H¨ohere Mathematik 2 - Kompakt

H¨ ohere Mathematik 2 - Kompakt

Themen:

Lineare Algebra

Analysis mehrerer Ver¨ anderlichen

Inhaltsverzeichnis

4 Lineare Algebra 69

4.1 Grundlegende Strukturen . . . . 71

4.1.1 Gruppen und K¨orper . . . . 71

4.1.2 Vektorr¨aume . . . . 73

4.1.3 Skalarprodukt und Norm . . . . 74

4.1.4 Basen . . . . 76

4.2 Matrizen . . . . 77

4.2.1 Lineare Abbildungen . . . . 77

4.2.2 Matrix-Operationen . . . . 79

4.2.3 Spezielle Matrizen . . . . 80

4.2.4 Determinanten . . . . 81

4.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . 83

4.3.1 Klassifikation und allgemeine Struktur . . . . 83

4.3.2 Direkte Methoden . . . . 84

4.3.3 Ausgleichsprobleme . . . . 86

4.4 Normalformen . . . . 87

4.4.1 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . 87

4.4.2 Diagonalisierung . . . . 88

4.4.3 Jordan-Normalform . . . . 89

4.4.4 Singul¨arwertzerlegung . . . . 90

4.5 Analytische Geometrie . . . . 91

4.5.1 Orthogonale Gruppen . . . . 91

4.5.2 Quadriken . . . . 92

5 Analysis mehrerer Ver¨ anderlichen 95 5.1 Grundbegriffe . . . . 97

5.1.1 Mengen . . . . 97

5.1.2 Funktionen . . . . 98

5.1.3 Stetigkeit . . . . 99

5.1.4 Konvergenz . . . 100

5.2 Differentiation . . . 101

5.2.1 Mypartielle Ableitungen . . . 101

5.2.2 Ableitungsregeln . . . 103

5.2.3 Taylor-Entwicklung . . . 104

5.2.4 Extremwerte . . . 105

5.3 Mehrdimensionale Integration . . . 106

5.3.1 Mehrdimensionale Integrale . . . 106

5.3.2 Variablentransformation . . . 107

5.3.3 Kurven- und Fl¨achenintegrale . . . 108

5.3.4 Anwendungen . . . 110

5.3.5 Integrals¨atze . . . 111

Teil 4

Lineare Algebra

4.1 Grundlegende Strukturen

4.1.1 Gruppen und K¨ orper

Gruppe

Menge G mit bin¨arer Operation : G × G 7−→ G

• Assoziativit¨at: (a b) c = a (b c)

• Neutrales Element: ∃! e ∈ G: e a = a e = a

• Inverses Element: a a

⁻¹

= a

⁻¹

a = e

kommutativ oder abelsch ⇔ a b = b a Untergruppe

Teilmenge U einer Gruppe G

abgeschlossen unter der Gruppenoperation von G, d.h.

a, b ∈ U = ⇒ a b ∈ U, a ∈ U = ⇒ a

⁻¹

∈ U

Permutationen und symmetrische Gruppe

Gruppe S

n

der Bijektionen auf {1, 2, . . . , n}

π =

1 2 3 . . . n

π(1) π(2) π(3) . . . π(n)

n! Elemente

Zyklenschreibweise von Permutationen

Zyklus: Bilder eines Elementes bei mehrfacher Ausf¨uhrung der Permutation Zerlegung von π ∈ S

n

, z.B.

π =

1 2 3 4 5 6 4 3 2 6 5 1

≡ (1 4 6) (2 3) (5) bzw. π = (1 4 6) (2 3)

Transposition und Signum einer Permutation τ = (j k): Vertauschung von j und k

Produktdarstellung von Permutationen

π = τ

1

◦ · · · ◦ τ

m

Vorzeichen (Signum) einer Permutation: σ(π) = (−1)

^m

K¨ orper

Menge K , auf der eine Addition + und eine Multiplikation · definiert sind

• (K, +): abelsche Gruppe mit neutralem Element 0

a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = a a + (−a) = 0

• (K\{0}, ·): abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 a · b = b · a (a · b) · c = a · (b · c)

a · 1 = a a · a

⁻¹

= 1

• Distributivgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c Primk¨ orper

Z

p

= {0, 1, . . . , p − 1}, p : Primzahl K¨orper unter Addition und Multiplikation modulo p

Chinesischer Restsatz Kongruenzen

x = a

1

mod p

1

. . .

x = a

n

mod p

n

eindeutige L¨osung x ∈ {0, . . . , P − 1}, P = p

1

· · · p

n

, f¨ur teilerfremde Zahlen p

1

, . . . , p

n

x =

n

X

k=1

a

k

Q

k

(P/p

k

) mod P, Q

k

(P/p

k

) = 1 mod p

k

4.1.2 Vektorr¨ aume

Vektorraum

abelsche Gruppe (V, +), auf der eine Skalarmultiplikation · mit Elementen aus einem K¨orper K mit den folgenden Eigenschaften definiert ist

(λ

1

+ λ

2

) · v = λ

1

· v + λ

2

· v λ · (v

1

+ v

2

) = λ · v

1

+ λ · v

2

(λ

1

· λ

2

) · v = λ

1

· (λ

2

· v) 1 · v = v

Vektorraum der n-Tupel

K

ⁿ

: a =





 a

1

...

a

n





 = (a

1

, . . . , a

n

)

^t

, a

i

∈ K komponentenweise definierte Addition und Skalarmultiplikation





 a

1

...

a

n





 +





 b

1

...

b

n





 =







a

1

+ b

1

...

a

n

+ b

n





 , λ ·





 a

1

...

a

n





 =





 λ · a

1

...

