

t s

P4 P3

• Einfache Version:

• O(nk log ⁿ_k)

• Build(Query): O(nk log ⁿ_k)

• Kompl.: O(n)

TPP

P1 P2

t s

P4 P3

• Einfache Version:

• O(nk log ⁿ_k)

• Build(Query): O(nk log ⁿ_k)

TPP

P1 P2

t s

P4 P3

• Einfache Version:

• O(nk log ⁿ_k)

• Build(Query): O(nk log ⁿ_k)

• Kompl.: O(n)

• Query (festes s): O(k log ⁿ_k)

Intersections!!

P2.5

P1 P2

P3

P4 s

t

Fences for subsequence!

F3

P3 P4

F3

P4

Konvex boundary!!

P3

TPP

P1 P2

t s

P4 P3

• Einfache Version:

• O(nk log ⁿ_k)

• Build(Query): O(nk log ⁿ_k)

Intersections!!

P2.5

P1 P2

P3

P4 s

t

Fences for subsequence!

F3

P3 P4

F3

P4

Konvex boundary!!

P3

• Allgemeine Version:

• Z¨aune, Rand konvex, etc.

TPP

P1 P2

t s

P4 P3

• Einfache Version:

• O(nk log ⁿ_k)

• Build(Query): O(nk log ⁿ_k)

• Kompl.: O(n)

• Query (festes s): O(k log ⁿ_k)

Intersections!!

P2.5

P1 P2

P3

P4 s

t

Fences for subsequence!

F3

P3 P4

F3

P4

Konvex boundary!!

P3

• Allgemeine Version:

• Z¨aune, Rand konvex, etc.

• O(nk² log n)

TPP

P1 P2

t s

P4 P3

• Einfache Version:

• O(nk log ⁿ_k)

• Build(Query): O(nk log ⁿ_k)

Intersections!!

P2.5

P1 P2

P3

P4 s

t

Fences for subsequence!

F3

P3 P4

F3

P4

Konvex boundary!!

P3

• Allgemeine Version:

• Z¨aune, Rand konvex, etc.

• O(nk² log n)

• ²

TPP

P1 P2

t s

P4 P3

• Einfache Version:

• O(nk log ⁿ_k)

• Build(Query): O(nk log ⁿ_k)

• Kompl.: O(n)

• Query (festes s): O(k log ⁿ_k)

Intersections!!

P2.5

P1 P2

P3

P4 s

t

Fences for subsequence!

F3

P3 P4

F3

P4

Konvex boundary!!

P3

• Allgemeine Version:

• Z¨aune, Rand konvex, etc.

• O(nk² log n)

• Build(Query): O(nk² log n)

• Kompl.: O(nk)

TPP

P1 P2

t s

P4 P3

• Einfache Version:

• O(nk log ⁿ_k)

• Build(Query): O(nk log ⁿ_k)

Intersections!!

P2.5

P1 P2

P3

P4 s

t

Fences for subsequence!

F3

P3 P4

F3

P4

Konvex boundary!!

P3

• Allgemeine Version:

• Z¨aune, Rand konvex, etc.

• O(nk² log n)

• ²

TPP

P1 P2

t s

P4 P3

• Einfache Version:

• O(nk log ⁿ_k)

• Build(Query): O(nk log ⁿ_k)

• Kompl.: O(n)

• Query (festes s): O(k log ⁿ_k)

Intersections!!

P2.5

P1 P2

P3

P4 s

t

Fences for subsequence!

F3

P3 P4

F3

P4

Konvex boundary!!

P3

• Allgemeine Version:

• Z¨aune, Rand konvex, etc.

• O(nk² log n)

• Build(Query): O(nk² log n)

• Kompl.: O(nk)

• Query (festes s): O(k log n+m)

Anwendung: Safari-Problem

Anwendung: Safari-Problem

K¨urzester Weg,

innerhalb eines Polygones, der eine Menge von schnittfreien Polygonen besucht.

