Koordinatensystem: Der Nullpunkt des Koordinatensystems liegt im Schwerpunkt des Teils.

CNC

Bahn des Fräskopfes berechnen (in 2 Dimensionen) Koordinatensystem:

Der Nullpunkt des Koordinatensystems liegt im Schwerpunkt des Teils.

Vorzeichen des Drehsinns:

Drehungen im Gegenuhrzeigersinn haben ein positives Vorzeichen.

Richtungsvektoren:

Alle Richtungsvektoren sind Einheitsvektoren.

Kontur:

Diese Berechnung beschäftigt sich mit der Aussenkontur (Aussenumriss) des Werkstücks, nicht mit Innenkonturen (Ausbrüche u.Ä.).

1. Eckige Konturen

Die Kontur des Werkstücks wird durch ihre Eckpunkte S_i beschrieben. Die Eckpunkte sind gleichzeitig auch die Schnittpunkte der Kanten des Werkstücks, die durch die Richtungsvektoren

t_i beschrieben werden

t_i = S_i−1−S_i

∣

^Si−1−S_i

∣

^.

(Das „t“ steht auch für „Tangente“). Jeder Punkt p_il_i der Kontur wird durch

p_il_i = S_i−1  l_i⋅t_i

beschrieben. ^li ist der Längenparameter 0 ≤ li ≤

∣

^Si−1−Si

∣

⁼ Li ; d.h.

p_iL_i = S_i−1  L_i⋅t_i = S_i und L_i⋅t_i =



^Si−S_i−1



^.

L_i ist die Länge der Kontur zwischen S_i−1 und S_i . Beim Fräsen werden die I Eckpunkte in der Reihenfolge

S₀ , S₁ ,... , S_i ,.., S_I−1 im Gegenuhrzeigersinn umfahren.

Der Fräser soll den Radius r haben. Die Bahn des Fräskopfes ist der Weg, den der Mittelpunkt des Fräsers zurücklegt. Die Eckpunkte der Bahn sind

B₀ , B₁ ,... , B_i ,.., B_I−1 .

Sie muss parallel zu den Kanten des Werkstücks verlaufen, aber um r „nach aussen“ versetzt.

D.h. der Mittelpunkt des Fräsers befindet sich immer um die Distanz r entlang des Richtungsvekors s_i von der Kontur versetzt. Der Vektor s_i steht senkrecht auf dem

Richtungsvektor t_i der zugehörigen Kante. D.h. mit t_i =



^{tti , x}i , y



^{und si =}



^ssi , y^{i , x}



soll gelten:

t_i×s_i = 1 . Also ist s_i =



^−tti , x^{i , y}



^{, denn ti×si =}



^{tti , x}i , y



^×



^−tti , x^{i , y}



^{= ti , x2 ti , y2 = 1 und}

t_i⋅s_i =



^{tti , x}i , y



^⋅



^−tti , x^{i , y}



^{= −ti , xti , yti , yti , x =} 0 , wie gewünscht.

Hier noch ein paar Eigenschaften der Richtungsvektoren t_i und s_i :

t_i⋅t_i1 = −



^{tti , x}i , y



^⋅



^ttii^1,x1,y



^{= ti , xti1,x  ti , yti1,y = −cosEi}

E_i ist der Innenwinkel zwischen der i -ten und der i1 -ten Abschnitt der Kontur; der Winkel dessen Scheitel im Eckpunkt S_i1 liegt.

