Algorithmen & Datenstrukturen Prof. Dr. Wolfgang Schramm
ALGORITHMEN-‐
PARADIGMEN
4. Kapitel
1
Übersicht
1. Einführung 2. Algorithmen
3. EigenschaFen von
Programmiersprachen 4. Algorithmenparadigmen 5. Suchen & SorNeren
6. Hashing
7. Komplexität von Algorithmen 8. Abstrakte Datentypen (ADT) 9. Listen
10. Bäume
11. Graphen
2
Lernziele des Kapitels
¨
Sie verstehen was ein
Algorithmenparadigma ist.
¨
Sie lernen verschiedene Algorithmenparadigmen
kennenlernen und können diese jeweils in eine Anwendung
umsetzen.
2
3
Inhalt
o Paradigma (Begriff)
o WichNge Algorithmenparadigmen
¤ applikaNve (funkNonale),
¤ imperaNve,
¤ objektorienNerte,
¤ logische.
4
Paradigma, Algorithmenparadigma, Programmierparadigma
o Paradigma (in der WissenschaFstheorie) = Denkmuster, welches das wissenschaFliche Weltbild einer Zeit prägt.
o Algorithmenparadigma = Denkmuster/Denkmodell, das die Formulierung und den Entwurf von Algorithmen (und damit letztendlich auch den von Programmier-‐
sprachen) grundlegend prägt.
o Programmierparadigma (Programmiersprache vs. Algorithmus !)
n Ein Programmierparadigma legt das einer Programmiersprache zugrundeliegende Prinzip fest.
n Programmierparadigmen entsprechen Algorithmenparadigmen bzw. setzen diese um.
n I.d.R. folgt eine Programmiersprache mehreren Programmierparadigmen, es gibt jedoch ebenso i.d.R. ein „herausragendes“.
5
WichNge Algorithmenparadigmen
o
Grundlegende:
¤ applikaNve (funkNonale),
¤ ImperaNve.
o
… weitere:
¤ objektorienNerte,
¤ logische,
¤ geneNsche,
¤ parallele,
¤ neuronale,
¤ agentenorienNerte.
Algorithmen
6
ApplikaNve Algorithmen
o ApplikaNve Algorithmen ...
sind eine Verallgemeinerung der FunkNonsauswertung mathemaNsch noNerter
FunkNonen. In ihnen spielt Rekursion eine wesentliche Rolle.
ApplikaNver Algorithmus = Liste von FunkNonsdefiniNonen.
Eine FunkNon muss nicht für alle Eingaben definiert sein, insbesondere führt eine nicht terminierende Berechnung zu einem undefinierten Ergebnis (die FunkNon heißt dann parNelle FunkNon).
Beispiele:
FakultätsfunkDon
x! = x * (x-‐1) * (x-‐2) .... 2 * 1 für x > 0 -‐ mathemaNsche DefiniNon fac(x) = if x ≤ 0 then 1 else x * fac(x-‐1) -‐ applikaNver Algorithmus
„Lazy evaluation“
Rekursion
„if“ ist eine Funktion!
if (a, b, c)
sieht jedoch sehr ungewohnt aus.
7
ApplikaNve Algorithmen – DefiniNon (informell) 1/3
o DefiniNon Term (vom Typ int):
n Ein „üblicher“ arithmeNscher Ausdruck mit Zahlen und Unbekannten.
n Ein Ausdruck der Form if A then B else C fi (B, C vom Typ int).
n Eine FunkNon vom Typ int.
n Es gelten „übliche“ Vereinfachungsregeln (Auswertung).
¤ Andere Typen analog.
o DefiniNon FunkNon
→ Es sind v1, …, vn UnbesNmmte vom Typ t1, …, tn, sowie T(v1, …, vn) ein Term mit dem Ergebnistyp tT, dann heißt f (v1, …, vn) = T (v1, …, vn)
eine FunkNon vom Typ tT.