Anwendung: Safari-Problem

K¨urzester Weg,

innerhalb eines Polygones, der eine Menge von schnittfreien Polygonen besucht.

Anwendung: Safari-Problem

K¨urzester Weg,

innerhalb eines Polygones, der eine Menge von schnittfreien Polygonen

besucht. • O(n²) ’92

• O(n³) ’94

• O(n³) Tan Hirata ’01

• O(n² log n) jetzt! Anpassen!!

Anwendung: SWR

Anwendung: SWR

Wesentlichen Teile!

Anwendung: SWR

Wesentlichen Teile!

Ordnung entlang des Randes!

Anwendung: SWR

Wesentlichen Teile!

Ordnung entlang des Randes!

Ein gemeinsamer Zaun! Schnitte!

Anwendung: SWR

Wesentlichen Teile!

Ordnung entlang des Randes!

Ein gemeinsamer Zaun! Schnitte!

• O(n⁴) ’91

• O(n⁴) Tan et al. ’99

• O(n³ log n) jetzt!

Lokale Eigenschaften: Lemma 1.31(i)

Lokale Eigenschaften: Lemma 1.31(i)

w P_i

v

α β

γ

(a) (b)

e₂ e₁

r₁

r₂ P_i

Lokale Eigenschaften: Lemma 1.31(i)

w P_i

v

α β

γ

(a) (b)

e₂ e₁

r₁

r₂ P_i

• (a) Reflektion an Kante e:

Lokale Eigenschaften: Lemma 1.31(i)

w P_i

v

α β

γ

(a) (b)

e₂ e₁

r₁

r₂ P_i

• (a) Reflektion an Kante e: α = β

Lokale Eigenschaften: Lemma 1.31(i)

w P_i

v

α β

γ

(a) (b)

e₂ e₁

r₁

r₂ P_i

• (a) Reflektion an Kante e: α = β

• (b) Reflektion an Knoten w:

Lokale Eigenschaften: Lemma 1.31(i)

w P_i

v

α β

γ

(a) (b)

e₂ e₁

r₁

r₂ P_i

• (a) Reflektion an Kante e: α = β

• (b) Reflektion an Knoten w: Innerhalb Winkelbereich γ

Lokale Eigenschaften: Lemma 1.31(i)

w P_i

v

α β

γ

(a) (b)

e₂ e₁

r₁

r₂ P_i

• (a) Reflektion an Kante e: α = β

• (b) Reflektion an Knoten w: Innerhalb Winkelbereich γ

• Sonst nicht optimal

Lokale Eigenschaften: Lemma 1.31(i)

w P_i

v

α β

γ

(a) (b)

e₂ e₁

r₁

r₂ P_i

• (a) Reflektion an Kante e: α = β

• (b) Reflektion an Knoten w: Innerhalb Winkelbereich γ

Lokale Eigenschaften: Lemma 1.31(i)

w P_i

v

α β

γ

(a) (b)

e₂ e₁

r₁

r₂ P_i

• (a) Reflektion an Kante e: α = β

• (b) Reflektion an Knoten w: Innerhalb Winkelbereich γ

• Sonst nicht optimal

• Lemma 1.31: Local optimality ⇒ Global optimality

Lemma 1.31 (ii) und (iii)

Lemma 1.31 (ii) und (iii)

• Bezeichnung π_i(p):

w P_i

v

α β

γ e₂ e₁

r₁

r₂ P_i

Lemma 1.31 (ii) und (iii)

• Bezeichnung π_i(p): lokal opt. Weg von s ¨uber P₁, . . . , P_i bis p

Lemma 1.31 (ii) und (iii)

• Bezeichnung π_i(p): lokal opt. Weg von s ¨uber P₁, . . . , P_i bis p

• Lokal optimal: Erf¨ullt ¨uberall die Bedingungen (a) oder (b)

w P_i

v

α β

γ e₂ e₁

r₁

r₂ P_i

Lemma 1.31 (ii) und (iii)