t_i×t_i1 =



^{tti , x}i , y



^×



^tti1,i1,^xy



^{= ti , xti1,y − ti , yti1,y = sinEi .}

s_i×s_i1 =



^{−tti , xi , y}



^×



^{−tti1,i1,xy}



^{= −ti , yti1,xti , xti1,y = ti×ti1 = sinEi .}

s_i⋅s_i1 =



^−tti , x^{i , y}



^⋅



^−tti1,^i1,x^y



^{= ti , yti1,yti , xti1,x =}



^{tti , x}i , y



^⋅



^tti1,i1,^xy



^{= −cosEi}

t_i⋅s_i1 =



^tti , y^{i , x}



^⋅



^−tti1,^i1,x^y



^{= −ti , xti1,yti , yti1,x = ti1×ti = −sinEi}

t_i1⋅s_i =



^tti1,i1,^xy



^⋅



^−tti , x^{i , y}



^{= −ti1,xti , yti1,yti , x = ti×ti1 = sinEi}

t_i×s_i1 =



^{tti , x}i , y



^×



^−tti1,^i1,x^y



^{= ti , xti1,xti , yti1,y = ti1⋅ti = −cosEi}

t_i1×s_i =



^tti1,i1,^xy



^×



^−tti , x^{i , y}



^{= ti1,xti , xti1,yti , y = ti1⋅ti = −cosEi}

So, jetzt geht's weiter: „Nach aussen versetzt“ bedeutet, weil der Nullpunkt des Koordinatensystems sich im Schwerpunkt des Werkstücks befindet, und es sich um die Aussenkontur handelt, dass die

bl_i = pl_i − rs_i = S_i−1 − rs_i  l_i⋅t_i

verläuft. Dass vor ^r⋅si ein Minuszeichen stehen muss sieht man wie folgt: Die obere Kante der Kontur verläuft in den beiden oberen Quadranten des Koordinatensystems, und wird im

Gegenuhrzeigersinn durchlaufen. Angenommen,

t_i =



⁻¹0



^{. Dann ist si =}



−1⁰



. Damit die Fräsbahn „nach aussen“ versetzt verläuft, muss folglich vor r⋅s_i also das Minuszeichen stehen.

Der Eckpunkt B_i der Fräsbahn, beim Eckpunkt S_i der Kontur, ist durch den Schnittpunkt der Bahnabschnitte ^b_il_i und ^b_i1l_i1 gegeben:

B_i = S_i−1 − rs_i  w_i⋅t_i = S_i − rs_i1  w_i1⋅t_i1



^Si−1−S_i



^{ r}



^si1−s_i



^{ w}i⋅t_i − w_i1⋅t_i1 = 0 Definitionsgemäss ist



^Si−Si−1



^{= L}i⋅ti , also

r



^si1−s_i



^



^wi−L_i



^⋅ti − w_i1⋅t_i1 = 0 .

w_i und w_i1 sind die Weglängen, die der Fräser entlang der Bahn von B_i nach B_i1 bzw.

von B_i1 nach B_i2 zurückgelegt hat. Durch skalare Multiplikation mit s_i und mit s_i1 bekommt man daraus

r

 ^

^{si1si}

^

⁻¹



^{− wi1⋅}

^

^{ti1si}

^

^{= 0}

r



^−cosEi−1



^{− w}i1⋅sinE_i = 0 w_i1 = − r



^1cosEi



sinE_i . und

r



¹⁻

^

^sis_i1

 

^

^

^wi−L_i



^⋅



^tis_i1



^{= 0}

r



^1cosEi



^



^wi−L_i



^⋅



^−sinEi



^{= 0}

−r



^1cosEi



^



^wi−L_i



^⋅sinEi = 0

w_i =



^{Li  r}

^

^1cossinEi^Ei

^ 

^.

Was bedeutet das? Na ja, man muss bedenken, dass der Nullpunkt ( w_i1=0 ) der Fräserbahn entlang der Kontur von S_i1 nach S_i2 querab von S_i1 liegt. Wenn der Winkel E_i gerade

90° beträgt (d.h. es geht „linksherum“ um die Ecke bei S_i1 ), dann ist

w_i1 = −r1

1 = −r , und

w_i =



^{Li r}1^1



⁼

^

^Lir

^

^.

Die zweite Gleichung bedeutet, dass der Fräser entlang dem Bahnstück von B_i nach B_i1 um die Länge r (nämlich einen Fräserradius) über das Ende der Konturkante hinausfahren muss. Die erste Gleichung besagt, dass er auf dem Bahnstück von B_i1 nach B_i2 eine Sonderschicht von der Länge r einlegen muss, bevor er auf gleicher Höhe mit dem Beginn der i1 -ten Kante der Kontur ist.

Das alles gilt, wenn der rechte Winkel ein „Aussenwinkel“ ist, d.h. einen konvexen Konturabschnitt bildet. Wenn der rechte Winkel „linksherum“ geht, dann beträgt er −90° und der Sinus im

Nenner wechselt das Vorzeichen:

w '_i1 = −r1

−1 = r und w '_i =



^{Li r−11}



⁼

^

^Li−r

^

^.

Damit wollen die Gleichungen sagen, dass (zweite Gleichung) der Fräser nun schon um die Länge r vor Erreichen des Winkels aufhören darf; bzw. (erste Gleichung) er auch sofort schon die Länge r des nächsten Bahnstücks gefräst hat.