Formale Parameter
Funktionsausdruck
8
ApplikaNve Algorithmen – DefiniNon (informell) 2/3
o DefiniNon applikaNver Algorithmus
¤ Ein applikaNver Algorithmus ist eine Liste von FunkNonsdefiniNonen f1 (v11, …, v1n1) = T1 (v11, …, v1n1)
…
fm (v11, …, v1nm) = Tm (v11, …, v1nm)
¤ Die Auswertung der ersten FunkNon f1 ist die Bedeutung des Algorithmus.
o Anmerkung
¤ Es gibt keine Variablen, keine Zuweisung.
¤ Wesentlich: Rekursion.
Beispiele:
Lisp Scheme
9
ApplikaNve Algorithmen – DefiniNon (informell) 3/3
o DefiniNon parNelle FunkNon
¤ Eine FunkNon heißt parNell,
wenn sie für einige Eingabewerte nicht definiert ist.
o Anmerkung
¤ Eine FunkNon ist nicht definiert, wenn sie
n nicht terminiert oder
n einen Fehler liefert.
10
ApplikaNve Algorithmen -‐ Beispiel
Euklid‘scher Algorithmus zur BesNmmung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen (die sind immer > 0).
ggT(x,x) = x -‐ mathemaNsche Gesetzmäßigkeiten
ggT(x,y) = ggT(y,x)
ggT(x,y) = ggT(x,y-‐x) für x < y
ggT(x,y) = if (x ≤ 0 ) or (y ≤ 0) then ggT(x,y)
else if x = y then -‐ applikaNver Algorithmus x
else if x > y then ggT(y,x) else
ggT(x, y-‐x)
fi;
11
Diskussion
• Nehmen wir an, dass wir einen Rechner haben, der nur die
AddiNon beherrscht. Wie können wir trotzdem eine MulNplikaNon realisieren?
• Stellen Sie dazu mathemaNsche Regeln auf.
• Setzen Sie die Regeln um in
einen applikaNven Algorithmus.
12
ApplikaNve Algorithmen -‐ Aufgabe
o Nehmen wir an, dass wir einen Rechner haben, der nur die AddiNon beherrscht. Wie können wir trotzdem eine MulNplikaNon realisieren?
o Stellen Sie dazu mathemaNsche Regeln auf.
o Setzen Sie die Regeln um in einen applikaNven Algorithmus.
mos (a, b) = mos (b, a) - mathematische Definition mos (a, 0) = 0
mos (a, b) = mos (a, b-1) + a für b > 0 = mos (a, b+1) – a für b < 0
13
ImperaNve Algorithmen
o ImperaNve Algorithmen ...
basieren auf einem einfachen Maschinenmodell mit änderbaren Werten. Hier werden primär Schleifen und AlternaNven als Kontrollbausteine eingesetzt.
Der Algorithmus wird ausgeführt auf einem „üblichen“ Rechner, d.h.
n Es gibt Variable, die einen Wert speichern können.
n Es gibt Anweisungen, die einen Wert ändern können.
o Anmerkung
¤ Basiert auf der von-‐Neumann-‐Architektur.
14
ImperaNve Algorithmen -‐ Beispiel
Beispiel
fac (x: int):
var y: int;
y := 1;
while x > 1 do
y := y*x;
x := x-1;
od;
output y;
(2, 6) (1, 6) Zustand
(x, y) (3, -) (3, -) (3, 1)
(3, 3) (2, 3)
Aufruf: fac (3)
Ausgabe: 6
15
ImperaNve Algorithmen – DefiniNonen 1/3
o DefiniNon Variable
¤ Eine Variable hat einen Namen und einen – veränderlichen – Wert.
¤ Der Wert kann durch eine Zuweisung eines Terms geändert werden.
o DefiniNon Zustand
¤ Der Zustand eines Rechners zu einem besNmmten Zeitpunkt ist die Zuordnung von Werten zu allen Variablen.
o Anmerkung
¤ Ein Term bei der imperaNven Algorithmen enthält Variable stax Unbekannte.
16
ImperaNve Algorithmen – DefiniNonen 2/3
o DefiniNon transformierter Zustand
¤ Ein transformierter Zustand Zneu ist der neue sich ergebende Zustand nach der Durchführung einer Zuweisung in einem alten Zustand Zalt.