λ · a

n







R

ⁿ

( C

ⁿ

): n-Tupel reeller (komplexer) Zahlen Unterraum

Teilmenge U eines K -Vektorraums V , die bzgl. der Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist:

u, v ∈ U = ⇒ u + v ∈ U λ ∈ K, u ∈ U = ⇒ λ · u ∈ U Linearkombination

λ

1

· v

1

+ λ

2

· v

2

+ · · · + λ

m

· v

m

=

m

X

i=1

λ

i

· v

i

lineare H¨ulle span(U ): Menge aller Linearkombinationen von Elementen aus U Konvexkombination

λ

1

v

1

+ λ

2

v

2

+ · · · + λ

m

v

m

, λ

i

≥ 0, X

i

λ

i

= 1

konvexe H¨ulle conv(U ): Menge aller Konvexkombinationen von Vektoren aus U

4.1.3 Skalarprodukt und Norm

Reelles Skalarprodukt

Bilinearform h·, ·i : V × V → R auf einem reellen Vektorraum V mit folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

hv, vi > 0 f¨ur v 6= 0

• Symmetrie:

hu, vi = hv, ui

• Linearit¨at:

hλu + %v, wi = λhu, wi + %hv, wi Skalarprodukt reeller Vektoren

v

^t

w = v

1

w

1

+ · · · + v

n

w

n

= |v||w| cos α mit α ∈ [0, π] dem kleineren der beiden Winkel zwischen v und w assoziierte Norm

|v| = q

v

₁²

+ · · · + v

²_n

Komplexes Skalarprodukt

Abbildung h·, ·i : V × V → C auf einem komplexen Vektroraum V mit folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

hv, vi > 0 f¨ur v 6= 0

• Schiefsymmetrie:

hu, vi = hv, ui

• Linearit¨at:

hλu + %v, wi = λhu, wi + %hv, wi Skalarprodukt komplexer Vektoren

y

^∗

x = x

1

y ¯

1

+ · · · + x

n

y ¯

n

assoziierte Norm

|z| = p

|z

1

|

²

+ · · · + |z

n

|

²

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

|hu, vi| ≤ |u||v|, |w| = p hw, wi Gleichheit genau dann wenn u k v

bei reellem Skalarprodukt Definition eines Winkels α ∈ [0, π] via

hu, vi

Norm

Abbildung k · k : V → R mit den folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

kvk > 0 f¨ur v 6= 0

• Homogenit¨at:

kλvk = |λ|kvk

• Dreiecksungleichung:

ku + vk ≤ kuk + kvk Norm, assoziiert mit einem Skalarprodukt

|u| = p

hu, vi

4.1.4 Basen

Lineare Unabh¨ angigkeit linear unabh¨angig:

α

1

v

1

+ · · · + α

m

v

m

= 0 = ⇒ α

1

= · · · = α

n

= 0 linear abh¨angig:

∃(α

1

, . . . , α

n

) 6= 0 : α

1

v

1

+ · · · + α

m

v

m

= 0 (nicht-triviale Darstellung des Nullvektors)

Basis

B = {b

1

, b

2

, . . .} ⊂ V Basis ⇔

eindeutige Darstellbarkeit der Vektoren v des Vektorraums V als Linearkombination v = X

k

λ

k

b

k

⇔ b

k

linear unabh¨angig und span(b

1

, b

2

, . . .) = V Dimension: dim V = |B|

Orthogonale Basis

hu

i

, u

j

i = 0, i 6= j orthonormal, falls |u

k

| = 1

eindeutige Darstellung

v =

n

X

k=1

c

k

u

k

, c

k

= hv, u

k

i

|u

k

|

²

Norm: |v|

²

= |c

1

|

²

|u

1

|

²

+ · · · + |c

n

|

²

|u

n

|

²

Orthogonale Projektion

Abbildung auf einen Unterraum U eines Vektorraums V

v 7→ P

U

(v) ∈ U ⊂ V, hv − P

U

(v), ui = 0 ∀u ∈ U u

1

, . . . , u

k

orthogonale Basis von U = ⇒

P

U

(v) =

j

X

k=1

hv, u

k

i hu

k

, u

k

i u

k

Verfahren von Gram-Schmidt

induktive Orthogonalisierung einer Basis b

1

, . . . , b

n

u

j

= b

j

− X

k<j

hb

j

, u

k

i

hu

k

, u

k

i u

k

, j = 1, . . . , n

|hu

k

, u

k

i| = 1 bei Normierung, u

j

← u

j

/|u

j

|, nach jedem Schritt

4.2 Matrizen

4.2.1 Lineare Abbildungen

Lineare Abbildung

Abbildung L : V → W zwischen Vektorr¨aumen

• additiv:

L(u + v) = L(u) + L(v)

• homogen:

L(λv) = λL(v)

insbesondere: L(0

V

) = 0

W

, L(−v) = −L(v) Komposition linearer Abbildungen

Hintereinanderausf¨uhrung linearer Abbildungen S : U → V , T : V → W lineare Abbildung

T ◦ S : U → W, (T ◦ S)(u) = T (S(u)) Matrix

Rechteckschema mit m Zeilen und n Spalten

A = (a

ij

) =











a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

... ... ...

a

m1

a

m2

· · · a

mn











komponentenweise Definition von Operationen

C = A ± B ⇔ c

ij

= a

ij

± b

ij

, B = λA ⇔ b

ij

= λa

ij

Matrix einer linearen Abbildung

lineare Abbildung L : V 7−→ W zwischen Vektorr¨aumen mit Basen E = {e

1

, . . . , e

n

} und F = {f

1

, . . . , f

m

} eindeutig bestimmt durch die Bilder der Basisvektoren

L(e

j

) = a

1,j

f

1

+ · · · + a

m,j

f

m

lineare Abbildung der Koordinaten

w

F

= Av

E

⇔ w

i

=

n

X

j=1

a

i,j

v

j

, i = 1, . . . , m

Basiswechsel

Transformation der Koordinaten bei einem Basiswechsel E → E

⁰

v

E⁰

= Av

E

, e

k

= X

j

a

jk

e

⁰_j

Bild und Kern

lineare Abbildung L : V → W

Kern L = {v ∈ V : L(v) = 0} ⊆ V

Bild L = {w ∈ W : ∃v ∈ V mit L(v) = w} ⊆ W dim V < ∞ = ⇒

dim V = dim Kern(L) + dim Bild(L) Inverse Abbildung

L : V → W injektiv ⇔ Kern L = 0

V

lineare Umkehrabbildung

w 7→ v, w = L(v)

4.2.2 Matrix-Operationen

Matrix-Multiplikation

A : m × n, B : n × ` C : m × `

C = AB, c

ik

=

n

X

j=1

a

ij

b

jk

, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ ` Komposition der linearen Abbildungen u 7→ v = Bu, v 7→ w = Av

i.a. nicht kommutativ Inverse Matrix

AA

⁻¹

= A

⁻¹

A = E Invertierung von Matrixprodukten: (AB)

⁻¹

= B

⁻¹

A

⁻¹

Transponierte, adjungierte, symmetrische und hermitesche Matrix transponierte Matrix

B = A

^t

⇔ b

i,j

= a

j,i

symmetrisch: A = A

^t

adjungierte Matrix

C = A

^∗

= ¯ A

^t

⇔ c

i,j

= ¯ a

j,i

selbst-adjungiert oder Hermitesch: A = A

^∗

Regeln

(AB)

^t

= B

^t

A

^t

und (AB)

^∗

= B

^∗

A

^∗

, (A

^t

)

⁻¹

= (A

⁻¹

)

^t

und (A

^∗

)

⁻¹

= (A

⁻¹

)

^∗

Spur einer Matrix

Spur(A) =

n

X

k=1

a

kk

Regeln

Spur(AB) = Spur(BA), Spur(T

⁻¹

AT ) = Spur(A) Rang einer Matrix

maximale Anzahl linear unabh¨angiger Spalten bzw. Zeilen Matrix-Norm

zugeordnet

kAk = sup

x6=0

kAxk

kxk = max

kxk=1

kAxk submultiplikativ, d.h. kABk ≤ kAkkBk

euklische Norm

kAk

2

= max{ √

λ : A

^∗

Av = λv}

Zeilensummennorm

kAk

∞

= max

j

X

k

|a

jk

|

4.2.3 Spezielle Matrizen

Orthogonale und unit¨ are Matrix unit¨ar: Spalten bilden orthonormale Basis

A

⁻¹

= A

^t

= A

^∗

orthogonal: Spezialfall reeller Matrizen, A

⁻¹

= A

^t

Invarianz der euklidischen Norm: |Av| = |v|

Normale Matrizen

A normal ⇔ AA

^∗

= A

^∗

A, A

^∗

= ¯ A

^t

bzw. AA

^t

= A

^t

A f¨ur reelles A

unit¨ar, hermitesch, orthogonal oder symmetrisch = ⇒ normal Zyklische Matrizen

generiert durch zyklisches Verschieben der ersten Spalte











a

0

a

n−1

a

n−2

. . . a

1

a

0

a

n−1

. . . a

2

a

1

a

0

. . .

... ... ...











zyklische Struktur kompatibel mit Matrixmultiplikation Positiv definite Matrix

v

^∗

Av > 0 ∀v 6= 0

positive Diagonalelemente und Eigenwerte, positiv definite Inverse

semidefinit, falls v

^∗

Av ≥ 0

4.2.4 Determinanten

Determinante

Schreibweisen

det A = det(a

1

, . . . , a

n

) = |A| =

a

11

· · · a

1n

... ...

a

n1

· · · a

nn

mit a

k

den Spalten von A

definierende Eigenschaften

• Multilineari¨at:

det(. . . , αa

j

+ βb

j

, . . .) = α det(. . . , a

j

, . . .) + β det(. . . , b

j

, . . .)