Also, die Gleichungen beschreiben offenbar die Verhältnisse bei „eckigen“ Konturen richtig. Jetzt kommen die Rundungen ;-).

2. Ecken auf Kreisbogen umfahren („rund achtern“)

An einer Ecke fährt der Fräser jetzt so weit über das Ende der aktuellen Kante hinaus, bis zu dem Punkt, an dem die Richtungen beider Kanten, der aktuellen und der nächsten, Tangenten an den Fräskopf bilden. Bei sehr spitzen Ecken kann dieser Punkt sehr weit vom Ende der Kanten entfernt liegen. Um dieses weite „Ausholen“ der Fräsbahn zu vermeiden, kann man den Fräser„um die Ecke rollen“ lassen: Er soll sich auf einem Kreisbogen um die Ecke bewegen, dessen Mittelpunkt die Ecke, und dessen Radius gleich dem Radius des Fräsers ist.

Der Kreisbogen beginnt querab vom Ende der i -ten Kante und endet querab vom Anfang der i1 -ten Kante. Der Anfangspunkt liegt also bei

p '_il_i = S_i−1L_it_i−1−rt_i−1 = S_i−rt_i−1 , der Endpunkt bei

p '_i1l_i1 = S_i−rt_i1 ; der Mittelpunkt ist natürlich M = S .

3. Kontur mit abgerundeten Ecken

Wenn die Ecken abgerundet werden sollen, dann soll die Kontur einen Kreisbogen beschreiben, dessen Tangenten die anschliessenden geraden Kanten bilden. Der Mittelpunkt des Kreisbogens liegt deshalb auf der Winkelhalbierenden der Kanten; und zwar innerhalb der Kontur, wenn es sich um einen „Aussenwinkel“ (konvexer Konturabschnitt), und ausserhalb der Kontur, wenn es um einen „Innenwinkel“ geht (konkaver Konturabschnitt).

Der Kreisbogenradius an der Ecke zwischen S_i und S_i1 soll ^Ri betragen. Da, wo sich die beiden („Innen-“) Parallelen, mit Abstand R_i zu den Kanten, schneiden, liegt der Mittelpunkt des Kreisbogens. Die Parallele zur i -ten Kante wird durch

p_il_i  R_i⋅s_i = S_i−1  l_i⋅t_i  R_i⋅s_i , die zur i1 -ten Kante durch

p_i1l_i1  R_i⋅s_i1 = S_i  l_i1⋅t_i1  R_i⋅s_i1

beschrieben. Das Vorzeichen von ^Ris_i bzw. ^Ris_i1 ist jetzt positiv, weil es eben die „Innen“- Parallelen sind. Im Schnittpunkt der beiden Parallelen gilt

S_i−1  l_i⋅t_i  R_i⋅s_i = S_i  l_i1⋅t_i1  R_i⋅s_i1



^Si−1−Si



^{ l}i⋅ti − li1⋅ti1  Ri



^si−si1



⁼ 0

−L_it_i  l_i⋅t_i − l_i1⋅t_i1  R_i



s_i−s_i1



^{= 0}

Multiplikation mit s_i bzw. s_i1 liefert die Gleichungen

−l_i1



^ti1s_i



^{ R}i



¹⁻



^si1s_i

 

^{= 0}

−l_i1sinE_i  R_i



^1cosEi



^{= 0}

l_i1 = R_i



^1cosEi



sinE_i bzw.

−L_i



^tis_i



^{ l}i



^tis_i1



^{ R}i

 

^sis_i1



⁻¹



^{= 0}

L_isinE_i − l_isinE_i − R_i



^1cosEi



^{= 0}



^Li−l_i



^sinEi − R_i



^1cosEi



^{= 0}

l_i = L_i − R_i



^1cosEi



sinE_i .

Der Kreisbogen beginnt also auf der i -ten Kante um ^Ri



^1cosEi



sinEi

bevor das Ende der Kante erreicht ist und er endet genausoweit in die i1 -te Kante hinein.