¤ Für den transformierten Zustand gilt:
n Der Wert einer Variabeln V im Zustand Zneu ist
n der gleiche wie in Zalt, falls die Zuweisung die Variable nicht betroffen hat.
n der Wert des Terms der Zuweisung, falls die Zuweisung an diese Variable ausgeführt wurde.
17
ImperaNve Algorithmen – DefiniNonen 3/3
o DefiniNon Anweisung (informell)
¤ Eine Anweisung ist ein Algorithmus-‐Baustein mit ent-‐sprechenden Zustandsänderungen.
o DefiniNon imperaNver Algorithmus
¤ Ein imperaNver Algorithmus ist eine Anweisung.
¤ Die Ausführung eines imperaNven Algorithmus ist eine Folge von Zuständen, wobei jeder Zustand der transformierte Zustand seines Vorgängers ist.
¤ Die Bedeutung (SemanNk) des Algorithmus ist gegeben durch den letzten Zustand.
Beispiele:
C Fortran
18
ImperaNve Algorithmen – prozedurale Programmierung
o Anmerkung
¤ Anweisung
n Ein Programm ist i.d.R. keine elementare OperaNon, sondern eine Folge (Sequenz) von OperaNonen.
n WichNges Strukturierungsmixel:
Prozeduren
(à imperaNve oder prozedurale Programmierung)
¤ Bedeutung
n OF nur Wert der Ausgabevariablen.
19
Diskussion
¨
Schreiben Sie den Euklidischen Algorithmus in imperaNver
Form.
20
ImperaNve Algorithmen -‐ Beispiel
Berechnung der Fakultät:
fac: var x, y: int;
y := 1;
while x > 1
y := y*x;
x := x-‐1;
od;
output y;
Euklid‘scher Algorithmus (ggT) – eine mögliche Lösung:
ggT: var x, y: int;
input x,y;
while x ≠ y
while x > y
x := x-‐y;
od;
while x < y
y := y-‐x;
od;
od;
output x;
21
ObjektorienNerte Programmierung 1/2
v Idee
¤ Es gibt eine Menge von Objekten (Einheit von Daten und FunkNonen).
¤ Ein Objekt hat einen Zustand.
¤ Die Objekte kommunizieren.
¤ Es gibt ein ausgezeichnetes Start-‐Objekt.
¤ Die Ausführung ergibt eine Folge von verteilten Zuständen.
Beispiele:
Java C++
Smalltalk
22
ObjektorienNerte Programmierung 2/2
o Beispiel
Kapselung:
Implementierung unsichtbar Math
+fac (int i):int
Polymorphie à Daten Dynamische Bindung à Methoden
Object +equals
Vererbung
23
Logische Algorithmen 1/2
v Idee
¤ Es gibt eine Menge Formeln.
¤ Es gibt eine Menge logischen Fakten und Regeln (Fakt = Formel mit Konstanten).
¤ Es gibt eine Anfrage:
n Formel mit Konstanten: Formel verifizieren.
n Formel mit Variablen: Belegung für Variable suchen.
o Beispiel
¤ Fakten: Sohn (Peter, Rainer); Sohn (Rainer, Walter)
¤ Regeln: Sohn (a, b) ∧ Sohn (b, c) à Enkel (a, c)
¤ Anfrage: Sohn (Peter, Walter)? ⇒ false
Enkel (Peter, a)? ⇒ a = Walter
24
Logische Algorithmen 2/2
o Auswertung
¤ Backtracking (vereinfacht)
n Gegeben: Anfrage ohne bzw. mit einer Variablen.
n Vorgehen:
1. Wähle den ersten Fakt.
2. Teste den gewählten Fakt,
d.h. wird die Anfrage durch Einsetzen wahr?
3. Falls ja à ferDg (true bzw. Belegung)
(mit erneutem Aufruf nächste Belegung finden).
4. Falls nein à wähle den nächsten Fakt;
weiter mit 2.
5. Falls kein Fakt mehr verfügbar
à ferDg (false bzw. keine Lösung).
25
Noch Fragen?
25
