Systemtheorie Formelsammlung

4 ^ei

* kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr ^*

Systemtheorie

1. Reaktive Elemente

1.1. Die vier zentralen Gr¨ oßen

u, i, q,Φ

... beschreiben die Wirkungsweise von elektronischen Bauelementen.

Spannung u: Potentialdifferenz. Hohes zu niedrigem Potential Strom i: Bewegte Ladung. Bewegungsrichtung positiver Ladung Ladung q: Grundeigenschaft von Materie.

Magnetischer FlussΦ: Grundeigenschaft von elektr. magn. Feldern 1.1.1 Allgemeine Zusammenh¨angeu, i, q,Φ

Ladung und Strom beschreiben den Zustand der Materie.

Spannung und magn. Fluss beschreiben den Zustand des elekt. magn. Fel- des.

Kondensator ist u-gesteuert (q-gesteuert), falls f¨ur ein u (q) nur ein q (u) existiert.

Induktivit¨at ist i-gesteuert (φ-gesteuert), falls f¨ur ein i (φ) nur einφ(i) existiert.

i(t) =_q(t). _{[i] =A} q(t) =q(t₀) +´_t

t0i(τ)dτ [q] =As=C u(t) =.

Φ(t) [u] =V

Φ = Φ(t0) +´_t

t0u(τ)dτ [Φ] =V s=W b 1.1.2 Arten von Bauelementen

Art Symbol Beschr. linear

Resistivit¨at iR

uR

f_R(u, i) u=U0+R·i Kapazit¨at

i_C uC

f_C(u, q) q=Q₀+C·u Induktivit¨at iL

uL

f_L(i,Φ) Φ = Φ₀+L·i Memristivit¨at

uM

iM

f_M(q,Φ) Φ = Φ₀+M·q 1.1.3 Zusammenhang der Bauelemente

iLuL

iCuC

uM

iM

iR uR

resistiv

memristiv

induktiv

kapazitiv

Spannung

u Strom

i

Fluss ϕ Ladung

q

dtd dt^d

1.1.4 Eigenschaften von Reaktanzen Linearit¨at: siehe Eintore

Differentialgleichung:i(t) =C^du(t)_dt , u(t) =L^di(t)_dt

Ged¨achtnis: Verhalten durch vorhergehende Klemmengr¨oßen bestimmt.

Stetigkeit:u_C(t),i_L(t)stetig in(ta, t_b), wenn Torgr¨oßen endlich Verlustfreiheit: W_C(t₁, t₂) = ´t2

t1u(t)i(t) dt = ´_q2 q1X(q) dt (Arbeit)

Falls linear:W=^Cu₂² =^Li₂²

Periodisch:u(t+T) =u(t),q(t+T) =q(t)

Graphisch: Falls keine geschlossenen Schleifen in q/u,Φ/i-Diagramm existieren (Hystenesefrei)

Energie (nicht linearer Fall):

- Kapazitiv:W_C(t₁, t₂) =´t2

t1u(t)i(t) dt=´q2 q1u(q) dq - Induktiv:W_L(t1, t2) =´t2

t1u(t)i(t) dt=´_Φ2 Φ1i(Φ) dΦ Energie (linearer Fall):

- Kapazitiv:W_C=^C₂u²=_2C¹ q² - Induktiv:W_L= ^L₂i²=_2L¹ Φ²

Graphisch: Fl¨ache zwischen der Kennlinie und der q-/Φ-Achse Relaxationspunkte (=Ruhepunkte): Betriebspunkte, in dem die in einer Reaktanz gespeicherte Energie minimal ist. Kandidaten sind: Extremwerte, Wendepunkte, Knicke, Schnittpunkte mit q-/Φ-Achse

1.1.5 Verschaltung von Reaktanzen

- Parallelschaltung:C_p=C₁+C₂,L_p=L₁||L₂= _L^L1L2 1 +L2 - Serienschaltung:Cp=C₁||C₂=_C^C1C2

1 +C2,Lp=L₁+L₂ Merke: Am Kondensatoreilt der Stromvor, bei Induktivit¨atenwird er sich versp¨aten.

