Aufgaben zur Atom- und Quantenphysik I

Atom- und Quantenphysik I Sebastian-Philip Harris

Orpheus Online Seminar 2020 s.harris@stud.uni-goettingen.de

Aufgaben zur Atom- und Quantenphysik I

Diese Aufgabensammlung ist sicherlich weit davon entfernt fehlerfrei zu sein. Bei Anregungen, Verbesserungsvorschlägen oder einfach Fragen dazu, wie die Aufgaben zu lösen sind, schreibt mir bitte ein Email oder meldet euch im Orpheus Forum!

Aufgabe 1 (Die Plancksche Strahlungsformel)

In dieser Aufgabe wird die Herleitung der Planckschen Strahlungsformel nach Einstein nachvollzo- gen. Im wesentlichen orientiert sich die Aufgabe an die Herleitung aus [4]. In Abschnitt 5.2.3 könnt ihr die Herleitung dort nachlesen. Lasst euch nicht entmutigen, falls ihr irgendwo hängen bleibt!

Am Ende der Aufgabe findet ihr einen Lösungvorschlag, in dem ihr Zwischenergebnisse, die ihr zum weitermachen braucht nachschauen könnt.

a) Wählen wir erstmalT undν fest. Wir betrachten den Anteil des Licht im Inneren des Hohlkör- pers mit der Frequenz ν jetzt als eine Ansammlung von Teilchen, sogenannten Photonen, denen wir die Energiehν zuordnen. Die Strahlungsdichteu(ν, T) ist dann proportional zur Anzahl der Photonen. Dabei ist h ≈ 6.6·10⁻³⁴J S. Wir nehmen an, dass sich die Atome im Material des Hohlkörpers in zwei Gruppen einteilen lassen: Die unangeregten, deren Anzahl N₁ beträgt, und die angeregten, von denen N₂ viele vorliegen. Die Wechselwirkung zwischen diesen Atomen und den Photonen beschreiben wir durch drei Prozesse:

1. Absorption: Die unangeregten Atome können Photonen absorbieren und so zu angeregten Atomen werden. Die Anzahl auf diese Weise in einem kurzen Zeitraumdtentstehender an- geregter Atome dN₁₂ ist propotional zu dem Zeitraum dt, zu der Anzahl der vorhanden Photonen (welche wiederum proportional zuuist) und zur Anzahl unangeregter AtomeN1. Wir können also schreiben:

dN12=B12·u(ν, T)N1dt, (1) wobei der ProporionalitätsfaktorB12zunächst unbekannt ist.

2. stimulierte Emission: Trifft ein Photon auf ein angeregtes Atom kann es dieses zur Emission eines weiteren Photons anregen. Der Zustrom an nicht angeregten Atomen, die auf diese Weise entsteht ist proportional zur Anzahl der Photonen und zur Anzahl der angeregten Atome. Formuliere einen Zusammenhang wie in Gleichung 1, um diesen Zusammenhang zu beschreiben. D.h. ergänze folgende Gleichung (wobeiB21eine Proporionalitätskonstante wie in Gleichung 1 ist):

dN₂₁⁰⁰ =B21·. . . . (2) 3. spontane Emission: Die angeregten Atome können ohne äußere Einwirkung ein Photon ab- geben und zu unangeregten Atomen werden. Welche der Größenu(ν, T), N1undN2könnten hier relevant sein? Stelle eine Gleichung der Form:

dN₂₁⁰ =A21·. . . (3)

mit einer ProportionalitätskonstantenA21 auf.

b) Die Gesamtzahl der AtomeN1+N2soll konstant sein. Stelle mit dieser Forderung eine Bedin- gung andN₁₂, dN₂₁⁰ unddN₂₁⁰⁰ auf.

c) setze die Ergebnisse aus a) in die Gleichung aus b) ein und stelle das Resultat nach ^N_N²

1 um.

d) Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt gemäß der Boltzmann-Verteilung für das Verhält- nis von Atomen im energetisch höheren und Energetisch niedrigerem Zustand:

N2

N₁ = e^−E2/kT

e^−E1/kT =e^−hν/kT (4)

Nutze dieses Ergebnis, umu(ν, T) in Abhängigkeit vonT, A21, B21undB12anzugeben.

e) Wie sollte sich bei fester Frequenz ν die spektrale Energiedichte u(ν, T) verhalten, wenn die Temperatur gegen Unendlich geht? (Vorschläge: Die Energiedichte sollte verschwinden / unendlich weren / minus unendlich werden / gegen pi streben). Nutze deine Forderung anu(ν, T), umB₁₂ undB₂₁zu einander in Beziehung zu setzen.