Das Ende der geraden Fräserbahn entlang der geraden Abschnitte der i -ten Kante wird genauso mit der „äusseren“ Parallelen berechnet, wie im Fall der „eckigen“ Konturen auch schon: Das Ende der geraden Bahn liegt um −r⋅s_i (d.h. nach aussen) verschoben, querab vom Punkt p_il_i :

b_iw_i = S_i−1 − rs_i  w_i⋅t_i = p_il_i − r_is_i = S_i−1 − r_is_i  l_it_i . Daraus folgt sofort

w_i = l_i = L_i − R_i



^1cosEi



sinE_i ,

und analog für den Beginn der Bahn entlang des geraden Abschnitts der i1 -ten Kante w_i1 = l_i1 = R_i



^1cosEi



sinE_i .

Der Radius der Bahn zwischen diesen beiden Punkten ist natürlich R_ir . Der Mittelpunkt M_i des Kreisbogens liegt bei

M _i = p_il_iR_is_i

=



^Si−1R_is_i



^



^{Li − Ri}

^

^{1cossinEi Ei}

^ 

^⋅ti

=



^Si−1R_is_iL_it_i



^{− Ri}

^

^1cos_sinE ^Ei

^

i

t_i . Wenn also die i -te Kante in Richtung

t_i =



^{tti , x}i , y



verläuft, dann sind die Koordinaten des Kreisbogen-Mittelpunktes

M _i =



^{MMi , x}i , y



⁼



^{SSi−1,i−1,xy − RRiitti , yi , x }

^{ }

^{LLii −− RRii}

^{ }

^{1cos1cossinsinEEii EEii}

^{   }

^{tti , xi , y}



^.

Auf diese Weise lassen sich, von Punkt zu Punkt, alle für die Fräsbahn wesentlichen Koordinaten berechnen.

4. Fasen einfügen

Es hat mechanisch keinen Sinn, dünnere Ecken auszufräsen, als es die Festigkeit des Material verträgt. Es ist besser, an der Stelle, an der die Ecke eine Mindestdicke ^Di unterschreitet, eine Gerade einzufügen, die die Ecke „abschneidet“. Die folgende Berechnung liefert die Koordinaten, an denen diese Gerade, die Fase, (auf der i -ten Kante) beginnt und (auf der i1 -ten Kante) endet.

Die Mindestdicke wird entlang des Lotes von der Winkelhalbierenden auf die beiden Kanten gemessen. Die Schnittpukte des Lotes mit den beiden Kanten liegen auf den Parallelen zur Winkelhalbierenden im Abstand ±D_i

2 . Der Richtungsvektor der Winkelhalbierenden ist

e_i =



^ti1−t_i

 

^{1cos2 Ei ; ei⋅ei = 1}

Die Gleichung für die Winkelhalbierende im Eckpunkt S_i lautet

u_ih_i = S_ih_i



^ti1−t_i

 

^{1cos2 Ei .}

Der Richtungsvektor senkrecht zur Richtung der Winkelhalbierenden ist



^si1−s_i

 

^{1cos2 Ei ,}

denn



^si1−s_i

 

^ti1−t_i



^{= s}i1t_i1−s_it_i1−s_i1t_is_it_i = −s_it_i1−s_i1t_i

= −sinE_i−−sinE_i = 0

Für den unhandlichen Vorfaktor benutzen wir die Abkürzung



^{1cos2 Ei = ci =} _cos

_

^1Ei

2



Also kann man die beiden Parallelen im Abstand ±D_i

2 zur Winkelhalbierenden mit den Formeln

u '_ih_i = S_ih_i



^ti1−t_i



^ciD_i

2



^si1−s_i



^ci und

u ' '_ih_i = S_ih_i



^ti1−t_i



^ci−D_i

2



^si1−s_i



^ci

darstellen. Die erste Formel (mit dem „+“-Zeichen vor dem D_i

2 ) bescheibt die Parallele auf der Seite der i -ten Kante, die andere die auf der Seite der i1 -ten Kante. Der Faktor 4 im Nenner kommt von der Mulitplikation von Abstand und dem Vorfaktor des Lot-Vektors. Gesucht sind die Schnittpunkte dieser beiden mit den zugehörigen Kanten. Im Schnittpunkt der ersten Parallelen mit der i -ten Kante gilt die Gleichung

S_ih_i



^ti1−t_i



^ciD_i

2



^si1−s_i



^ci = S_i−1l_it_i , gesucht ist der Wert von l_i .