• Antisymmetrie:

det(. . . , a

j

, . . . , a

k

, . . .) = − det(. . . , a

k

, . . . , a

j

, . . .)

• Normierung:

det(e

1

, . . . , e

n

) = 1 , (e

k

)

_`

= δ

k`

f¨ur die Einheitsvektoren e

k

Entwicklung als Summe n-facher Produkte

det A = X

i∈Sn

σ(i) a

i1,1

· · · a

in,n

mit σ(i) dem Vorzeichen der Permutation (i

1

, . . . , i

n

) Eigenschaften von Determinanten

det A

• invariant bei Addition eines Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile)

• null bei zwei gleichen Spalten (Zeilen)

• Vorzeichen¨anderung bei Vertauschung von Spalten (Zeilen) sukzessive Transformation auf Dreiecksform

Regeln

detA = detA

^t

, det(A

^-1

) = (detA)

⁻¹

, det(AB) = (detA)(detB)

Determinante als Volumen

Volumen des von a

1

, . . . , a

n

aufgespannten Spats

| det A| = vol (

_n

X

i=1

α

i

a

i

: 0 ≤ α

i

≤ 1 )

= vol (A[0, 1]

ⁿ

)

Determinanten spezieller Matrizen

• Dreiecksmatrix: a

ij

= 0 f¨ur i < j oder i > j = ⇒

det A = a

11

· · · a

nn

• Blockdiagonalmatrix: Blockstruktur mit A

ij

= 0, i 6= j, und quadratischen Diagonalbl¨ocken A

ii

= ⇒ det A =

k

Y

i=1

det A

ii

• Orthogonale und unit¨are Matrizen:

| det U | = 1 Entwicklungssatz f¨ ur Determinanten

det A =

n

P

j=1

(−1)

^k+j

a

kj

det ˜ A

kj

(Entwicklung nach Zeile k)

=

n

P

i=1

(−1)

^i+`

a

i`

det ˜ A

i`

(Entwicklung nach Spalte l)

mit ˜ A

ij

der Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile j -ten Spalte entsteht

4.3 Lineare Gleichungssysteme

4.3.1 Klassifikation und allgemeine Struktur

Lineares Gleichungssystem

a

1,1

x

1

+ · · · + a

1,n

x

n

= b

1

... ... ... ... ... ...

a

m,1

x

1

+ · · · + a

m,n

x

n

= b

m

⇔ Ax = b homogen (inhomogen): b = 0 (b 6= 0)

uberbestimmt, falls unl¨osbar (im Allgemeinen f¨ur ¨ m > n)

unterbestimmt, falls keine eindeutige L¨osung (im Allgemeinen f¨ur m < n) L¨ osungsmenge eines linearen Gleichungssystems

Ax = a

1

x

1

+ · · · a

n

x

n

= b ∈ R

^m

mit a

k

den Spalten von A

(i) homogenenes System (b = 0):

immer l¨osbar, linearer L¨osungsraum Kern A

eindeutige L¨osung x = 0, falls a

k

linear unabh¨angig (ii) inhomogenes System (b 6= 0):

l¨osbar genau dann wenn b ∈ Bild A (b als Linearkombination von a

k

darstellbar) affiner L¨osungsraum

x

∗

+ Kern A mit einer speziellen L¨osung x

∗

eindeutig, falls Kern A = 0

4.3.2 Direkte Methoden

Cramersche Regel

Ax = b ⇔ x

i

det A = det(a

1

, . . . , a

i−1

, b, a

i+1

, . . . , a

n

) mit a

k

den Spalten der quadratischen Matrix A

eindeutige L¨osung f¨ur belibieges b, falls det A 6= 0

b = e

j

(Einheitsvektoren) Koeffizienten der Inversen C = A

⁻¹

c

i,j

= det(a

1

, . . . , a

i−1

, e

j

, a

i+1

, . . . , a

n

) det A

R¨ uckw¨ arts-Einsetzen







r

1,1

· · · r

1,n

. .. ...

0 r

n,n











 x

1

...

x

n





 =





 b

1

...

b

n







sukzessive Berechnung der Unbekannten

x

`

= (b

`

− r

`,`+1

x

`+1

− · · · − r

`,n

x

n

) /r

`,`

, ` = n, . . . , 1

Gauß-Elimination

Transformation auf obere Dreiecksform nach ` − 1 Schritten

a

1,1

x

1

+ a

1,2

x

2

+ . . . + a

1,`

x

`

+ . . . + a

1,n

x

n

= b

1

a

2,2

x

2

+ . . . + a

2,`

x

`

+ . . . + a

2,n

x

n

= b

2

... ... ...

a

`,`

x

`

+ . . . + a

`,n

x

n

= b

`

a

`+1,`

x

`

+ . . . + a

`+1,n

x

n

= b

`+1

... ... ...

a

n,`

x

`

+ . . . + a

n,n

x

n

= b

n

`-ter Eliminationsschritt

• evtl. Vertauschung von Zeilen, so dass a

`,`

6= 0

• Subtraktion von Vielfachen der `-ten Zeile:

f¨ur i > ` und j ≥ `

a

i,j

← a

i,j

− q

i

a

`,j

, b

i

← b

i

− q

i

b

`

(q

i

= a

i,`

/a

`,`

)

Zeilenstufenform eines Gleichungssystems

Ax = b ⇔











0...0 p

1

∗...∗

0 0...0 p

2

∗...∗

0 0...0 p

3

∗...