f) Um die spektrale Energiedichte zu bestimmen muss jetzt nur noch das Verhältnis A₂₁/B₁₂ bestimmt werden. Dazu verwenden wir die Forderung, dass für kleine ν das Plancksche Strah- lungsgesetz in das Rayleigh-Jeans-Gesetz

u(ν, T) = 8πν²

c³ kT (5)

übergehen soll. Hinweise:

1. Für kleineν gilt:

e^hν/kT ≈1 +hν/kT (6)

Wenn euch interessiert, wie man auf solche nützlichen Näherungsformeln kommt: Schaut euch den Workshop zur Taylor

2. Lasst euch nicht davon irritieren, wenn ihr raus bekommt dassA21/B12 vonν abhängig ist.

Als wir von A21 als eine Konstante gesprochen haben war das immer unter der Annahme von festemν undT.

g) Nun könnt ihr euer Ergebnis nutzen, um die KoeffizientenA21, B12 undB21 in dem Aus- drucku(ν, T) zu eliminieren und so das Plancksche Strahlungsgesetz zu erhalten.

Zwischenergebnisse 1 a) stimulierte Emission :

dN₂₁⁰⁰ =B21·u(ν, T)N2dt (7) spontane Emission: Im unterschied zur stimulierten Emission spielt die Anzahl der bereits vorhan- denen Photonen hier keine Rolle. Der gesuchte Zusammenhang ist also:

dN₂₁⁰ =A₂₁·N₂dt (8)

b)dN12=dN₂₁⁰ +dN₂₁⁰⁰ c)

N2

N₁ = B12u(ν)

A₂₁+B₂₁u(ν) (9)

d)

u(ν, T) = A21

B12e^hν/kT −B21

(10) e) Wenn die Temperatur gegen unendlich geht, sollte entsprechend auch die Energie im Strahlungs- feld gegen unendlich gehen. In Gleichung 10 sollte also der Nenner gegen 0 gehen. Wir haben also die Forderung:

0 = lim

T→∞B₁₂e^hν/kT −B₂₁→0 =B₂₁−B₁₂ (11) B12 undB21müssen also gleich sein.

f)

u(ν, T) = A₂₁

B12(e^hν/kT −1) ≈ A₂₁

B12(1 +hν/kT −1) =A₂₁kT B12hν

=! 8πν²

c³ kT (12)

⇒ A21

B₁₂ = 8πhν³

c³ (13)

Aufgabe 2 (Welche Temperatur hat das Universum?)

In Abbildung 1 sind Daten zur kosmischen Hintergrundstrahlung zusammen mit einer Regressions- kurve dargestellt. Die Regressionskurve gibt das Strahlverhalten eines schwarzen Körpers bei einer gewissen Temperatur T wieder. Bestimme mit Hilfe der Abbildung diese Temperatur. (Hinweis:

Man kann z.B. das Maximum der Kurve betrachten).

Anmerkung: Hin und wieder wird die Temperatur, die du gerade bestimmt hast als Temperatur des leeren Alls oder ähnliches bezeichnet. Jetzt weißt du, was damit eigentlich gemeint ist.

Abbildung 1: FIRAS Messungen der kosmischen Hintergrundstrahlung Quelle: [5]

Aufgabe 3 (Der Photoeffekt)

Wir betrachten den im Skript beschriebenen Versuchsaufbau. SeiWA die Austrittsarbeit der Elek- tronen undU die Spannung zwischen den beiden Elektroden, sowie hν die den Elektronen zuge- führte Energie.

a) Formuliere aus der Energieerhaltung eine Bedingung anhν, damit das Elektronen gerade genug Energie hat, um die PotentialdifferenzU zu überwinden.

b) Wie könnte man mit diesem VersuchsaufbauhundW_A messen?

Zwischenergebnisse 3

a)hν=WA+U emit der Elektronenladunge.

Aufgabe 4 (Instabilität klassischer Materie)

Diese Aufgabe ist angelehnt an David Tongs sehr empfehlenswertem Skript zur klassischen Elektro- dynamik [2]. Wir betrachten ein Wasserstoffatom bestehend aus einem Proton (Massemp, Ladung e) und einem im Vergleich dazu sehr leichten Elektron (Masseme, Ladung−e).

a) Aufgrund der Massenverhältnisse kann angenommen werden, dass das Proton unbewegt im Ursprung unseres Koordinatensystem verharrt. Das Elektron befinde sich am Ort r. Bestimme die Bewegungsgleichungen des Elektrons unter Einfluss des elektrischen Feldes, das vom Proton erzeugt wird.

