Chaos WS 1999/00

CHAOS

Heinz Horner

Institut f¨ur Theoretische Physik Ruprecht-Karls-Universit¨at Heidelberg

WS 1999/2000

Inhalt

1 Literatur 2

2 Einige Beispiele 2

2.1 Logistische Abbildung . . . 2

2.2 R¨ossler Oszillator . . . 5

2.3 Periodisch angetriebenes Pendel . . . 7

2.4 Vorl¨aufige Charakterisierung von Chaos . . . 8

3 Eindimensionale Abbildungen 9 3.1 Fixpunkte, periodische Orbits . . . 9

3.2 Vollst¨andiges Chaos . . . 12

3.3 Logistische Abbildung mit a <4 . . . 14

3.4 Fenster im chaotischen Bereich . . . 16

3.5 Periodenverdopplung . . . 19

4 Attraktoren in dynamischen Systemen 22 4.1 Poincar´e Abbildungen . . . 22

4.2 B¨acker Transformation . . . 23

4.3 Fraktale Dimension . . . 25

4.4 Lyapunov Exponenten und Dimensionen . . . 26

4.5 Entropie . . . 28

5 Hamiltonsche Systeme 31 5.1 Periodisch angestoßener Rotator . . . 31

1 Literatur

E. Ott Chaos in Dynamical Systems Cambridge University Press 1993

K.T. Alligood, T.D. Sauer, J.A. Yorke Chaos, an Introduction to Dynamical Systems Springer New York Berlin Heidelberg 1996

J. Briggs, F.D. Peat Die Entdeckung des Chaos Carl Hansen M¨unchen Wien 1990

2 Einige Beispiele

2.1 Logistische Abbildung

Einfaches Beispiel eines Marktes:

Preis am Tag n : xn

Preis am Tag n+ 1 : xn+1

Gesch¨atzter Wert : x¯

Falls xn<x¯ : xn+1 > xn

Falls xn>x¯ : xn+1 < xn

xn+1 =a xn−(a−1)x²_n x¯:= 1 (2.1)

Logistische Abbildung: verschiedene Werte von a

Station¨ar Station¨ar

Periode 2 Periode 8

Chaos Periode 3

Chaos Chaos

Sensitive Abh¨angigkeit von Anfangsbedingungen

Verteilung der Startwerte:

xo = 10⁻⁴±10⁻⁸

2.2 R¨ ossler Oszillator

Teig kneten:

Den Teig drehen:

Oszillator mit konstanter Amplitude:

˙

x=y y˙ =−x (2.2)

Den Teig ausbreiten:

Oszillator mit wachsender Amplitude:

˙

x=y y˙ =−x+a y (2.3)

Den Teig zur¨uckfalten:

Anharmonischer Oszillator in drei Variablen:

˙

x=y−z y˙ =−x+a y (2.4)

˙

z :=b+z(x−c) (2.5)

R¨ossler Oszillator: b = 1 c= 4 verschiedene Werte von a Farbkodierung: z

Periode 1 Periode 2

R¨ossler Oszillator: b = 1 c= 4 verschiedene Werte von a

Periode 8 Chaos 2 Band

Chaos Periode 3

Chaos 3 Band Chaos

2.3 Periodisch angetriebenes Pendel

Masse m= 1

H = ¹₂p²−cosϕ + a sinϕ cosωt (2.6)

˙

x=p p˙ =−sin(x) +a cosϕ cos(ω t) (2.7)

E(t) = H(t) − H(0) (2.8)

Phasenraum-Trajektorien p(t) chaotisch / quasiperiodisch

2.4 Vorl¨ aufige Charakterisierung von Chaos

Empfindliche Abh¨angigkeit von Anfangswerten:

Ungenauigkeit in der Anfangsbedingung: ∆x(0)

tlim→∞ lim

∆x(0) ∆x(t)/∆x(0) ∼ e^λt (2.9)

mit λ >0 ?

Kontinuierliches Spektrum, keine periodische oder quasiperiodische Bewegung:

Spektrum

P(ω) = lim

t→∞

1 t

_t

0

dtx(t) cosωt (2.10) oder

P(ω) = lim

n→∞

1 n

n m=0

xm cosωm (2.11)

Dimension der Trajektorie x(t) Station¨ar x(t)−→

t→∞x_∞ Periodisch x(t+τ) = x(t)

Quasiperiodisch,m-Torus x(t) = f(cosω1t , cosω2t,· · ·,cosωmt) Fraktal ?