Merke: Ist das M¨adchen brav, bleibt der Bauch konkav, hat das M¨adchen Sex, wird der Bauch konvex.

1.1.6 Dualit¨at u→R_d·i^d,i→ ¹

Rdu^d Φ→R_d·q^d,q→ ¹

rd·Φ^d

1.2. Populationswachstum

Zustandsgleichung:.

p=αp(t) Zeitkonstanteτ=−¹

Mit Anfangswertp₀α= p(t₀) zum Zeitpunktt₀ ist die L¨osung des Gleichungssystemes:p(t) =p0e^{α(t−t0 )}

2. Systeme ersten Grades

I. Resistives ESB bestimmen

Kapazit¨at Induktivit¨at ESB-Typ Helmholtz-Th´evenin Mayer-Norton

Zustandsgr¨oße x(t) =u_C(t) x(t) =i_L(t)

Zeitkonstante τ=RC τ=GL

II. Aufstellen DGL(kanonische Form) x(t) =. −1

τx(t) +1

τvmit der Erregungv III. L¨osen der DGL

Konstante Erregung:x(t) =x∞+ (x₀−x∞)e⁻ t−t0

τ

Allgemeine Erregung:x(t) = x₀e t0−t

τ

| {z }

zero-input-response +

ˆ_t t0 1 τv(t⁰)e

t0 0−t0

τ

| {z }

zero-state-response mituC,∞=U0bzw.iL,∞=I0

IV. Dynamischer Pfad

Kapazit¨at Induktivit¨at

i <0:uwird gr¨oßer u <0:iwird gr¨oßer i >0:uwird kleiner u >0:iwird kleiner

i= 0: GGP u= 0: GGP

Toter Punkt:kein GGP, aber Pfad kann nicht fortgesetzt werden→Sprung der nicht stetigen Gr¨oße (i_Coderu_L)

Gleichgewichtspunkt (GGP):

Kapazit¨at Induktivit¨at

d

dtu_F = 0→i_F= 0 _dt^di_F = 0→u_F= 0 a) stabil, falls der Pfad nicht aus diesem Punkt herausl¨auft b) instabil, falls der Pfad aus dem Punkt herausl¨auft

c) virtuell, falls der Pfad in einen toten Punkt auf dem verl¨angertem Pfad auf der Achse l¨auft

2.1. Stabile Schaltung (τ >

0)

2.2. Instabile Schaltung (τ <

0)

2.3. Dynamischer Pfad 2.4. Sprung- und Impulsantwort

2.4.1 Sprungantwort

Sprungfunktion:σ(t) = (

1 f¨urt >0 0 f¨urt <0 Sprungantwort:xσ(t) = (1−exp (−1

τ))σ(t) 2.4.2 Impulsantwort

rechteckf¨ormiger Signalverlauf der Erregung Einheitsimpuls:δ(t) =

(0 f¨urt6= 0

∞ f¨urt= 0und´2

−1δ(t) dt= 1 ∀₁, ₂>0 Impulsantwort:h(t) =1

τexp (−1

τ)σ(t) =_dt^dσ

2.5. Sprungph¨ anomene

Tritt auf, falls Pfad in einen toten Punkt l¨auft.

F¨uhrt zu einer sprungartigen Fortsetzung des dynamischen Pfades auf ei- nem anderen Kennlinienast (Stetigkeitsregel beachten).

Beispiele: Relaxationsoszilator, astabiler Multivibrator

3. Systeme zweiten Grades

3.1. Differentialgleichungssystem aufstellen

I. Schaltung umzeichnen

Zeichne die Schaltung so um, dass beide Reaktanzen an den ¨außeren Sei- ten sind.