b) Mit der Lamorformel

P¯ = e²r¨²

12π₀c³ (14)

lässt sich die abgestrahlte mittlere Leistung berechnen. Formuliere einen Ausdruck für die Energie des Elektrons auf einer Kreisbahn in Abhängigkeit vom Bahnradius und setze deren Änderung mit der abgestrahlten Leistung gleich, um einen Ausdruck für die Änderung des Bahnradius zu

erhalten.

c) Nutze die Ergebnisse aus a) und b), um die Zeit bis zur Kollision des Elektrons mit dem Proton bei einem gegebenen Anfangsbahnradiusr0zu bestimmen. Eine typische Größenordnung für Atome istr0= 10⁻¹⁰m. Berechne eine Abschätzung der Lebensdauer von Atomen im klassischen Weltbild.

Zwischenergebnisse 4

a) Es gilt F = mea = me¨r und andererseitsF = −eE = −e_4π^e

0r²r. Also lauten die gesuchten Bewegungsgleichungen:

me¨r=− e²

4π0r³r (15)

b) Das Elektron hat die potentielle Energie:

Epot= 1 4π₀

e²

r (16)

Die kinetische Energie lässt sich aus dem Kräftegleichgewicht:

1 4π0

e²

r² = mv²

r (17)

bestimmen als:

Ekin=mv²

2 = 1

8π0

e²

r . (18)

Damit erhält schließlich:

E=Epot+Ekin=− 1 8π₀

e²

r , (19)

womit sich für ˙r:

˙ r 8π0

e²

r² = e²r¨²

12π0c³ (20)

ergibt.

Aufgabe 5 (Heisenbergsche Unschärfe und Yukawa Mesonen.)

Mesonen sind Teilchen, die aus einem Quark-Antiquark Paar bestehen. Sie werden z.B. im Inne- ren von Atomkernen zwischen den Nukleonen ausgetauscht und übermitteln dort eine attraktive Kraft, die der elektro-statischen Abstoßung entgegenwirkt. Die Folgende Aufgabe ist zitiert aus [3].

The mass of Yukawa’s meson can be estimated as follows. When two protons in a nucleus exchange a meson (massm) they must temporarily violate the conservation of energy by an amount mc² (the rest energy of the meson). The Heisenberg uncertainty principle says that you may “borrow”

an energy ∆E, provided you “pay it back” in a time ∆tgiven by ∆E∆t=~(where~=h/2π).

In this case we need to borrow ∆E=mc² long enough for the meson to make it from one proton to the other. It has to cross the nucleus (sizer₀), and it travels, presumably, at some substantial fraction of the speed of light, so, roughly speaking, ∆t=r0/c.

Putting this all together, we have

m= ~

r0c. (21)

Usingr₀= 10⁻¹³cm(the size of a typical nucleus), calculate the mass of Yukawa’s meson. Express your answer as a multiple of the electron’s mass [...].

[If you find that argument compelling, I can only say that you’re pretty gullible. Try it for an atom, and you’ll conclude that the mass of the photon is about 7·10⁻³⁰g, which is nonsense. Nevertheless, it is a useful device for “back-of-the-envelope” calculations, and it does very well for the pi meson.

Unfortunately, many books present it as though it were a rigorous derivation, which it certainly is not. The uncertainty principle does not license violation of conservation of energy (nor does any

such violation occur in this process; we shall see later on how this comes about). Moreover, it’s an inequality, ∆E∆t≥~, which at most could give you a lower bound on m. It is typically true that the range of a force is inversely proportional to the mass of the mediator, but the size of a bound state is not always a good measure of the range (that’s why the argument fails for the photon: The range of the electromagnetic force is infinite, but the size of an atom is not). In general, when you hear a physicist invoke the uncertainty principle, keep a hand on your wallet!]

Aufgabe 6 (Materiewellen und das Bohrsche Atommodell) Wir betrachten ein Wasserstoffatom, wie in Aufgabe 4.

a) Stelle das Kräftegleichgewicht zwischen Zentripetalkraft und Coulombkraft für Kreisbahnen auf und Stelle das Ergebnis nach dem Impulspdes Elektrons um.