. ..















 x

1

...

x

n





 =





 c

1

...

c

m







mit Pivots p

1

, . . . , p

k

6= 0, k = Rang A

sukzessive Umformung analog zur Gauß-Elimination

L¨ osung eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform











0 . . . 0 p

1

∗ . . . ∗

0 0 . . . 0 p

2

∗ . . . ∗

0 0 . . . 0 p

3

∗ . . . ∗ . ..















 x

1

...

x

n





 =





 c

1

...

c

m







mit Pivots p

1

, . . . , p

k

6= 0

l¨osbar genau dann wenn c

k+1

= · · · = c

m

= 0 (i) k = n eindeutige L¨osung

(ii) k < n n − k linear unabh¨angige L¨osungen des homogenen linearen Gleichungssystems (c

i

= 0)

Unbekannte, die den Spalten ohne Pivots entsprechen, frei w¨ahlbar

4.3.3 Ausgleichsprobleme

Ausgleichsgerade

lineare Approximation von Daten (t

k

, f

k

) durch Minimierung der Fehlerquadratsumme

n

X

k=1

(f

k

− p(t

k

))

²

, p(t) = u + vt

eindeutig l¨osbar bei mindestens zwei verschiedenen Abszissen t

i

u = ( P t

²_i

)( P

f

i

) − ( P t

i

)( P

t

i

f

i

) n( P

t

²_i

) − ( P

t

i

)

²

, v = n( P

t

i

f

i

) − ( P t

i

)( P

f

i

) n( P

t

²_i

) − ( P t

i

)

²

Normalengleichungen

|Ax − b| → min ⇔ A

^t

Ax = A

^t

b

eindeutige L¨osung x, falls die Spalten von A linear unabh¨angig sind

4.4 Normalformen

4.4.1 Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum

Eigenvektor v zum Eigenwert λ einer quadratischen Matrix A Av = λv, v 6= 0 Eigenraum: V

λ

= Kern(A − λE)

Ahnlichkeitstransformation ¨ Basiswechsel

A → B = Q

⁻¹

AQ erh¨alt Eigenwerte

v Eigenvektor von A ⇔ w = Q

⁻¹

v Eigenvektor von B Charakteristisches Polynom

p

A

(λ) = det(A − λE) =

a

11

− λ a

12

. . . a

1n

a

21

a

22

− λ . . . a

2n

... ... . .. ...

a

n1

a

n2

. . . a

nn

− λ

= (λ

1

− λ) · · · (λ

n

− λ) Eigenwerte λ

k

: Nullstellen von p

A

n

X

k=1

λ

k

= Spur A,

n

Y

k=1

λ

k

= det A

Eigenvektoren v: nicht-triviale L¨osungen des homogenen linearen Gleichungssystems (A − λE)v = 0

Konstruktion einer Basis f¨ur den Eigenraum V

λ

= Kern(A − λE) durch Transformation auf Zeilenstufen- form

Algebraische und geometrische Vielfachheit

algebraische Vielfachheit m

λ

: Ordnung der Nullstelle des charakteristischen Polynoms p

A

(λ) = det(A − λE

n

)

geometrische Vielfachheit d

λ

: Dimension des Eigenraums V

λ

= Kern(A − λE

n

) Beziehungen zwischen m und d

d

λ

≤ m

λ

, X

λ

m

λ

= n, d

λ

= n − Rang(A − λE )

4.4.2 Diagonalisierung

Basis aus Eigenvektoren

Basis aus Eigenvektoren v

k

mit Eigenwerten λ

k

zu A Diagonalisierung V

⁻¹

AV = diag(λ

1

, . . . , λ

n

), V = (v

1

, . . . , v

n

)

Diagonalisierung zyklischer Matrizen Eigenvektoren: Spalten der Fourier-Matrix

W = (w

^jk

)

j,k=0,...,n−1

, w = exp(2πi/n) Diagonalform

1 n W











a

0

a

n−1

· · · a

1

a

1

a

0

· · · a

2

... . .. ...

a

n−1

a

n−2

· · · a

0









 W =







λ

1

· · · 0 ... ... ...

0 · · · λ

n







mit den Eigenwerten

λ

`

=

n−1

X

k=0

a

k

w

^−k`

, ` = 0, . . . , n − 1

Unit¨ are Diagonalisierung A normal, d.h. A

^∗

A = AA

^∗

⇔

U

⁻¹

AU = diag(λ

1

, . . . , λ

n

)

mit einer unit¨aren Matrix U (Spalten: orthonormale Basis aus Eigenvektoren) Diagonalisierung hermitescher Matrizen

A = A

^∗

= ⇒ reelle Eigenwerte und Orthonormalbasis aus Eigenvektoren u

k

U

^∗

AU = diag(λ

1

, . . . , λ

n

), U = (u

1

, . . . , u

n

) hermitesch ⇔ symmetrisch f¨ur reelle Matrizen

Rayleigh-Quotient

S hermitesch positiv definit = ⇒

r

S

(x) = x

^∗

Sx

x

^∗

x , x 6= 0

f¨ur kleinsten und gr¨oßten Eigenwert extremal

4.4.3 Jordan-Normalform

Jordan-Form

Ahnlichkeitstranformation auf die Blockdiagonalform ¨

J =







J

1

0

. ..