• Bezeichnung π_i(p): lokal opt. Weg von s ¨uber P₁, . . . , P_i bis p

• Lokal optimal: Erf¨ullt ¨uberall die Bedingungen (a) oder (b)

• Uber Ecken und Kanten, lokal nicht verk¨¨ urzbar

Lemma 1.31 (ii) und (iii)

• Bezeichnung π_i(p): lokal opt. Weg von s ¨uber P₁, . . . , P_i bis p

• Lokal optimal: Erf¨ullt ¨uberall die Bedingungen (a) oder (b)

• Uber Ecken und Kanten, lokal nicht verk¨¨ urzbar

• (ii): π_i(p) ist stets eindeutig!

w P_i

v

α β

γ e₂ e₁

r₁

r₂ P_i

Lemma 1.31 (ii) und (iii)

• Bezeichnung π_i(p): lokal opt. Weg von s ¨uber P₁, . . . , P_i bis p

• Lokal optimal: Erf¨ullt ¨uberall die Bedingungen (a) oder (b)

• Uber Ecken und Kanten, lokal nicht verk¨¨ urzbar

• (ii): π_i(p) ist stets eindeutig! (Konstruktiv!)

Lemma 1.31 (ii) und (iii)

• Bezeichnung π_i(p): lokal opt. Weg von s ¨uber P₁, . . . , P_i bis p

• Lokal optimal: Erf¨ullt ¨uberall die Bedingungen (a) oder (b)

• Uber Ecken und Kanten, lokal nicht verk¨¨ urzbar

• (ii): π_i(p) ist stets eindeutig! (Konstruktiv!)

• (iii): π_i(p) ist auch global optimal!

w P_i

v

α β

γ e₂ e₁

r₁

r₂ P_i

Lemma 1.31 (ii) und (iii)

• Bezeichnung π_i(p): lokal opt. Weg von s ¨uber P₁, . . . , P_i bis p

• Lokal optimal: Erf¨ullt ¨uberall die Bedingungen (a) oder (b)

• Uber Ecken und Kanten, lokal nicht verk¨¨ urzbar

• (ii): π_i(p) ist stets eindeutig! (Konstruktiv!)

• (iii): π_i(p) ist auch global optimal!

Beweis (iii): Jeder global optimale Weg muss lokal optimal sein!

Full comb. shortest path map: Beispiel

Full comb. shortest path map: Beispiel

• Fixiere den Startpunkt s

Full comb. shortest path map: Beispiel

• Fixiere den Startpunkt s

• Teile die Ebene in Regionen ein:

• Kombinatorisch gleiche K¨urzeste Wege

v1 e3

v3 e1 e2

s

v2 P1

s s v3

s e1 s v1

s v2 s e2

Full comb. shortest path map: Beispiel

• Fixiere den Startpunkt s

• Teile die Ebene in Regionen ein:

• Kombinatorisch gleiche K¨urzeste Wege

v1 e3

v3 e1 P1 e2

s s v3

s v1

t1

Full comb. shortest path map: Beispiel

• Fixiere den Startpunkt s

• Teile die Ebene in Regionen ein:

• Kombinatorisch gleiche K¨urzeste Wege

v1 e3

v3 e1 e2

s

v2 P1

s s v3

s e1 s v1

s v2 s e2 t1

Full comb. shortest path map: Beispiel

• Fixiere den Startpunkt s

• Teile die Ebene in Regionen ein:

• Kombinatorisch gleiche K¨urzeste Wege

v1 e3

v3 e1 P1 e2

s s v3

s v1

Full comb. shortest path map: Beispiel

• Fixiere den Startpunkt s

• Teile die Ebene in Regionen ein:

• Kombinatorisch gleiche K¨urzeste Wege

v1 e3

v3 e1 e2

s

v2 P1

s s v3

s e1 s v1

s v2 s e2

t2

Full comb. shortest path map: Beispiel

• Fixiere den Startpunkt s

• Teile die Ebene in Regionen ein:

• Kombinatorisch gleiche K¨urzeste Wege

v1 e3

v3 e1 P1 e2

s s v3

s v1

t3

Full comb. shortest path map: Beispiel

• Fixiere den Startpunkt s

• Teile die Ebene in Regionen ein:

• Kombinatorisch gleiche K¨urzeste Wege

v1 e3

v3 e1 e2

s

v2 P1

s s v3

s e1 s v1

s v2

s e2 t3

Full comb. shortest path map: Beispiel

• Fixiere den Startpunkt s

• Teile die Ebene in Regionen ein:

• Kombinatorisch gleiche K¨urzeste Wege

v1 e3

v3 e1 P1 e2

s s v3

s v1

t3

Full comb. shortest path map: Zwei Polygone

Full comb. shortest path map: Zwei Polygone

v4 s e4 s

e4 v3 s

P1 e4 e2 s

v3 s s

P2

e2 s

v1 e3

v3 e1 e2

v4

v6

v2

e4

e5 e6

Full comb. shortest path map: Zwei Polygone

v2 s v4 s

e4 s

e4 v3 s

e4 v2 s

P1 e4 e2 s

v5 v2 s

v3 s s

P2

e2 s

v1 e3

v3 e1 e2

s

v4

v6

v2

e4

e5 e6

v5 t1

Full comb. shortest path map: Zwei Polygone

v4 s e4 s

e4 v3 s

P1 e4 e2 s

v3 s s

P2

e2 s

v1 e3

v3 e1 e2

v4

v6

v2

e4

e5 e6 t1

Full comb. shortest path map: Zwei Polygone

v2 s v4 s

e4 s

e4 v3 s

e4 v2 s

P1 e4 e2 s

v5 v2 s

v3 s s

P2

e2 s

v1 e3

v3 e1 e2

s

v4

v6

v2

e4

e5 e6

t2 v5

Full comb. shortest path map: Zwei Polygone

v4 s e4 s

e4 v3 s

P1 e4 e2 s

v3 s s

P2

e2 s

v1 e3

v3 e1 e2

v4

v6

v2

e4

e5 e6

Full comb. shortest path map: Zwei Polygone

v2 s v4 s

e4 s

e4 v3 s

e4 v2 s

P1 e4 e2 s

v5 v2 s

v3 s s

P2

e2 s

v1 e3

v3 e1 e2

s

v4

v6

v2

e4

e5 e6

v5 t3

Full comb. shortest path map: Zwei Polygone

v4 s e4 s

e4 v3 s

P1 e4 e2 s

v3 s s

P2

e2 s

v1 e3

v3 e1 e2

v4

v6

v2

e4

e5 e6 t3

Full comb. shortest path map: Zwei Polygone

v2 s v4 s

e4 s

e4 v3 s

e4 v2 s

P1 e4 e2 s

v5 v2 s

v3 s s

P2

e2 s

v1 e3

v3 e1 e2

s

v4

v6

v2

e4

e5 e6

v5

Full comb. shortest path map: Zwei Polygone

v4 s e4 s

e4 v3 s

P1 e4 e2 s

v3 s s

P2

e2 s

v1 e3

v3 e1 e2

v4

v6

v2

e4

e5 e6

Komplexit¨ at der FC SPM

Komplexit¨ at der FC SPM

Anzahl der Kanten: Verdoppeln f¨ur jedes Polygon!

Komplexit¨ at der FC SPM

Anzahl der Kanten: Verdoppeln f¨ur jedes Polygon!

Mehr als Ω((n − k)2^k) Kanten!

Komplexit¨ at der FC SPM

Anzahl der Kanten: Verdoppeln f¨ur jedes Polygon!