Attraktoren, konservative Systeme:

Infinitisimales Volumen im Phasenraum ∆V(t) Konservativ, Liouville-Satz: d ∆V(t)/dt= 0 Dissipativ, Attraktor: d ∆V(t)/dt <0 Ergodizit¨at, Entropie

25.10.99

3 Eindimensionale Abbildungen

3.1 Fixpunkte, periodische Orbits

x

x_n

n+1

Eindimensionale Abbildung

xn+1 =f(xn) (3.1)

Fixpunkte

x^∗ =f(x^∗) (3.2) Linearisierte Abbildung in der N¨ahe eines Fixpunktes

x=x^∗+δx δxn+1 =f(x^∗)δxn (3.3)

Attraktiver (stabiler) Fixpunkt: |f(x^∗)|<1 Repulsiver (instabiler) Fixpunkt: |f(x^∗)|>1

Periode p-Orbit:

x^∗_p =f^p(x^∗_p) (3.5)

Beispiel logistische Abbildung:

f(x) =a x(1−x) f²(x) = a²x(1−x) − a³x²(1−x)² (3.6)

0 1

0 1

x f (x) f ²(x) f ³(x)

f ⁿ(x)

x

Logistische Abbildung

f(x) =a x(1−x) (3.7) a = 4

2 instabile Fixpunkte x^∗ = 0 x^∗ = 3/4 1 instabiler Periode 2 Orbit 2 instabile Periode 3 Orbits Zahl der Periode p Orbits f¨ur eine unimodulare Abbildung eines Intervalls, z.B.

[0· · ·1] auf sich selbst: f(0) = 0 f(x0) = 1 f(1) = 0

Die Abbildung f^p(x) hat 2^p−1 Maxima mit Wert f^p(xmax) = 1 und 2^p−1 + 1 Minima mit Wert f^p(xmin) = 1. Damit hat f^p(x) 2^p Fixpunkte. Falls p Primzahl ist, existieren 2 Fixpunkte und mindestens

Np = 1 p

2^p−2 (3.8)

Orbits der Periode p.

F¨ur unimodulare Abbildungen mit negativer Schwarz’scher Ableitung Sf(x) = f(x)f(x)− ³₂f(x)²

f(x)² <0 (3.9)

existiert maximal ein stabiler periodischen Orbits und ein attraktiver Fixpunkt.

Charakteristikum von Chaos ?

Exponentell mitp wachsende Zahl von istabilen Orbits der Periode p ?

3.2 Vollst¨ andiges Chaos

Zelt Abbildung:

0 1

1

0 x

f(x)

0 1 2 3

Abbildung: Strecken und falten

Lyapunov Exponent:

∆xn+1 = 2 ∆xn λ = ln 2 >0 (3.10) Invariante Dichte:

Verteilung von Startwerten ρ0(x) Verteilung nach n Iterationen ρn(x)

Abbildung xn+1 =f(xn) : Frobenius Peron Gleichung ρn+1(x) =

dy ρn(y)δx−f(y) (3.11) Invariante Dichte:

nlim→∞ρn(x) = µ(x) µ(x) =

dy µ(y)δx−f(y) (3.12) Invariante Dichte der Zelt-Abbildung: µ(x) = 1

Invertierbare Transformation:

x=X(y) Inverse Transformation y =Y(x) mitX(0) = 0 und X(1) = 1 yn+1 =f(yn) xn+1 =F(xn) =Xf(Y(xn)) (3.13) Invariande Dichte M(x)

M(x)|dx|=µ(y)|dy| M(x) =µY(x) dY(x) dx

(3.14)

Beispiel: X(y) = sin²πy f(y): Zelt Abbildung F¨ur y < ¹₂ f(y) = 2y

F(x) = Xf(Y(x))= sin²2πy= 4 sin²πy1−sin²πy= 4x(1−x) (3.15) Entsprechend f¨ury > ¹₂: F(x) = 4x(1−x)

Invariante Dichte der logistischen Abbildung mit a= 4: µ(y) = 1 M(x) = 1

dX(y)/dy = 1

πx(1−x) (3.16)

Lyapunov Exponent:

Linearisierte Abbildung f¨ur ∆x→0

∆xn+1 =f(xn) ∆xn=

n l=0

f(xl) ∆x0 (3.17)

λ= lim

n→∞

1 n

n l=0

ln|f(xl)|=

dx µ(x) ln|f(x)| (3.18) Transformation x=X(y): Mit FX(y)=Xf(y)

Λ =

dxM(x) ln|F(x)|=

dy µ(y) ln|F(X(y))|

=

dy µ(y) ln|f(y)|+ ln|X(f(y))| −ln|X(y)|

=

dy µ(y) ln|f(y)|=λ (3.19)