0 J

k





 = Q

⁻¹

AQ, J

i

=















λ

i

1 0

0 λ

i

1 . .. ...

λ

i

1

0 λ

i















mit λ

i

den Eigenwerten von A

Konvergenz von Matrix-Potenzen A

ⁿ

→ 0 ⇔ |λ

k

| < 1 ∀k

A

ⁿ

beschr¨ankt ⇔ |λ

k

| ≤ 1 ∀k und |λ

k

| = 1 nur f¨ur Eigenwerte mit gleicher algebraischer und geome- trischer Vielfachheit

Divergenz von A

ⁿ

in allen anderen F¨allen

4.4.4 Singul¨ arwertzerlegung

Singul¨ arwert-Zerlegung

U

^∗

AV = S =







s

1

0

s

2

0 . ..





 , s

1

≥ · · · ≥ s

k

> s

k+1

= · · · = 0 mit k = Rang A

singul¨are Werte s

j

: Wurzeln der Eigenwerte von A

^∗

A

Spalten u

j

von U und v

j

von V : orthonormale Basen aus Eigenvektoren von AA

^∗

bzw. A

^∗

A Av

j

= s

j

u

j

, Ax =

k

X

i=1

s

i

(v

^∗_i

x)u

i

Pseudo-Inverse

A

⁺

= V S

⁺

U

^∗

, S

⁺

= diag(1/s

1

, . . . , 1/s

k

, 0, . . . , 0) mit s

i

> 0 den Singul¨arwerten von A

x = A

⁺

b: Minimum-Norm-L¨osung des Ausgleichsproblems |Ax − b| → min

4.5 Analytische Geometrie

4.5.1 Orthogonale Gruppen

Spiegelung

(orthogonale) Spiegelungsmatrix

Q = E − 2

|d|

²

dd

^t

mit d einem Normalenvektor der Spiegelungsebene

Drehung

Drehung um den Winkel ϕ in der x

i

x

j

-Ebene Drehmatrix Q

i,j

Zeile i → Zeile j →

























1 0

. ..

c −s

. ..

s c

. ..

0 1

























mit c = cos ϕ und s = sin ϕ Q orthogonal, det Q = 1 = ⇒

Q = Y

i<j

Q

i,j

Drehung im Raum

x 7→ Qx = cos ϕ x + (1 − cos ϕ)uu

^t

x + sin ϕ u × x

mit normierter Drehachsenrichtung u, Drehwinkel ϕ (orientiert wie eine Rechtsschraube) und × dem Kreuzprodukt

Qu = u, cos ϕ = (Spur Q − 1)/2 entsprechende Drehmatrix

Q : q

ik

= cos ϕ δ

ik

+ (1 − cos ϕ) u

i

u

k

+ sin ϕ X

j

ε

ijk

u

j

4.5.2 Quadriken

Quadrik

Q : x

^t

Ax + 2b

^t

x + c = 0 homogene Form: Q : ˜ x

^t

A˜ ˜ x = 0 mit

A ˜ =

c b

^t

b A

, x ˜

^t

= (1, x

1

, . . . , x

n

) Klassifizierung

• kegelige Quadrik: Rang ˜ A = Rang A

• Mittelpunktsquadrik: Rang ˜ A = Rang A + 1

• parabolische Quadrik: Rang ˜ A = Rang A + 2

Hauptachsentransformation

Drehung und Verschiebung Normalform x

^t

Ax + 2b

^t

x + c =

m

X

i=1

λ

i

w

²_i

+ 2βw

m+1

+ γ , x = U w + v mit m = Rang A und βγ = 0

Spalten der Drehmatrix U : Eigenvektoren u

i

(Hauptachsen) zu den Eigenwerten λ

i

von A Verschiebungsvektor v: Mittelpunkt der Quadrik

Kegelschnitt

Doppel-Kegel mit Spitze p (p

3

6= 0), Richtung v und ¨ Offnungswinkel α K : (x − p)

^t

v = ± cos α

2 |x − p||v | Schnitt mit der Ebene E : x

3

= 0 ebene Quadrik

Typ bestimmt durch Winkel β der Achse mit der Ebene E

Euklidische Normalformen der zweidimensionalen Quadriken

• Kegelige Quadriken

Normalform Bezeichnung

x²₁ a²₁

+

^x_a²²2

2

= 0 Punkt

x²₁ a²₁

−

^x_a²²2

2

= 0 schneidendes Geradenpaar

x²₁

a²₁

= 0 Doppelgerade

• Mittelpunktsquadriken

Normalform Bezeichnung

x²₁ a²₁

+

^x_a²²2

2

+ 1 = 0 (leere Menge)

x²₁ a²₁

−

^x_a²²2

2

+ 1 = 0 Hyperbel

−

^x_a²¹2 1

−

^x_a²²2

2

+ 1 = 0 Ellipse

x²₁

a²₁

+ 1 = 0 (leere Menge)