Last step shortest path map

Last step shortest path map

• Der letzte Schritt des K¨urzesten Weges

Last step shortest path map

• Der letzte Schritt des K¨urzesten Weges

P1

P2 s

v3 s

e2 s

v2 s v5 v2 s

e4 e2 s

e4 v2 s

e4 v3 s

e 4s

v4 s v4

v2 v1

v5 e4

e5 e6 e3

v3 e1 e2

v6

Last step shortest path map

• Der letzte Schritt des K¨urzesten Weges

P2 s

e4 v3 s v3 s

e 4s

v4 s v4

v1

e6

e3 v6

Last step shortest path map

• Der letzte Schritt des K¨urzesten Weges

• Einfacher Teil der vollen SPM!

Last step shortest path map

• Der letzte Schritt des K¨urzesten Weges

• Einfacher Teil der vollen SPM!

• Durchgang, Reflektion, Kante/Knoten

Last Step SPM S

, S

, . . . , S

R1

T1 P1

Last Step SPM S

, S

, . . . , S

• S_i geh¨ort zur Sequenz P₁, P₂, . . . , P_i

R1

Last Step SPM S

, S

, . . . , S

• S_i geh¨ort zur Sequenz P₁, P₂, . . . , P_i

• Beschaffenheit S_i: Reflektionsbereich T_i (konvexe Kette)

R1

T1 P1

Last Step SPM S

, S

, . . . , S

• S_i geh¨ort zur Sequenz P₁, P₂, . . . , P_i

• Beschaffenheit S_i: Reflektionsbereich T_i (konvexe Kette)

• Ausgehende Strahlen: Stern R_i, disjunkt

R1

Last Step SPM S

, S

, . . . , S

• S_i geh¨ort zur Sequenz P₁, P₂, . . . , P_i

• Beschaffenheit S_i: Reflektionsbereich T_i (konvexe Kette)

• Ausgehende Strahlen: Stern R_i, disjunkt

• Jeder Punkt wird von genau einem Strahl getroffen

R1

T1 P1

Last Step SPM S

, S

, . . . , S

• S_i geh¨ort zur Sequenz P₁, P₂, . . . , P_i

• Beschaffenheit S_i: Reflektionsbereich T_i (konvexe Kette)

• Ausgehende Strahlen: Stern R_i, disjunkt

• Jeder Punkt wird von genau einem Strahl getroffen

• Komplexit¨at: O(|P_i|)

R1

Lemma 1.32: Beweis!

Lemma 1.32: Beweis!

• Ind.: O(|P_i|), Konvexe Kette T_i, Disjunkter Stern R_i

Lemma 1.32: Beweis!

• Ind.: O(|P_i|), Konvexe Kette T_i, Disjunkter Stern R_i

• Gilt f¨ur S₁

Lemma 1.32: Beweis!

• Ind.: O(|P_i|), Konvexe Kette T_i, Disjunkter Stern R_i

• Gilt f¨ur S₁

• Annahme: Gilt f¨ur

S₁, S₂, . . . , S_i−1 ^P(i-1)

Lemma 1.32: Beweis!

• Ind.: O(|P_i|), Konvexe Kette T_i, Disjunkter Stern R_i

• Gilt f¨ur S₁

• Annahme: Gilt f¨ur S₁, S₂, . . . , S_i−1

• Lege konvexes Polygon P_i in S_i−1

P(i-1)

Pi

Lemma 1.32: Beweis!

• Ind.: O(|P_i|), Konvexe Kette T_i, Disjunkter Stern R_i

• Gilt f¨ur S₁

• Annahme: Gilt f¨ur S₁, S₂, . . . , S_i−1

• Lege konvexes Polygon P_i in S_i−1

• Sichtbare Eckpunkte

P(i-1)

Pi

Ti

Lemma 1.32: Beweis!

