LMU M¨ unchen • Dominic, Lars, Sebastian
Sobolev-Einbettungen
Dominic, Lars, Sebastian Sobolev-Einbettungen 1/3
Skalierung
Satz
F¨ ur u ∈ C
0∞( R ) gilt kuk
∞≤ ku
0k
1Beweis: u(x) = u(−∞) +
Z
x−∞
u
0(y) dy
Ansatz Finde p ∈ [1, ∞] mit kuk
p≤ c k∇uk
1f¨ ur u ∈ C
0∞( R
n).
Skalierung u
R(x) := u(Rx ) ergibt (∇u
R)(x) = R (∇u)(Rx ) und
kuk
p= R
npku
Rk
p≤
!c R
npk∇u
Rk
1= R
np+1−nk∇u k
1. Daraus folgt
np+ 1 − n = 0, d.h. p =
n−1n.
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Skalierung
Satz
F¨ ur u ∈ C
0∞( R ) gilt kuk
∞≤ ku
0k
1Beweis: u(x) = u(−∞) +
Z
x−∞
u
0(y) dy
Ansatz Finde p ∈ [1, ∞] mit kuk
p≤ c k∇uk
1f¨ ur u ∈ C
0∞( R
n).
Skalierung u
R(x) := u(Rx ) ergibt (∇u
R)(x) = R (∇u)(Rx ) und
kuk
p= R
npku
Rk
p≤
!c R
npk∇u
Rk
1= R
np+1−nk∇u k
1. Daraus folgt
np+ 1 − n = 0, d.h. p =
n−1n.
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Einbettungssatz
Sobolev Einbettungen
F¨ ur u ∈ C
0∞( R
n) mit k ≥ 1 gilt
kuk
p≤ c k∇
kuk
qfalls k − n q ≥ − n
p (p < ∞), ku k
C0,α≤ c k∇
kuk
qfalls k − n
q ≥ α (α > 0).
• W
k,q( R
n) , → L
p( R
n) mittels Dichtheit.
• Beschr¨ ankte Gebiete: man kann zu kleinerem p wechseln.
• |x|
α∈ C
0,αhat Index α.
• L
phat Index −
np, W
k,qhat Index k −
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