−

^x_a²¹2

1

+ 1 = 0 paralleles Geradenpaar

• Parabolische Quadriken Normalform Bezeichnung

x²₁

a²₁

+ 2x

2

= 0 Parabel

Euklidische Normalformen der dreidimensionalen Quadriken

• Kegelige Quadriken

Normalform Bezeichnung

x²₁ a²₁

+

^x_a²²2

2

+

^x_a²³2

3

= 0 Punkt

x²₁ a²₁

+

^x_a2²²

2

−

^x_a²³2

3

= 0 (Doppel-)Kegel

x²₁ a²₁

+

^x_a²²2

2

= 0 Gerade

x²₁ a²₁

−

^x_a²²2

2

= 0 schneidende Ebenen

x²₁

a²₁

= 0 Doppelebene

• Mittelpunktsquadriken

Normalform Bezeichnung

x²₁ a²₁

+

^x_a²²2

2

+

^x_a²³2

3

+ 1 = 0 (leere Menge)

x²₁ a²₁

+

^x_a²²2

2

−

^x_a²³2

3

+ 1 = 0 zweischaliges Hyperboloid

x²₁ a²₁

−

^x_a²²2

2

−

^x_a²³2

3

+ 1 = 0 einschaliges Hyperboloid

−

^x_a²¹2 1

−

^x_a²²2 2

−

^x_a²³2

3

+ 1 = 0 Ellipsoid

x²₁ a²₁

+

^x_a²²2

2

+ 1 = 0 (leere Menge)

x²₁ a²₁

−

^x_a²²2

2

+ 1 = 0 hyperbolischer Zylinder

−

^x_a²¹2 1

−

^x_a²²2

2

+ 1 = 0 elliptischer Zylinder

x²₁

a²₁

+ 1 = 0 (leere Menge)

−

^x_a²¹2

1

+ 1 = 0 parallele Ebenen

• Parabolische Quadriken

Normalform Bezeichnung

x²₁ a²₁

+

^x_a²²2

2

+ 2x

3

= 0 elliptisches Paraboloid

x²₁ a²₁

−

^x_a²²2

2

+ 2x

3

= 0 hyperbolisches Paraboloid

x²₁

a²₁

+ 2x

2

= 0 parabolischer Zylinder

Teil 5

Analysis mehrerer Ver¨ anderlichen

5.1 Grundbegriffe

5.1.1 Mengen

Umgebung

ε-Umgebung eines Punktes x ∈ R

ⁿ

:

B

ε

(x) = {y : |y − x| < ε}

Umgebung U von x: Menge, die eine ε-Umgebung von x enth¨alt Offene Menge

D offen

⇔ jeder Punkt in D besitzt eine Umgebung in D

⇔ Komplement von D abgeschlossen Inneres

◦

D einer (beliebigen) Menge D: alle Punkte in D mit einer Umgebung in D Abgeschlossene Menge

D abgeschlossen

⇔ jede konvergente Folge von Punkten in D besitzt einen Grenzwert in D

⇔ Komplement von D offen

Abschluss D einer (beliebigen) Menge D: Menge aller Grenzwerte von Folgen in D Rand einer Menge

∂D = D \ D

^◦

Punkte, die keine Umgebung besitzen, die ganz in D oder im Komplement von D liegt Kompakte Menge

kompakt ⇔ beschr¨ankt und abgeschlossen

¨aquivalente Charakterisierungen

• Jede Folge in D besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in D.

• Jede ¨ Uberdeckung von D mit offenen Mengen besitzt eine endliche Teil¨uberdeckung.

5.1.2 Funktionen

Multivariate Funktionen

f : R

ⁿ

⊇ D → R

^m

, x 7→ f (x) skalar- (m = 1) oder vektorwertig (m > 1)

Graph: {(x, f(x)) : x ∈ D}

Niveaufl¨achen: {x ∈ D : f(x) = c}

Multivariate Polynome

p(x) = X

α

a

α

x

^α

, x

^α

= x

^α₁¹

· · · x

^α_nⁿ

, α

i

∈ N

0

totaler Grad ≤ m: P

α ≤ m, Dimension

^m+n_n

maximaler Grad ≤ m: max

k

α

k

≤ m, Dimension (m + 1)