II. Matrix aufstellen(Quellen vernachl¨assigen) a) zwei Kapazit¨aten: LeitwertsmatrixG b) zwei Induktivit¨aten: WiderstandsmatrixR

c) Kapazit¨at (Tor 1) und Induktivit¨at (Tor 2): Inverse HybridmatrixH’

d) Induktivit¨at (Tor 1) und Kapazit¨at (Tor 2): HybridmatrixH III. Quellenvektor aufstellen

IV. Differentialgleichungssystem aufstellen

3.2. Phasenportraits

3.2.1 Zeichnen des Phasenportraits

I. Bestimmung der Eigenwerteλ_iund Eigenvektorenq_i λ_1,2=^tr(A)₂ ±

r tr(A)2

4 −det(A) a126= 0⇒q_i =

"

−a₁₂ a₁₁−λ_i

#

a21 6= 0⇒q_i=

"

a₂₂−λ_i

−a₂₁

#

a₁₂=a₂₁= 0⇒q₁=

"

1 0

# ,q₂=

"

0 1

#

Falls Eigenvektoren komplex:q_r=Re{q₁} q_i=Im{q₁} II. Bestimmung des Fixpunktes

Ax∞+Bv= 0⇒x∞=−A⁻¹Bv III. Art des Phasenportraits Strudelpunkt

λ_1/2 = α±βj,α 6= 0: Je nach sgn(α)(in-)stabiler Strudel in Drehrichtung vonqr(ξ_reel1) nach−q_i(ξ_reel2)

Wirbelpunkt

λ_1/2=±βj: Wirbel in Drehrichtung vonqr(ξ_reel1) nach−q_i(ξ_reel2)

Knotenpunkt

λ1,2 < 0,|λ₁| < |λ₂|: Trajektorien von Richtung (Eigenvektor) des schnelleren Eigenwerts (q₂, ξ₂) schmiegen sich an an Richtung des langsameren Eigenwerts (q₁, ξ₁).

Sattelpunkt

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λ₁<0< λ₂: Zwei Geraden in Eigenrichtungen, von stabiler Richtung zu GGP, zu instabiler Richtung. Restliche Trajektorien Hyperbeln mit Geraden als Asymptoten.

IV. Einzeichnen von Fixpunkt und Eigenvektoren

Die Eigenvektoren werden ausgehend vom Fixpunkt eingezeichnet. Bei konjugierten Eigenvektoren zeichnet man den Realteil und den negierten Imagin¨arteil.

3.2.2 Isokline

Kurve, auf der die Steigung der Trajektorie konstant ist.

m= x.₂

x.₁, fallsm= 0 : .

x₂= 0bzw.m=∞:. x₁= 0 3.2.3 Separatrix

Kurve, die Gebiete mit verschiedenem Langzeitverhalten trennt.

3.3. L¨ osung der Zustandsgleichungen

3.3.1 Homogener Fall

Transformation autonom (konst. Erregung)→ homogener Fall mit:

x⁰=x−x∞.

λ₁6=λ₂:x(t) = c₁e^λ1tq₁+c₂e^λ2tq₂ λ₁=λ₂=λ:x(t) =e^λt(1+ (A−λ1)t)[q₁q₂]^T

komplexe Eigenwerte: c₁e^αt(cos (βt)q_reell − sin (βt)q_imag + c2e^αt(sin (βt)q_reell−cos (βt)q_imag)

3.3.2 Transformation auf Normalform Gegeben:.

x=Ax Normalgleichung:.

ξ= Λξ

Eigenwerteλ₁, λ₂und Eigenvektorenq₁,q₂berechnen Q=h

q₁ q₂i Λ =Q⁻¹AQ=

"

λ1 0 0 λ₂

#

, ξ=Q⁻¹x x(t) =Qξ(t) =Qexp(Λ(t−t₀))Q⁻¹x₀ 3.3.3 Transformation auf Jordan-Normalform Gegeben:λ=λ₁=λ₂,Aist keine Diagonalmatrix J=

"

λ 1

0 λ

# ,Q⁰=h

q⁰₁ q⁰₂ i

, ξ⁰(t) =Q⁰⁻¹x(t) Zustandsgleichung in Jordan-Normalform:.