Beispiel: Λ =λ= ln 2 = 0.6912· · · 8.11.99

3.3 Logistische Abbildung mit a < 4

Logistische Abbildung:

xn+1 =a xn(1−xn) (3.20)

Fixpunkt x^∗ = 0 f¨ur a <1 Fixpunkt x^∗ >0 f¨ur 1< a <3 Perode 2ⁿ f¨ur 3< a <3.57· · ·

Chaos, Fenster· · · f¨ur 3.57· · ·< a <4

Bifurkationsdiagramm Ausschnitt

Ausschnitt Lyapunov Exponent

Invariante Dichte µ(x) =

dy µ(y)δx−f(y)= lim

n→∞

1 n

n l=0

δ(x−xl) (3.21)

Periode 8 2 Band Chaos

Chaos Vollst¨andiges Chaos

Singularit¨aten in µ(x) f¨urn-fach Iterierte von x0 = ¹₂

Falls x0 Teil eines instabilen periodischen Orbits oder instabiler Fixpunkt (logis- tische Abbildung mit a= 4) ist, existieren endlich viele Singularit¨aten

3.4 Fenster im chaotischen Bereich

Logistische Abbildung:

Periode 3 Fenster f¨ur 3.829< a <3.856

0 1

0 1

x f (x) f ³(x) f ⁿ(x)

x a=3.8

Chaos

0 1

0 1

x f (x) f ³(x)

f ⁿ(x)

x a=3.835

Periode 3

0 1

0 1

x f (x) f ³(x) f ⁿ(x)

x a=3.855

3 Band Chaos

0 1

0 1

x f (x) f ³(x) f ⁿ(x)

x a=3.865

Chaos

Offnen eines Fensters mit Periode¨ p :

Neuer entarteter Fixpunkt inf^p(x) mit f^p(x^∗_p) =x^∗_p und f_n^p(x^∗_p) = 1 f¨ur a =a^(p)₀

Intermittentes Chaos kurz vor dem ¨Offnen eines Fensters oder vor dem Entstehen eines neuen Fixpunktes

Intermittenz Logistische Abbildung

Krise kurz nach dem Schließen eines Fensters

Krise Logistische Abbildung

15.11.99

Absch¨atzung der Periode p Fenster:

p sei Primzahl. F¨ur vollst¨andiges Chaos, a = 4 , hat f^p(x) 2^p−1 Maxima mit f = 1 und 2^p−1−1 Minima mit f = 0 und damit 2^p Fixpunkte.

F¨ur a → 4 entstehen an jedem Fenster 2p neue Fixpunkte. Damit ist die Gesamtzahl der Fenster

Z_{F enster}^p = 2^p−1 −1

p (3.22)

Damit ist die Zahl der Fenster ¨uberabz¨ahlbar.

Zu jedem Fenster geh¨ort ein Wert von a mit vollst¨andigem Chaos.

Absch¨atzung des Anteils von a-Werten mit Fenster:

Breite des i-ten Fensters mit Periode p: ∆^p_i

p,i

∆^p_i <0.43 (3.23)

Superstabiler Fixpunkt von f^p(x) bei a^(p)₀ : f^p(¹₂) = ¹₂ F¨ur x= ¹₂ +δ:

f^p(¹₂ +δ)−f^p(¹₂)∼a^pδ² (3.24) Vollst¨andiges p-Band Chaos bei a^(p)₁ so da

f^p(¹₂ +δ)−f^p(¹₂)∼δ δ∼a^−p (3.25) Mit ∆∼a^(p)₁ −a^(p)₀ und p a^p−1∆ = δ:

∆∼a^−2p (3.26)

und

p,i

∆^p_i ∼ 1

ln¹₂a (3.27)

Diese Summe erh¨alt Haubtbeitrag von kleinen p. Die zugeh¨origen Fenster f¨ullen nur einen kleinen Teil des Intervalls 3.57< a <4.

Ubrigbleibende¨ a-Werte:

Keine endlichen Intervalle, da in der N¨ahe jeden Wertes von a ein periodisches Fenster existiert. Das Lebesque-Maß dieser Werte ist endlich.

Uberabz¨¨ ahlbarkeit der Fenster:

Betrachte die ersten n Fenster der Periode p mit p Primzahl, z.B. f¨ur n= 10

k: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

pk: 3 5 5 5 7 7 7 7 7 7

Betrachte reelle Zahl zur Basis n: 0.k1k2k3k4· · ·

Zuordnung: Fenster mit Periode pk₁, darin Fenster mit Periode pk₂, darin Fenster mit Periode pk3, · · ·

Diese Zuordnung erfaßt nur eine Teilmenge aller Fenster, da pn endlich ist.

