AnalysisIIf¨urM,LaG/M,Ph A

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Hieber

Robert Haller-Dintelmann Horst Heck

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT

A

Analysis II f¨ ur M, LaG/M, Ph

3. Tutorium

(T 1)

Zeigen Sie, dass die MengeO(n,R) der orthogonalenn×n-Matrizen als Teilmenge vonRⁿ

2

eine kompakte Menge ist.

(T 2)

Eine Folge (a_n)n∈NinC heißtquadrat-summierbar, fallsP∞

n=1|a_n|² konvergiert. Wir setzen

`² :={(a_n)n∈N : (a_n)n∈N quadrat-summierbar}

(a) Beweisen Sie dieCauchy-Schwarz-Ungleichung: Wenn (a_n)n∈Nund (b_n)n∈Naus`² sind, so ist die Reihe P∞

n=1anbn absolut konvergent und es gilt

∞

X

n=1

|a_nb_n| ≤

∞

X

n=1

|a_n|²

!1/2 ∞

X

n=1

|b_n|²

!1/2

.

(b) Zeigen Sie, dass

kak₂ :=

∞

X

n=1

|a_n|²

!1/2

, a ∈`²

eine Norm auf `² definiert.

(c) Zeigen Sie, dass `², versehen mit k · k₂ ein Banachraum ist.

(T 3)

Es sei (X, d) ein vollst¨andiger metrischer Raum und T : X → X eine Funktion, so dass T^N f¨ur einN ∈Neine strikte Kontraktion ist. Beweisen Sie, dass T genau einen Fixpunkt besitzt.