ξ⁰(t) =Jξ⁰(t) L¨osung der Zustandsgleichung:

ξ⁰(t) =

"

exp(λ(t−t0))ξ₁⁰(t0) + (t−t0) exp(λ(t−t0))ξ⁰₂(t0) exp(λ(t−t₀))ξ⁰₂(t₀)

#

R¨ucktransformation:x(t) =Q⁰ξ⁰(t) =q⁰₁ξ⁰₁(t) +q⁰₂ξ⁰₂(t)

3.3.4 Transformation auf reellwertige Normalform Gegeben:λ_1/2=α±βj,q_r,q_i

Λ_reell=

"

α −β

β α

#

Q_reell=h q_r −q_ii x_reell=Q⁻¹_reelle^∆tQ_reell

.

ξ_reell(t) = Λ_reellξ_reell(t)

3.4. Zeitverlauf der Zustandsvariablen

Eigenwerte:λ_i=α+jβmit D¨ampfungαund Schwingungβ Stabilit¨at:stabil, fallsα <0, sonst instabil

Schwingung mit Kreisfrequenzω=β

Fall Schwingungsart

α= 0, β6= 0 unged¨ampfte Schwingung α <0, β6= 0 schwach ged¨ampfte Schwingung λ1=λ2<0, β= 0 aperiodischer Grenzfall λ16=λ2, β= 0 stark ged¨ampfte Schwingung

3.5. Sprung- und Impulsantwort (analog zu 2.4)

Zustandsgleichung der Form.

x(t) =Ax(t) +bv(t).

Ausgangsgleichung der Formy(t) =c^Tx(t) +dv(t).

3.5.1 Sprungantwort

Sprungantwortyσ(t) = (d−c^TA⁻¹b)σ(t) +c^TA⁻¹exp (At)bσ(t) mit der Sprungfunktionσ(t)

F¨ur ein stabiles System mit lim

t→∞exp (At) = 0(λ_real < 0) kon- vergiert die Sprungantwort wie folgt:yσ,∞=d+c^TA⁻¹b.

3.5.2 Impulsantwort h(t) =_dt^dy_σ(t)

h(t) =dδ(t) +c^Texp (At)bσ(t)

3.6. Steady-State- und Transientenantwort

x(t) =xtrans(t) +x_steady(t)

3.6.1 Steady-State-Antwort x_steady(t) =Re{Y(jω)e^jωt} X_steady(t) =H(jω)·U_in 3.6.2 Transientenantwort

Die Summe der Polstellen vonH(jω)ist die Transientenantwort.

xtrans(t) = exp (At)·xtrans(t)

4. Nichtlineare dynamische Systeme

1. Alle Fixpunkte bestimmenf(x∞)=^!0 2. Jacobimatrix bestimmen

3. Fixpunkte in Jacobimatrix einsetzen und Eigenwerte und Eigenvekto- ren bestimmen

4. ¨Uberpr¨ufen desSatzes von Hartmann/Grobmann:

F¨ur alle Eigenwerte giltRe{λ_i} 6= 0

5. Phasenportrait zeichnen (lokale Phasenportraits stetig verbinden)

4.1. Energiefunktion

Eigenschaften: stetig, lokal nicht konstant, auf jeder Trajektorie konstant Schaltung ist. konservativ, falls:

E= 0⇔ ^∂

∂x1E(x). x₁+_∂x^∂

2E(x).

x₂+. . .+ ^∂

∂xnE(x). x_n= 0 Erweiterung des Satzes von Hartmann/Grobmann: Jacobimatrix hat nur imagin¨are EW und Schaltung ist konservativ⇔GGP ist Wirbelpunkt

4.2. Oszillatoren

Schaltung mit periodischem Verlauf der Zustandsgr¨oßen Voraussetzung: nichtlinear, nur ein Fixpunkt (instabil) Van der Pol-Oszillator:

Relaxationsoszillator:

5. Dynamische Schaltungen beliebigen Grades

5.1. Verallgemeinerte Zustandsgleichungen

d dt







0 0

0 0

M₁ N₁







"

u i

#

=−







B 0

0 A

M₀ N₀







"

u i

# +





 0 0 e





 M₁,N₁: Elementgleichungen der reaktiven Elemente M0,N0: Elementgleichungen aus Tablau B: KVL,A: KCL