3.5 Periodenverdopplung

Feigenbaum (1978), May,Großmann (1977)

Logistische Abbildung; (n = 2^k)-fach iterierte Abbildung;

Superstabiler Fixpunkt von fⁿ: ak so daß

fⁿ(¹₂) = ¹₂ fⁿ(¹₂) = 0 (3.28)

1

x f (x) f ²(x)

∆₁ f ⁿ(x)

a=3.2361

1

x f (x) f ²(x)

∆₂ f ⁿ(x)

a=3.2361

f ⁴(x)

Mit ∆k =f^n/2(¹₂)−¹₂

αk= ∆k−1

∆k

δk= ak−1−ak−2

ak−ak−1

(3.29)

k n ak δk αk

0 1 2.000000 1 2 3.236068

2 4 3.498562 4.708943 2.654744 3 8 3.554640 4.680771 2.531838 4 16 3.566667 4.662960 2.508718 5 32 3.569243 4.668404 2.504113

· · · · · · · · · · · · ·

∞ ∞ 3.569946 4.669201 2.502908

22.11.99

Renormierungsgruppenrechnung

Vergleich der Abbildungen fⁿ mit f^n/2 f¨ur a =ak mit n= 2^k. Mit ak→a^∗ und εk =a^∗−ak und

F(y, ε) =f(y+¹₂)− ¹₂ (3.30) Ubergang von¨ ak−1 nach ak, f^n/2 nach fⁿ und Reskalierung um Faktor

∆k/∆k−1 liefert ¨ahnliche Abbildung:

Fⁿ(y, εk) = (−1)^k 1

∆k

fⁿ(∆ky+ ¹₂)− ¹₂

≈ − ∆k

∆k−1

F^n/2− ∆k−1

∆k

y, εk−1

≈ − 1 αk

F^n/2−αky, δkεk

(3.31) Fixpunkt f¨ur k → ∞: Fⁿ(y, ε)→F^∗(y, ε), αk →α und δk →δ

F^∗(y, ε) = −αF^∗2− y α,ε

δ

(3.32)

Approximative Rechnung

f(x) = (a^∗−ε)x(1−x) F(y, ε) = 1

4(a^∗−ε−2)−(a^∗−ε)y² (3.33) F²(y, ε) = 1

4(a^∗−ε−2)−(a^∗−ε)1

4(a^∗−ε−2)−(a^∗−ε)y²²

= 1

4(a^∗−ε−2)1− 1

4(a^∗−ε)(a^∗ −ε−2) +1

2(a^∗−ε−2)(a^∗−ε)²y²−(a^∗−ε)³y⁴ Vernachl¨assigung von Termen ∼y⁴ e.t.c. Mit (3.32)

F²(y, ε) =−1

αF(αy, δε) =− 1

4α(a^∗−δε−2) +α(a^∗−δε)y² (3.34) Koeffizientenvergleich f¨ur kleine y und ε :

O(ε⁰, y²) :

α= ¹₂a^∗(a^∗−2) (3.35)

O(ε⁰, y⁰) :

1

α = a^∗(a^∗−2)

4 −1 (3.36)

α = 1 +√

3 = 2.732· · · a^∗ = 1 +

3 + 2√

3 = 3.542· · · (3.37)

O(ε¹, y²) :

δ= a^∗(3a^∗−4)

2α = 4.297· · · (3.38)

Exakt

a^∗ = 3.5699· · · α= 2.5029· · · δ= 4.6692· · · (3.39)

4 Attraktoren in dynamischen Systemen

4.1 Poincar´ e Abbildungen

Dynamisches System mit N Variablen:

dxk

dt =fk(x1· · ·xN) (4.1) z.B. R¨ossler Oszillator:

dx

dt =y−z dy

dt =−x+a y (4.2)

dz

dt =b+z(x−c)

Poincar´e Abbildung:

xk(tn+1) = Fk

x1(tn)· · ·xN(tn) (4.3)

Beispiel: R¨ossler Oszillator

mit Schnittfl¨ache x(tn) = 0 y(tn)>0 yn =y(tn) =f(yn−1, zn−1) (4.4) zn =z(tn) = g(yn−1, zn−1)

R¨ossler Oszillator: a= 0.33 Detail: yn−1 = 3.00· · ·3.05

Farbkodierung: blau: yn−2 < ymax rot: yn−2 > ymax

Die resultierende Abbilung ist n¨aherungsweise eindimensional. Bei st¨arkerer Aufl¨osung w¨urde man bl¨attrige Struktur erkennen.

