Vorkurs Mathematik für Chemiker – WS2020/21 Übungsblatt 5
Dr. Dirk Bender & Dr. Alexander Schubert,
Institut f¨ur Physikalische Chemie, Friedrich-Schiller-Universit¨at Jena
11 Vektorrechnung
11.1 Gegeben sind die Vektoren~a= 2 3
!
,~b= 5 4
!
und~c= 3
−1
! . Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch:
(a) ~a−~c (b) ~c−~a (c) ~a+~b−~c
11.2 Welche Eigenschaften haben die Vektoren~aund~b, wenn folgende Beziehungen gelten:
(a) ~a+~b=~c und a+b=c (b) ~a+~b=~a−~b
(c)~a+~b=~c und a2+b2=c2 (d)~a·~b=0 mit a,b6=0.
11.3 Berechnen Sie f¨ur die Vektoren~a=
1 2 3
und~b=
3
−1 2
: (a) die Betr¨age|~a|und |~b|;
(b) das Skalarprodukt~a·~b;
(c) den Winkel6 (~a,~b);
(d) die Fl¨ache des durch~a und~b aufgespannten Parallelogramms.
11.4 Gegeben seien die Ortsvektoren~r1(t1) =
1 7 2
und~r2(t2) =
−4 5 3
sowie das Zeitinterfall
∆t=t2−t1=0,4. Bestimmen Sie den Differenzvektor∆~r=~r2(t2)−~r1(t1) und anschließend durch sakare Multiplikation den Term ∆∆t~r. Welche Bedeutung hat dieser Term?
11.5 Zerlegen Sie den Vektor~a=
−2
−1 2
in Komponenten parallel und normal zu~b=
−5 3 4
. 11.6 Welchen Wert hat der Ausdruck (~a·~b)2+ (~a×~b)2?
12 KOMPLEXE ZAHLEN
12 Komplexe Zahlen
12.1 Berechnen Sie z+w,z·w,|z|, und wz f¨urz=1+2i and w=3−i. 12.2 Berechnen Sie v=i·(2−3i)2·(1+i).
12.3 Berechnen Sie die konjugiert komplexe Zahl zu z=r·eiφ und geben Sie die Eulersche Darstel- lung an.
12.4 Es sei z=a+ib. Bestimmen Sie|ez|.
12.5 Berechnen Sie ei2π,eiπ,e−iπ,e±iπ/2.
12.6 Berechnen Sie mittels trigonometrischer Darstellungz= √
2
2 +i√222020
. 12.7 Berechnen Sie z=√ 3i
2+i√ 2.
2