(e= 0⇔keine Quellen enthalten)

6. Komplexe Wechselstromrechnung

Vorraussetzung: lineares, eingeschwungenes System mit sinusf¨ormiger Erregungx(t) =Am·cos(ωt+φ)

6.1. Komplexe Zeigergr¨ oßen

Zeitfunktion a(t) =A_m·cos(ωt+φ) Zeiger A=α+iβ=A_m·e^iφ

=A_m·(cosφ+jsinφ) Maximum A_m=|A|=p

α²+β²=√ AA^∗

Phase φ=

(

arctan^β_α α >0 arctan^β_α+π α <0 Differentialoperator:_dt^d =jω _dt^de^j(ωt+φ)=jω·e^j(ωt+φ)

Widerstand Kondensator Spule

ImpedanzZ=^U_I R _jωC¹ jωL

AdmittanzY=_U^I G= _R¹ jωC _jωL¹

∆ϕ= ϕu−ϕi

0 −^π

2

π 2

6.2. Komplexe Leistungsrechnung

U_eff=√¹

2U_m I_eff= √¹ 2I_m Momentanleistung:p(t) =u(t)i(t) Energie einer Periode:E=´_T

0 u(t)i(t)dt Leistungsmittelwert:P_w=_T¹´T

0 u(t)i(t)dt

Komplexe Leistung:P = ¹₂U I^∗= ¹₂U_m·e^jφu·I_m·e⁻jφi = U_eff·I_eff·e^j(φu−φi)

Scheinleistung:S=|P|

Wirkleistung:Pw=Re{P}

Blindleistung:P_B=Im{P}

7. Analyse dynamischer Systeme im Frequenz- bereich

7.1. Laplace-Transformation

F¨ur kausale Funktionen mitf(t) = 0f¨urt <0:

F(p) =L{f(t)}=´_∞

0 f(t)e^−ptdt R¨ucktransformation:

f(t) =L⁻¹{F(p)}= 1 2πj

´γ+j∞

γ−j∞F(p)e^−ptdt 7.1.1 Rechenregeln

•Linearit¨at:L{αf(t) +βg(t)}=αF(p) +βG(p)

•Differentiationssatz:L{.

f(t)}=pF(p)−f(0)

•Faltung:L{(a∗b)(t)}=A(p)B(p) 7.1.2 Wichtige Laplace-Transformationen

• L{αe^βt}= α p−β

• L{e^At}= 1 p1−A Allgemeine L¨osung im Frequenzraum:

x(p) = 1

p1−Ax₀+ 1 p1−AbV(p) x(t) =x(0)e^At+´t

0e^A(t−t0)v(t⁰)bdt⁰

7.2. ¨ Ubertragungsfunktion

H(jω) =Ausgang Eingang

Nullstellen des Ausgangs werden alsp_0,ibezeichnet

Nullstellen des Eingangs werden alsEigenfrequenzenp∞,ibezeichnet Polstellenp∞,ivonH(jω)sind die Eigenwerte der Systemmatrix Bestimmung der Differentialgleichung:

H(jω) =^UA_UE =^{a0 +a1 jω+a2 (jω)2} e0 +e1 jω+e2 (jω)2

U_A(e₀+e₁jω+e₂(jω)²) =U_E(a₀+a₁jω+a₂(jω)²) e₀u_a(t) +e₁.

u_a(t) +e₂..

u_a(t) =a₀u_e(t) +e₁.

u_e(t) +e₂..

u_e(t) 3dB-Grenzfrequenz:|H(jω)|²=1

2 Stabilit¨at:Re{p_∞,i}<0 ∀i

Darstellung einer Schaltung in Abh¨angigkeit der Frequenz H(jω) =|H(jω)|exp(j∠H(jω))

φ(ω) =∠H(jω) =







arctan^Im{H(jω)}_Re{H(jω)} f¨ur Re{H(jω)} ≥0 arctan^Im{H(jω)}_Re{H(jω)}+π f¨ur Re{H(jω)}<0 logarithmierte Darstellung des Betrages:v(ω) = 20 log₁₀|H(jω)|