29.11.99

4.2 B¨ acker Transformation

0 1

0 1

00 01

10 11

α 1−α

γ₀ γ₁

0 1

0 1

Charakterisierung eines Bereichs nach n Schrit- ten durch n-stellige Bin¨arzahl bn

Anfangspunkt → n-stellige Bin¨arzahl mit n0 mal 0 und n1 mal 1

n=n0 +n1

Bereich: 0 1

Breite: γ0 γ1

L¨ange: α γ0

1−α γ1

Gesamtbreite: γ₀ⁿ⁰γ₁ⁿ¹

Gesamtl¨ange: α⁻ⁿ⁰(1−α)⁻ⁿ¹

Dichte: αⁿ⁰γ₀⁻ⁿ⁰(1−α)ⁿ¹γ₁⁻ⁿ¹ Zahl der Bin¨arzahlen: Z(n0, n1) = (n0+n1)!

n0!n1! Stirling Formel: ln n!≈n lnn−n Mit n0 =βn und n1 = (1−β)n : lnZ(n0, n1) = n βlnα

β + (1−β) ln1−α 1−β

Wahrscheinlichkeit f¨ur Bin¨arzahl: Pn₀,n₁ =αⁿ⁰(1−α)ⁿ¹Z(n0, n1)

≈e^{n{βlnαβ+ (1−β) ln1−α1−β}} Wahrscheinlichster Wert: ∂P

∂β = 0 : lnα(1−β)

(1−α)β = 0 β =α L¨ange, Lyapunov Exponent λ1 : e^{−n{αlnα+(1−α) ln(1−α)}} =e^{n λ1}

Breite, Lyapunov Exponent λ2 : e^{n{αlnγ0+(1−α) lnγ1}} = e^{n λ2} Volumen: e^{n{αlnγα0+(1−α) ln1−αγ1 }} =e^n(λ1+λ2)

λ1 = −αlnα−(1−α) ln(1−α)≥0

λ2 = αlnγ0+ (1−α) lnγ1 ≤0 (4.5) λ1 + λ2 ≤0

4.3 Fraktale Dimension

Hausdorff Dimension, Mandelbrot Geometrisches Objekt M

Wieviele Kugeln mit Radius ε sind n¨otig um das Objekt zu bedecken?

•

Punkt: N(ε) =ε⁰ Linie: N(ε) = ε⁻¹ Fl¨ache: N(ε) = ε⁻² Fraktale Dimension:

N(ε)∼ε^{−df r} df r = lim

ε→0

lnN(ε)

ln 1/ε (4.6)

Beispiel:

n-te Generation:

Zahl der Kanten: Nn =N04ⁿ L¨ange einer Kante: ln =cⁿ mit ¹₄ < c < ¹₂

Bedeckung mit Kugeln

des Radius ε=cⁿ

ln 4 <2

B¨acker Transformation:

Nach n Schritten: Breite =ε=e^{n λ2} L¨ange =ε N(ε) =e^{n λ1}

df r = 1− λ1

λ2

(4.8) Beispiel: α = ¹₂ γ0 = ¹₄ γ1 = ¹₂

λ1 = ln 2 λ2 =−³₂ln 2 df r = ⁵₃

6.12.99

4.4 Lyapunov Exponenten und Dimensionen

Zeitliche Entwicklung von kleinen Abweichungen

Autonomes dynamisches System x(t) ={x1(t),· · ·, xn(t)} dx(t)

dt =fx(t) (4.9)

oder

x+1 =fx

(4.10) Betrachte Trajektorie x(t) und benachbarte Trajektorie x(t) = x(t) +δx(t) Linearisierte Bewegungsgleichung f¨ur infinitesimale δx(t)

dδxi(t)

dt =

j

∂fi

x(t)

∂xj(t) δxj(t) =

j

Aij

x(t)δxj(t) (4.11)

Helmholtzscher Fundamentalsatz:

Aij =Sij + Ωij mit Sij =Sji und Ωij =−Ωji (4.12) Sij beschreibt lokale Verzerrung, Ωij beschreibt lokale Drehung

Zeitliche Entwicklung des Fehlers

∆²(t) =δx²_i(t) (4.13)

d∆²(t)

dt = 2

i,j

δxi(t)Sij

x(t)δxj(t) (4.14)

Integrierte zeitliche Entwicklung δxi(t) =

j

Lij

x(0), tδxj(0) (4.15) d

dtLij

x(0), t=

k

Aik

x(t)Lkj

x(0), t mit Lij

x(0),0=δi,j (4.16)

Mit

Λij(x, t) = Λji(x, t) =

k

Lki(x, t)Lkj(x, t) (4.17)