• Ind.: O(|P_i|), Konvexe Kette T_i, Disjunkter Stern R_i

• Gilt f¨ur S₁

• Annahme: Gilt f¨ur S₁, S₂, . . . , S_i−1

• Lege konvexes Polygon P_i in S_i−1

• Sichtbare Eckpunkte konvexer Kette von

disjunkten Strahlen getroffen

P(i-1)

Pi

Ti

Lemma 1.32: Beweis!

• Ind.: O(|P_i|), Konvexe Kette T_i, Disjunkter Stern R_i

• Gilt f¨ur S₁

• Annahme: Gilt f¨ur S₁, S₂, . . . , S_i−1

• Lege konvexes Polygon P_i in S_i−1

• Sichtbare Eckpunkte

P(i-1)

Pi

Ti

Lemma 1.32: Beweis!

• Ind.: O(|P_i|), Konvexe Kette T_i, Disjunkter Stern R_i

• Gilt f¨ur S₁

• Annahme: Gilt f¨ur S₁, S₂, . . . , S_i−1

• Lege konvexes Polygon P_i in S_i−1

• Sichtbare Eckpunkte konvexer Kette von

disjunkten Strahlen getroffen

• Reflektionen disjunkt

P(i-1)

Pi

Ti

Lemma 1.32: Beweis!

• Ind.: O(|P_i|), Konvexe Kette T_i, Disjunkter Stern R_i

• Gilt f¨ur S₁

• Annahme: Gilt f¨ur S₁, S₂, . . . , S_i−1

• Lege konvexes Polygon P_i in S_i−1

• Sichtbare Eckpunkte

Pi

Ti

DS und Komplexit¨ at f¨ ur S

!

• Vorbereitet f¨ur Lokalisation

• Reflektionsbereich(Knoten/Kante), Durchgangsbereich

• Konvexe Kette,

n_i disjunkte Strahlen

• Balancierter Baum:

Lokalization in O(log n_i)