7.3. Bodediagramm

1. ¨Ubertragungsfunktion faktorisieren H(jw) =K·Q_n

n=1

x_n+ ^jw wn

_zn

z_n∈Z{0}

2. Logarithmierte Betr¨age der einzelnen Faktoren aufstellen a) Konstanter Faktor:y= 20·log₁₀(K)dB b) Fallsxn= 0: Gerade durch(ωn,0dB)

c) Fallszn < 0: BisωnFunktion gleich 0dB, dann linear um 20·log₁₀(x_n)dB pro Dekade fallend

d) Fallsz_n > 0: Bisω_nFunktion gleich 0dB, dann linear um 20·log₁₀(xn)dB pro Dekade steigend

3. Phase der Faktoren bestimmen

4. Logarithmierte Betr¨age und Phasen aufaddieren

5. Separates Zeichnen des Betragesv(ω)und der Phaseφ(ω)in zwei Diagramme

7.4. Ortskurve

1. Bestimmung von diversen Werten der ¨Ubertragungsfunktion 2. Eintragen in der komplexen Ebene

3. Punkte stetig verbinden

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Hier: Widerstandsortskurve eines Parallelschwingkreises.

Kann auch Leitwert oder eine andere ¨Ubertragungsfunktion sein

7.5. Filtertypen

Hochpass:|H(j0)|= 0,|H(jω)| →cf¨urω→ ∞ Tiefpass:|H(j0)|=c,|H(jω)| →0f¨urω→ ∞

Bandpass:|H(j0)|= 0,|H(jω)| →0f¨urω→ ∞,|H(jw₀)|=c Bandsperre:|H(j0)|=c,|H(jω)| →cf¨urω→ ∞,|H(jw₀)|= 0

Allpass:|H(j0)| = c(Phase kann sich trotzdem abh¨angig vonω

¨andern!)

7.6. Schwingkreis

Resonanzfrequenz:ω₀=q

1 LC G¨utefaktor:Q= ^ω0_G^C = _ω¹

0LG=

√C G√

L Eigenfrequenzen:p∞,1,2=−^ω_2Q⁰±_2Q^ω0p

1−4Q²

8. SPICE

8.1. Bauteile

•L<Name> <Knoten1> <Knoten2> <Wert>: Spule zwischen Knoten

<Knoten1>und Knoten<Knoten2>mit Induktivit¨at<Wert>

•C<Name> <Knoten1> <Knoten2> <Wert>: Kondensator zwischen Knoten<Knoten1>und Knoten<Knoten2>mit Kapazit¨at<Wert>

•R<Name> <Knoten1> <Knoten2> <Wert>: Widerstand zwischen Kno- ten<Knoten1>und Knoten<Knoten2>mit Widerstandswert<Wert>

•U<Name> <Knoten1> <Knoten2> <Wert>: Spannungsquelle zwischen Knoten<Knoten1>und Knoten<Knoten2>mit Spannung<Wert>

(Spannung positiv bei<Knoten1>)

•I<Name> <Knoten1> <Knoten2> <Wert>: Stromquelle zwischen Knoten<Knoten1>und Knoten<Knoten2>mit Stromst¨arke<Wert>

(Strom in Richtung<Knoten2>)

8.2. Parameterbefehle

•.step param <Param> <Start> <End> <Step>: Alle Parameter {<Param>}werden vom Startwert<Start>bis<End>w¨ahrend der Simulation als Treppenfunktion mit Schrittweite<Step>eingesetzt.

•.step param <Param> list <Wert1> <Wert2> ...: Simulation wirdnmal f¨ur jeden Parameterwert durchgef¨uhrt.

•.step oct param <Param> <Start> <End> <StepsPerOct>

8.3. Analysearten

•.tran <Endtime>: Transientenanalyse im Zeitbereich vont= 0bis t=<Endtime>. Bsp.:.trans 60us

9. Simulink

TODO

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