∆²(t) =

i,j

δxi(0)Λij(x, t)δxj(0) (4.18)

Eigenwerte von Λij

x(0), t:

j

Λij(x, t)ηj,(x, t) = e^2λ(x,t)tηi,(x, t) (4.19) Lyapunov Exponenten

λ= lim

t→∞λ(x, t) (4.20)

Es existiert ein λm = 0: Betrachte δx(t) =x(t+δt)−x(t)

Chaotisches System mit n Variablen: Numerierung so daß λ ≥λ−1

λ1· · ·λm−1 >0 λm = 0 λm+1· · ·λn <0 Attraktor:

n

=0

λ <0 Lokale Struktur:

m-dimensionale Manigfaltigkeit

Der Attraktor sei beschr¨ankt auf ein Gebiet mit linearer Ausdehnung∼1 Anfangskonfiguration: Fl¨ache F(t = 0)∼1

F(t)∼e^{tm−1=1 λ} (4.21)

Zahl der Bl¨atter: N(t)∼F(t)

Dicke der Bl¨atter in k-Richtung: δk(0)∼1 δk(t)∼e^{t λk}

Wahl: ε(t) =δk(t) f¨ur k ≥m+ 1

ε^k−1N(ε) =e^tk−1=1λ (4.22) Fraktale Dimension:

Optimale Wahl von k ≥m+ 1 so daß N(ε) minimal ist

df r = max

k









(k−1)λk−^k−1

=1

λ

λk







 (4.23)

20.12.99

4.5 Entropie

Ereignisse i mit Wahrscheinlichkeit Pi mit

i

Pi = 1 Shannon-Information:

I =−

i

Pi log₂Pi (4.24)

Entropie und fraktale Dimension:

Einteilung in Zellen Vi(ε) der Gr¨oße ε Pi =

0 falls Zellei leer ist

¯

p sonst (4.25)

N(ε) Zellen sind nicht leer:

i

Pi =N(ε) ¯p= 1 Mit (4.6)

If r(ε) =−df r log₂ε (4.26)

Entropie und Wahrscheinlichkeit:

Pi = lim

τ→∞

1 τ

_τ

0 dtΘi(x(t)) mit Θi(x) = 1 falls x∈Vi(ε) 0 sonst

=

V_i(ε)

dµ(x) (4.27)

Iµ(ε) =

i

Pi log₂ Pi =−dµ log₂ε≤If r (4.28) Korrelationsfunktion und Dimension

(Grassberger, Procaccia) Korrelationsfunktion:

c(r) = lim

τ→∞

1 τ²

_τ

0 dtdtδ(r− |x(t)−x(t)|)

=

dµ(x)dµ(x)δ(r− |x−x|) (4.29) Korrelationsintegral

C(ε) =

_ε

0 dⁿr c(r)≈

i

V_i(ε)dµ(x)dµ(x) =

i

P_i²(ε) =ε^ν

≥p¯²N(ε) =ε^{df r} (4.30)

Genauere Absch¨atzung: ν ≤dµ≤df r

Beispiele:

Logistische Abbildung mit a= 3.5699.. ν = 0.5 dµ = 0.517 df r = 0.538

Lorenz-Gleichung mit σ = 16, b = 4 und r= 40

λ= (1.37, 0, −22.37) ν = 2.05±0.01 df r = 2.06±0.01

und mit (4.22) df r = 2.061

Analyse von Zeitreihen

Gegeben sei y(t), z.b. aus Experiment.

Konstruiere Trajektorie in einem k-dimensionalen Parameterraum

x(t) = y(t), y(t−τ), y(t−2τ),· · ·, y(t−(k−1)τ) (4.31) Bestimme ν oder d... f¨ur verschiedene Werte von k

k ν

mit Rauschen

ideal

k_min

Zur Rekonstruktion der dynamischen Gleichungen, F(· · ·) dy(t−8 τ)

dt =F

y(t),· · ·, y(t−(k−1)τ) (4.32)

ist k ≥kmin notwendig. _10.1.00

5 Hamiltonsche Systeme

5.1 Periodisch angestoßener Rotator

Koordinaten: Winkel ϕ(t), Impuls ψ(t) Periodische Kraft F(t) =f cos(ϕ(t))δ(tmodτ)

Bewegungsgleichungen: f¨ur t=n τ +t mit 0≤t < τ

ϕ(n τ +t) = ϕ(n τ) +ψ(n τ)t

ψ(n τ +t) = ψ(n τ) (5.1)

ψ((n+ 1)τ) = ψ(n τ) +f cos(ϕ((n+ 1)τ))