• F¨ur alle S_i gleich

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

• Induktiv nutze Last Step SPM von P_k−1

v6 e4

e6

v1 P2

P1 e3

v3 e2

v4

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

• Induktiv nutze Last Step SPM von P_k−1

v5

v6 v2

e4 e5 e6

v1 P2

P1 e3

v3 e1 e2

v4

t1

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

• Induktiv nutze Last Step SPM von P_k−1

v3 e3

e2

v1 v6

e4 e6

v1 P2

P1 e3

v3 e2

v4

t1

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

• Induktiv nutze Last Step SPM von P_k−1

v3 e3

e1 e2

v1

v2

v5

v6 v2

e4 e5 e6

v1 P2

P1 e3

v3 e1 e2

v4

t1

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

• Induktiv nutze Last Step SPM von P_k−1

v6 e4

e6

v1 P2

P1 e3

v3 e2

v4 t1

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

• Induktiv nutze Last Step SPM von P_k−1

v5

v6 v2

e4 e5 e6

v1 P2

P1 e3

v3 e1 e2

v4 t1

t1

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

• Induktiv nutze Last Step SPM von P_k−1

v3 e3

e2

v1 v6

e4 e6

v1 P2

P1 e3

v3 e2

v4 t1

t1

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

• Induktiv nutze Last Step SPM von P_k−1

v3 e3

e1 e2

v1

v2

v5

v6 v2

e4 e5 e6

v1 P2

P1 e3

v3 e1 e2

v4 t1

t1

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

• Induktiv nutze Last Step SPM von P_k−1

v6 e4

e6

v1 P2

P1 e3

v3 e2

v4 t1

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

• Induktiv nutze Last Step SPM von P_k−1

v5

v6 v2

e4 e5 e6

v1 P2

P1 e3

v3 e1 e2

v4

t1 t1

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

• Induktiv nutze Last Step SPM von P_k−1

v3 e3

e2

v1 v6

e4 e6

v1 P2

P1 e3

v3 e2

v4

t1 t1

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

• Induktiv nutze Last Step SPM von P_k−1

v3 e3

e1 e2

v1

v2

v5

v6 v2

e4 e5 e6

v1 P2

P1 e3

v3 e1 e2

v4

t1 t1

Benutzung der Last Step SPM: Alg. 1.10

• Ziel t₁: Nutze Last Step SPM von P_k

• Induktiv nutze Last Step SPM von P_k−1

v3 e3

e2 v1

Analyse der Query! Lemma 1.33

• Annahme: Alle Last Step SPM sind gegeben

• k

X

i=1

log n_i mit

k

X

i=1

n_i = n

• Worst-Case:

n_i = n k

• Alles zusammen:

O(k log n k)

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

• Queries: Backward

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

• Queries: Backward

• Berechnung: Forward

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

• Queries: Backward

• Berechnung: Forward

• SPM f¨ur P₁

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

• Queries: Backward

• Berechnung: Forward

• SPM f¨ur P₁

• Sichtbare konvexe Kette/Baum der Strahlen: O(n₁)

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

• Queries: Backward

• Berechnung: Forward

• SPM f¨ur P₁

• Sichtbare konvexe Kette/Baum der Strahlen: O(n₁)

• Disjunkte Reflektionen!!

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

• Queries: Backward

• Berechnung: Forward

• SPM f¨ur P₁

• Sichtbare konvexe Kette/Baum der Strahlen: O(n₁)

• Disjunkte Reflektionen!!

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

s

v4

v6 e4

e5 e6

v5 P2 P1

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

• SPM von P_i aus SPM of P_i−1, . . . , P₁

s

v4

v6 e4

e5 e6

v5 P2 P1

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

• SPM von P_i aus SPM of P_i−1, . . . , P₁

• Letztes Segment des K¨urzesten Weges von s zu Knoten von P_i

s

v4

v6 e4

e5 e6

v5 P2 P1

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

• SPM von P_i aus SPM of P_i−1, . . . , P₁

• Letztes Segment des K¨urzesten Weges von s zu Knoten von P_i

• Query: Nutze SPM P_i−1, . . . , P₁

s

v4

v6 e4

e5 e6

v5 P2 P1

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

• SPM von P_i aus SPM of P_i−1, . . . , P₁

• Letztes Segment des K¨urzesten Weges von s zu Knoten von P_i

• Query: Nutze SPM P_i−1, . . . , P₁

• Laufzeit: O

n_i(i − 1) log ^N_i−1ⁱ⁻¹

mit N_j := Pj

l=1 n_l

s

v4

v6 e4

e5 e6

v5 P2 P1

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

• SPM von P_i aus SPM of P_i−1, . . . , P₁

• Letztes Segment des K¨urzesten Weges von s zu Knoten von P_i

• Query: Nutze SPM P_i−1, . . . , P₁

• Laufzeit: O

n_i(i − 1) log ^N_i−1ⁱ⁻¹

mit N_j := Pj

l=1 n_l

• Sichtbare konvexe Kette/Baum der

Strahlen ^s

v4

v6 e4

e5 e6

v5 P2 P1

Berechnung S

, . . . , S

: Alg. 1.11

• SPM von P_i aus SPM of P_i−1, . . . , P₁

• Letztes Segment des K¨urzesten Weges von s zu Knoten von P_i

• Query: Nutze SPM P_i−1, . . . , P₁

• Laufzeit: O

n_i(i − 1) log ^N_i−1ⁱ⁻¹

mit N_j := Pj

l=1 n_l

• Sichtbare konvexe Kette/Baum der Strahlen

• Disjunkt wegen konvexer Kette!!

s

v4

v6 e4

e5 e6

v5 P2 P1

Analyse Berechnung S

, . . . , S

: Theorem 1.34

Analyse Berechnung S

, . . . , S

: Theorem 1.34

Rekursiv: P₂,. . . ,P_k