Subtree decomposition for multistage stochastic programs

!" # $ %"&

' ()

* +" $ ,(--.) /"

0((--.) 1"

2 -

3 4

# &

#& #& 3 5

6

# 3 5&

2

!

!

-

- *

7 -

2 $

-2

$

* 8 9"

#& 3 5 :

$4

$

4 ;

$

# &

( (--.) 1"

<: 5"

$

4

$

$

2 =

3

$ # / 1"& 6

-

4 ! , 2 =

9 %

/

>

>

$

4

4 ?

' $

9

$

84

*

$ 82 2

'

#&

'

#&@

#

#&&

#&

#&

3 $#

&

4

#&

3

#& #&

#& ;

#&

#& #& 8

> Æ #&

> Æ 4

6 #&

8 )

2 2

#& 3

4

#&

> Æ #&

@

#& > Æ

84

@

#

&5

3

6

2 A

6

# & #

2 ) 2 &

B

#&

#&

# #&

&

B

@ 5

#

&

#& #5&

C #&

%

#&5

B

#B #&#&&@

D#&

D

5

!

B

#&

#!&

E

6

6 @ #&

@#&

5 0 #& @ E

3

#& B

#5&

@E

! B

#B #&

#&& #&

9 B #5&

% F

#&@

#&D #

#&B

#&& 6

! D5

C )

+"

' $

@5 #

& >

4

>

5 2

3 4

3

4

@ #&

3 4

@

#6 $

$ &

F

( >

#&5 >

2 +"

/

2 (

$

3 $

2 2 - 2

Æ +"

Æ@

B

B

D

½

¾

82 2

2 $

, ; G"

@ 5

#&

D

5

#&B

#&

6 =

2

,Æ

? E

2 G5" 6

@5

C0'H+/

C 666*!EEE E/I<(,# !I<

&1G%,:-) $

#

$ &

3

# )

$ &

4

#

&

G

9"

- /!

/! 5G5!1

4

D5

4 #& 4

#& 2

4

3

2

D5

3

(

#

&

D5

$

J K 5"

4

1"

4 1"

5 -

- 5EE

1

3

3!

15!5G

3 5E

C0'H #

L&

5EE

5E

39

5EE

3

'

3 # &#

& D5

# & 5DD

D

+

5 6 7

4

2 3

1

2 1

5 2 1

6 3 1

7 2

1

4 7

2 3

1

5 6

4 2

35

5 - 5EE1

!

"! #! !

M !1!9E1 !NG15E M

5E !1NEG 9E95E 9/+E

55 !/155 !+5!1 5GEE

55 !/GG% !GN1G %E

5EE 199G 1!+! G1GNE

25 49 100 144 225

0 5 10 15 20 25 30 35 40

iterations

scenarios

tt ot

cs ph

25 49 100 144 225

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

scenarios

solution time (seconds)

tt ot

cs ph

none

3 !

1

3%

# & @!

3/ 5!

5E

3

@G Æ

#&

6

3 $

$

-

# &

)

0 3 ) )

'2

)

5" AO<PP:,

G%5Q5N5NNG

!" O(<30

AR)5NN+

9" 8 ! "# $% & &

& C8 ,F AS5NN%

%" CP** * 5NN%

/" O, , (--.)

- %9#9&%++Q%NE5NN/

G" O, , : ; )

" #'!5G5NQG%95NN5

+" ( () ( O< *

- ( 5G#5&55NQ

5%+5NN5

1" : ( (--.) ? 0

N

0 20 40 60 80 100

10 ⁻¹⁰ 10 ⁻⁸ 10 ⁻⁶ 10 ⁻⁴ 10 ⁻² 10 ⁰ 10 ²

tt ot cs

ph

iterations

γ

39 5EE

4 5 6 7

1

3 2

44 55 66 77

15 14 13 12 11 10 8 9

26 22

19 27 28 29 31

17 18 20 21 23 24 25 30

16

4 5 6 7

33 22

1

3 2

15 14 14 13 13 12 12 11 11 10 10 88 99

26 22

19 27 28 29 31

17 18 20 21 23 24 25 30

16

44 55 66 77

15 14 13 12 11 10 8 9

3% #

&

81 256 625 1296

10 ¹ 10 ² 10 ³ 10 ⁴ 10 ⁵

tt2 cs2 tt4 cs4

none

scenarios

solution time (seconds)

3/