Abbildung: {ϕ(n τ), ψ(n τ)} → {ϕ((n+ 1)τ), ψ((n+ 1)τ)} Mit ϕn=ϕ(n τ) und ψn =ψ(n τ)

ϕn+1 =ϕn+τ ψn (5.2)

ψn+1 =ψn+f cosϕn+1

Abbildung:

{ψn cos(ϕn);ψn sin(ϕn)} Tori, ψ irrational (blau)

Geschlossene Tra- jektorien, ψ rational (rot)

Abbildung:

{ψn cos(ϕn);ψn sin(ϕn)}

Tori (blau)

Mehrfache Tori (gr¨un) Chaotische Bereiche (rot)

Zusammenwachsen vorher getrennter chaotischer Bereiche bei st¨arkerer St¨orung

Zusammenwachsen vorher getrennter chaotischer Bereiche bei st¨arkerer St¨orung

5.2 Hamiltonsche Mechanik

Hamilton Funktion: H(p,q) mit p={p1· · ·pN} und q ={q1· · ·qN}. Hamiltonsche Gleichungen

∂tpi =−∂H

∂qi

∂tqi = ∂H

∂pi

(5.3) L¨osung mit Anfangsbedingung:

Trajektorien {pi(t)· · ·pN(t)q1(t)· · ·qN(t)} im 2N-dimensionalen Phasenraum.

Frage: Dimension der Trajektorie?

Beispiel: Kepler-Bewegung, geschlossene Bahnen: d= 1 Periheldrehung, Rosettenbahnen: d= 2

Poisson Klammern: A(p,q), B(p,q) A(p,q), B(p,q)=

∂A(p,q)

∂q

∂B(p,q)

∂p − ∂B(p,q)

∂q

∂A(p,q)

∂p

(5.4) Hamiltonsche Gleichungen

Liouville Satz

Betrachte Volumelement

δV =

N i=1

δpiδqi (5.7)

mit

∂tδqi = ∂2H

∂qi∂pi

δqi ∂tδpi =− ∂2H

∂pi∂qi

δpi (5.8)

dδV

dt =

i

∂tδqi

δqi

+ ∂tδpi

δpi

δV = 0 (5.9)

Lyapunov Exponenten: allgemein

∂tδV =

λδV (5.10)

in Hamiltonschen Systemen

2N

=1

λ = 0 (5.11)

17.1.00

Kanonische Transformationen

Neue Variable Pi(p,q) und Qi(p,q) so daß Qi, Qj

= 0 Pi, Pj

= 0 Qi, Pj

=δij (5.12) mit neuer Hamiltonfunktion K(P,Q) so daß

∂tPi = Pi, K=−∂K

∂Qi

∂tQi = Qi, K= ∂K

∂Pi

(5.13) Explizite Konstruktion: Finde erzeugende Funktion S(q,P, t) so daß

pi = ∂S(q,P, t)

∂qi

Qi = ∂S(q,P, t)

∂Pi

(5.14)

K(P,Q, t) =H(p,q) + ∂S(q,P, t)

∂t (5.15)

5.3 Integrable Systeme

Erhaltungsgr¨oßen Fn(p,q) so daß

∂tFn = Fn, H= 0 Fn

p(t),q(t)=fn (5.16) Integrables System:

Es existieren N unabh¨angige Erhaltungsgr¨oßen F1· · ·Fn so daß {Fn, Fm}= 0 Beispiel: Eindimensionale Bewegung in einem zeitunabh¨angigen Potential:

H(p, q) = p²

2m +V(q) = E (5.17)

Beispiel: Dreidimensionale Bewegung in einem zeitunabh¨angigen Zentralpotential:

H(p,q) = p²

2m +V(|q|) =E

Lz(p,q) = pxqy−pyqx =8z (5.18) L²(p,q) = (p×q)² =8²

Trajektorie [p(t)q(t)] mit Anfangsbedingungen f1· · ·fn im 2N-dimensionalen Phasenraum: auf Manigfaltigkeit (N-Torus)

M(f) = {F1(p q) =f1} ∩ {F2(p q) = f2} · · · ∩ {FN(p q) =fN} (5.19) Wirkungs- und Winkelvariable

Kanonische Transformation auf neue Variable:

Wirkungsvariable I=I

F(p,q)

und Winkelvariable Θ = Θ(p,q) so daß K =K(I).