Hinweis:mv²=^p_m²

b) Bestimme die erlaubten Bahnradienrn, bei denen der Bahnumfang einn-Faches der de Broglie Wellenlänge ist.

c) Bestimme die EnergieEn (Summe aus kinetischer und potentieller Energie), die das Elektron auf der n-ten erlaubten Kreisbahn hat.

d) In Abbildung 2 ist das Termschema des Wasserstoffatoms dargestellt. In dem Schema sind verschiedene Energieniveaus (n= 1, . . .) und Pfeile für Übergänge zwischen ihnen dargestellt. Uns interessieren hier nur die Energieniveaus. Bestimme mit dem Ergebnis aus c) und den Daten in der Abbildung das Plancksche Wirkungsquantumh. (Hinweis:0= 8.854·10^{−12 As}_Vm,e= 1.602C, me= 9.109·10⁻³¹kg

Abbildung 2: Termscha des Wasserstoffatoms Quelle: [1]

Zwischenergebnisse 6 a)

1 4π0

e²

r² =mev² r = p²

mer (22)

Also:

s me

4π₀ e²

r =p (23)

b)

λ= h p =h

r4π₀ me

r e² Also:

nλ= 2πr_n

⇔nh r4π0

m_e rn

e² = 2πr_n Wir erhalten:

2h² ₀ meπ

1 e² =r_n c) Wie in Aufgabe 4 erhalten wir:

En =− 1 8π₀

e²

r_n (24)

Einsetzen der Ergebnisse aus b) liefert:

En=−mee⁴ 8²₀h²

1

n². (25)

Aufgabe 7 (LASER¹)

Wir betrachten die Atome im aktiven Medium eines Atom als Zweizustandsysteme. N₁ ist der unangeregte Zustand,N₂ der angeregte. Ferner seindie Anzahl der Photonen im Resonator. Wie in Aufgabe 1 gibt es jetzt spontante Emission, induzierte Emission und Absorption. Wir sind jetzt interessiert an einer Differentialgleichung fürn.

a) Der Beitrag zu ^dn_dt, der durch die induzierte Emission geliefert wird ist BN2n

wobei B eine Konstante ist, wie in Aufgabe 1 und die Propotionalität zu N2 und n dadurch begründet ist, dass die induzierte Emission immer dann mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit stattfindet, wenn ein angeregtes Atom und ein Photon zu einander finden. Formuliere analog die Beiträge durch Absorption und spontane Emission (so ähnlich wie in Aufgabe 1) und benutze dabei, dass der bei der Absorption auftretende Faktor der selbe ist, wie der bei der spontanen Emission auftretende.

b) Zusätzlich müssen wir noch einen Term für Verluste von Photonen z.B. durch Absorption an den Spiegeln, durch Transmission am halbdurchlässigen Spiegel oder durch Streuung berücksichtigen.

Dafür führen wir die mittlere Zeit t₀ ein, die ein Photon nachdem es emittiert worden ist im Resonator verbringt, bis es verloren geht. Mit ihr ergibt sich dann noch ein zusätzlicher Beitrag zu ^dn_dt, der proportional zur Anzahl der Photonen ist:−n/t₀. Formuliere jetzt eine Gleichung für dn/dt, in der alle vier Terme berücksichtigt werden.

c) Im LASER-Betrieb sollte der Beitrag zur spontanen Emission vernachlässigbar sein, da wir pri- mär stimulierte Emissionen haben. Formuliere mit Hilfe dieser Näherung aus der in b) bestimmten Bilanzgleichung ein Kriterium dafür, dass sich ein LASER-Strahl ausbildet d.h. die Photonen nicht einfach verloren gehen.

d) Interpretiere das Ergebnis aus c) physikalisch. Was für eine Rolle spielt die Besetzungsinversion?

Zwischenergebnisse 7

a) Wir haben als Beitrag durch Absorption

−BN₁n (26)

und als Beitrag durch spontane Emission

AN₂. (27)

1Diese Aufgabe ist angelehnt an die Göttinger Experimentalphysik IV Vorlesung im Sommersemester 2020 von Prof. Dr. Arnulf Quadt.

b)

dn

dt =AN2+BN2n−BN1n− n t0

=AN2+Bn(N2−N1)− n t0

c) Damit sich ein LASER-Strahl ausbildet muss gelten ^dn_dt >0, also:

n t0

< Bn(N2−N1) bzw.

1< t0B(N2−N1)

Literatur

[1] Balmer-serie. :https://de.wikipedia.org/wiki/Balmer-Serie.

[2] David tong: Lectures on electromagnetism. :http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/em.html.

[3] David J Griffiths. Introduction to elementary particles; 2nd rev. version. Physics textbook.

Wiley, New York, NY, 2008.

[4] H. Haken and H.C. Wolf. Atom- und Quantenphysik. Physics and astronomy online library.

Springer Berlin Heidelberg, 2003.

[5] Carlos Wuensche and Thyrso Villela. 25 years of cosmic microwave background research at inpe. 02 2010.