Lehr- und Forschungsgebiet Mathematische Grundlagen der Informatik
RWTH Aachen
Prof. Dr. E. Grädel, R. Rabinovich
SS
. Übung Mathematische Logik
Abgabe : bis .. um : Uhr am Lehrstuhl.
Geben Sie bitte Namen, Matrikelnummer und die Übungsgruppe an.
Aufgabe + + + + Punkte
Wir betrachten eine ExpansionN∶= (N,+,⋅, , ,R)der natürlichen Arithmetik mit einem einstelligen RelationssymbolR. Geben Sie zu folgenden Sachverhalten jeweils eine Formel in FO({+,⋅, , ,R})an:
(a) x+ undy+ haben die gleichen Primfaktoren;
(b) die Primfaktorzerlegung vonxenthält jede Primzahl höchstens ein Mal;
(c) die -te Ziffer von rechts der Binärdarstellung vonxist eine ;
(d) RNist unendlich;
(e) die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist unendlich.
Aufgabe + Punkte
Wir betrachten eine endliche Signaturτ.
(a) Sei Φ= {φ,φ, . . .}eine Menge von FO(τ)-Sätzen und
Φ′∶= {φ} ∪ { (φ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧φn−) →φn ∶ n>}.
Beweisen Sie, dass Mod(Φ) =Mod(Φ′).
(b) Eine MengeΦvon FO(τ)-Sätzen heißtglatt, wenn keine Struktur mehr als einen Satz ausΦverletzt, d.h. wenn für jedeτ-StrukturAgilt∣{φ∈Φ ∶ A⊧/ φ}∣ ≤. Zeigen Sie, dass jede FO-axiomatisierbare Klasse von Strukturen auch ein glattes Axiomensystem hat.
Aufgabe + + + Punkte
Axiomatisieren Sie folgende Graphklassen in FO({E}):
(a) die Klasse aller gerichteten vollständigen Graphen mit mindestens Knoten (ein gericheteter Graph ist vollständig, wenn es von jedem Knoten eine Kante zu jedem Knoten gibt, insbesondere sind Schlingen vorhanden);
(b) die Klasse der gerichteten Graphen, die keinen vollständigen Graphen der Größe höchstens als Substruktur enthalten;
(c) die Klasse der gerichteten kreisfreien Graphen;
(d) die Klasse der gerichteten Graphen, die Kreise (geschlossene Pfade ohne Wiederholungen von Kno- ten) aller Längen enthalten.
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Aufgabe + Punkte SeienEundRzweistellige Relationssymbole und f ein zweistelliges Funktionssymbol. Formen Sie fol- gende Formeln in Negations- und Pränexnormalform um.
(a) φ∶= ∃x[∀y(E x z∧ ¬E yx) → ∀y(E f x yz∧ ∀zRx z)].
(b) ψ∶= [∃z∀x(∃y(E x y∧E yz) ∧ ∀y∀z(E yz∨E x z→y=z))] → ∀zE x f yz.
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