Mit I =I(f)

∂tΘ = ∂K(I)

∂I

=ω(f) Θ(t) =ϑ+ωt (5.20) Es existiert eine erzeugende Funktion S(q,I) so daß (5.14)

p = ∂S(q,I)

Θ = ∂S(q,I)

(5.21)

Es seien q und q₀ Punkte auf M(f) und C und C Verbindungen dieser Punkte, ebenfalls auf M(f). Falls C stetig nach C verformbar ist, ist

S(q,I) =

q q₀

i

pidqi (5.22)

unabh¨angig vom gew¨ahlten Weg.

W¨ahle N Wege C (nicht stetig ineinander oder auf einen Punkt verformbar)

C₁₁11

C₂₂₂₂ C’₂₂₂₂ C₀₀₀₀

und

I = 1 2π

C

i

pidqi = 1 2π

C

i

pidqi =I(f) (5.23)

Dann ist S(q,I) mehrdeutig: d.h. falls der Integrationsweg um C erweitert wird, gilt S(q,I)→S(q,I) + 2π I

Urspr¨ungliche Variable

qi =qi(Θ,I) =qi(Θ+ 2πn,I) pi =pi(Θ,I) = pi(Θ+ 2πn,I) (5.24) mit n={n1 · · · nN} und n ganzzahlig, d.h. qi und pi sind periodisch.

Fourierdarstellung qi(t) =

n

ai,neⁱ

nωt

pi(t) =

n

bi,neⁱ

nωt

(5.25) Nicht entartet: alle ωk/ω irrational: Trajektorie belegt M(f) dicht

Vollst¨andig entartet: Trajektorie ist geschlossene Kurve auf M(f)

Bemerkung zur Quantenmechanik:

Bohr-Sommerfeld Quantisierung: I muß ganzzahliges Vielfaches von ¯h sein.

Freier Rotator

Erhaltungsgr¨oße f =ψ, Ortsvariable ϕ.

Erzeugende Funktion, (5.22): S(ϕ, I(f)) = ϕ f Mit (5.23) I =f =ψ und K(I) = ¹₂I²

Ebenes Pendel

Ortsvariable ϕ Impulsvariable ψ =m 8²ϕ˙ H(ϕ, ψ) = ψ²

2m 8² −m g 8 cosϕ (5.26) W¨ahle Einheiten so daß m8² =mg8= 1.

Erhaltungsgr¨oße H(ϕ, ψ) = ¹₂ψ²−cosϕ =E Impuls ψ =ψ(ϕ, E) = ±2(E+ cosϕ) Erzeugende Funktion mit ϕ0 = 0

S(ϕ, I(E)) = ± ^ϕ

0 dα

2(E+ cosα) (5.27)

=±22(E+ 1) Esin(¹₂ϕ),

2 E+ 1

wobei E(x, y) ein unvollst¨andiges elliptisches Integral 2. Gattung ist.

Schwingungen: −1< E < 1 Umkehrpunkte: ϕ_± =±ϕ¯=±arc cos(−E) I = 2

π

_ϕ¯

0 dϕ

2(E+ cosϕ) = 4 π

2(E+ 1) E

E+ 1 2 ,

2 E+ 1

(5.28) Uberschl¨¨ age: e >1

I = 1 π

_π

0 dϕ

2(E+ cosϕ) = 2 π

2(E+ 1) E1,

2 E + 1

(5.29)

31.1.00

5.4 Schwach gest¨ orte Systeme, Resonanzschichten

Es sei

K(I^o,Θ) =^o K^o (I) +^o λ K(I^o,Θ)^o

= K^o (I) +^o λ

m

K_m (I^o)e^im

o

Θ (5.30)

mit m={m1· · ·mN} und m ganzzahlig.

Kanonische Transformation auf neue Variable I und Θmit erzeugender Funktion S(Θ,^o I) =

o

Θ I+λ

m

S_m(I)e^im

o

Θ (5.31)

wobei, (5.14),

Θi = Θ^oi +λ

m

∂S_m(I)

∂Ii

e^im

o

Θ

o

Ii = Ii+i λ

m

miS_m(I)eⁱ

mΘ^o (5.32)

Mit (5.30) und (5.20) in Ordnung λ

K(I,Θ) =K^o (I) +λ

m

i

m

ωo (I)Sm(I) +K_m (I)eⁱ

mΘ^o (5.33) Falls m

ωo (I)= 0 w¨ahle

S_m(I) = i K_m (I)

m

ωo (I) (5.34)

Bedingung f¨ur m

ωo (I)= 0:

Alle Verh¨altnisse ωk(I)/ω(I) m¨ussen irrational sein.

Entartung: ωk(I)/ω(I) =nk/n ist rational.

m¯

ωo (I) = 0 f¨ur ¯mk=±n, ¯m =∓nk und ¯mn= 0 sonst.