^Si−S_i−1



^D₂ⁱ



^si1−s_i



^cih_i



^ti1−t_i



^ci−l_it_i = 0 2L_it_iD_i



^si1−s_i



^ci2h_i



^ti1−t_i



^ci−2l_it_i = 0 2l_it_i−h_i



^ti1−t_i



^ci = 2L_it_iD_i



^si1−s_i



^ci

Multiplizieren mit ti liefert:

2l_i−h_i

 

^ti1t_i



⁻¹



^ci = 2L_iD_i



^si1t_i



^ci

2l_i−h_i



^−cosEi−1



^ci = 2L_iD_i



^−sinEi



^ci

2l_ih_ic_i



^1cosEi



^{= 2L}i−D_ic_isinE_i

Multiplizieren mit s_i liefert:

−h_i



^ti1s_i



^ci = D_i



^si1s_i−1



^ci

−h_isinE_i = D_i



^−cosEi−1



h_i = D_i



^1cosEi



sinE_i .

Und damit findet man den gesuchten Wert 2l_ic_i



^1cosEi



^Di



^1cosEi



sinE_i = 2L_i−D_ic_isinE_i 2l_isinE_iD_ic_i



^1cosEi



^{2 =}



^2Li−D_ic_isinE_i



^sinEi

2l_isinE_i =



^2Li−D_ic_isinE_i



^sinEi−D_ic_i



^1cosEi



²

2l_isinE_i = 2L_isinE_i−D_ic_isin²E_i−D_i f_i−2D_ic_icosE_i−D_ic_icos²E_i 2l_isinE_i = 2L_isinE_i−2D_ic_i−2D_ic_icosE_i

l_i = L_i−D_i f_i 1cosE_i

2 sinE_i = L_i−D_i



^{1cos2 Ei⋅ 1cos2 sinEEii}

= L_i− D_i⋅



^{12 sincos2EEii = Li− Di⋅}



²

^

^{1cos1−cosE2Ei i}

^

= L_i− D_i⋅



²

^

^{1−cos1cosEi}

^

^{1cosEi Ei}

^

^{= Li− D2i⋅}

 ^

^{1−cos2 Ei}

^

= L_i− D_i 2 sin



^E2i



^.

Und weil das Ganze zur Winkelhalbierenden symmetrisch ist, muss entlang der i1 -ten Kante

l_i1 = D_i 2 sin



^E2i



^.

Die Fase verläuft also in Richtung

S_i−1



^{Li− 2 sinD}

^

^iE2i

^ 

^{ti−Si−}



^{2 sinD}

^

^iE2i

^ 

^{ti1 = −}



^{2 sinD}

^

^iE2i

^  ^

^{titi1}

^

^.

Die Geradengleichung der Fase (mit normiertem Richtungsvektor) ist also

f_i = S_i− D_i

2 sin



^E2ⁱ



^ti

g_i

2 sin



^E2ⁱ

 ^

^{titi1}

^

^{= Si}

1

2 sin



^E2ⁱ

 ^{{ }

^gi−Di

^

^{tigiti1}

^}

^.

Man kann die Fase als zusätzliche Kante auffassen. Um sie in die Liste der Konturkanten

einzufügen, werden alle Kanten-Nummern oberhalb der Nummer i um eins erhöht; was vorher die i1 -te Kante war, ist jetzt die i2 -te. Die Längen ^Li und ^Li2 der i -ten und der jetzt i2 -ten Kante beide um den Betrag

_i = D_i 2sin



^{E '}2ⁱ



gekürzt, wobei ^{E '}i der alte Eckwinkel ist, also der zwischen den Vektoren, die jetzt ti und

t_i2 heissen. Der Punkt S_i verschiebt sich dementsprechend. Der neue Winkel ^Ei ist E_i = 

2E '_i = E_i1

Zwischen dem neuen Endpunkt der i -ten und dem neuen Anfangspunkt der i2 -ten Kante wird als neue i1 -ten Kante die Fasenkante mit der Geradegleichung

p_i1l_i1 = S_i  l_i1t_i1 mit t_i1 =



^titi2



2 sin



^{E '}2ⁱ



^.

An den Verrenkungen, die ich hier machen muss, um zwischen der alten Kantenliste und der neuen, nun um eine Kante erweiterten, zu unterscheiden zeigt schon, dass man unterschiedliche

Mechanismen braucht, um Fasen und Abrundungen in der Fräskontur einzubauen. Das führt aber in den Organisation der Programmstruktur und die ist hier nicht das Thema.