ⁿ

homogen vom Grad m: P

α = m, Dimension

^m+n−1_n−1

5.1.3 Stetigkeit

Stetigkeit multivariater Funktionen

D 3 x

k

→ x = ⇒ lim

k→∞

f (x

k

) = f(x) Extremwerte stetiger Funktionen

Existenz von Minimum und Maximum auf einer kompakten Menge Aquivalenz von Vektornormen ¨

c

1

kxk ≤ |x| ≤ c

2

kxk ∀x ∈ R

ⁿ

5.1.4 Konvergenz

Konvergenz einer Vektor-Folge

k→∞

lim x

k

= x bzw. x

k

→ x f¨ur k → ∞ ⇔

∀ε > 0 ∃k

ε

: |x

k

− x| < ε f¨ur k > k

ε

⇔ Konvergenz aller Komponenten

Cauchy-Kriterium f¨ ur Vektor-Folgen

∀ε > 0 ∃k

ε

: |x

`

− x

k

| < ε f¨ur `, k > k

ε

⇔ Cauchy-Konvergenz aller Komponenten Kontrahierende Abbildung

g : D → D, kg(x) − g(y)k ≤ c kx − yk ∀x, y ∈ D mit Kontraktionskonstante c < 1

f¨ur konvexe Mengen

c ≤ sup

x∈D

||g

⁰

(x)||

mit g

⁰

der Jacobi-Matrix Banachscher Fixpunktsatz

g: kontrahierende Selbstabbildung einer nichtleeren abgeschlossenen Menge D ⊂ R

ⁿ

, d.h.

• D = D

• x ∈ D = ⇒ g(x) ∈ D

• kg(x) − g(y)k ≤ ckx − yk ∀x, y ∈ D mit c < 1

= ⇒ Existenz eines eindeutigen Fixpunktes x

∗

= g(x

∗

) ∈ D lineare Konvergenz einer Iterationsfolge (x

`

)

kx

∗

− x

`

k ≤ c

^`

1 − c kx

1

− x

0

k

5.2 Differentiation

5.2.1 Mypartielle Ableitungen

Mypartielle Ableitungen

∂

i

f = f

xi

= ∂f

∂x

i

, ∂

i

f(x) = lim

h→0

f(. . . , x

i

+ h, . . .) − f(. . . , x

i

, . . .) h

Ableitung der univariaten Funktion x

i

7→ f (x

1

, . . . , x

i

, . . . , x

n

), bei der die Variablen x

j

, j 6= i, als Kon- stanten betrachtet werden

Mehrfache mypartielle Ableitungen

∂

i

∂

j

f = f

xjxi

= ∂

²

f

∂x

i

∂x

j

Multiindex-Notation

∂

^α

f = ∂

₁^α1

· · · ∂

_n^αn

f, α = (α

1

, . . . , α

n

), α

i

∈ N

0

∂

i

∂

j

f = ∂

j

∂

i

f¨ur glatte Funktionen f Totale Ableitung und Jacobi-Matrix

f (x + h) = f(x) + f

⁰

(x)h + o(|h|), |h| → 0 Jacobi-Matrix

f

⁰

= J f = ∂(f

1

, . . . , f

n

)

∂(x

1

, . . . , x

n

) = (∂

1

f, . . . , ∂

n

f ) =











∂

1

f

1

. . . ∂

n

f

1

... ...

∂

1

f

m

. . . ∂

n

f

m











Differential

df = ∂f

∂x

1

dx

1

+ · · · + ∂f

∂x

n

dx

n

Fehlerfortpflanzung bei multivariaten Funktionen absoluter Fehler

∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f

x1

(x)∆x

1

+ · · · + f

xn

(x)∆x

n

relativer Fehler

∆y

|y| ≈ c

1

∆x

1

|x

1

| + · · · + c

n

∆x

n

|x

n

| mit den Konditionszahlen

c

i

= ∂y

∂x

i

|x

i

|

|y|

Tangente

Kurve C : t 7→ f(t)

f

⁰

(t

0

) 6= 0 ber¨uhrende Gerade

g : f (t

0

) + f

⁰

(t

0

)(t − t

0

), t ∈ R

f

⁰

(t

0

) = 0 abrupte ¨ Anderung der Tangentenrichtung m¨oglich

Tangentialebene implizit definierte Fl¨ache

S : f (x

1

, . . . , x

n

) = c grad f (p) 6= 0 Tangentialebene

E : (grad f(p))

^t

(x − p) = 0 Tangentialebene f¨ur den Graph einer Funktion x 7→ y = g (x

1

, . . . , x

n−1

)

E : y − g(q) =

n−1

X

i=1

∂

i

g(q) (x

i

− q

i

)

5.2.2 Ableitungsregeln

Multivariate Kettenregel

h = g ◦ f : x 7→ y = f(x) 7→ z = g (y) Hintereinanderschaltung Multiplikation der Jacobi-Matrizen

h

⁰

(x) = g

⁰

(y)f

⁰

(x), ∂z

i

∂x

k

= X

j

∂z

i

∂y

j

∂y

j

∂x

k

Richtungsableitung

∂

v

f (x) = lim

h→0

f(x + hv) − f(x)

h =

d

dt f(x + tv)

t=0

= f

⁰

(x)v bei skalarer Funktion: Anstieg von f in Richtung v, maximal f¨ur v k grad f

Steilster Abstieg

iterative Minimierung multivariater Funktionen x → y : f (y) = min

t≥0

f (x + td), d = − grad f (x) Konvergenz gegen kritische Punkte: grad f(x

∗

) = 0

Umkehrfunktion

f : R

ⁿ

→ R

ⁿ

, f

⁰

(x

∗

) invertierbar = ⇒

f in Umgebung U von x

∗

bijektiv, y = f(x) ⇔ x = g(y), und g

⁰

(y) = f

⁰

(x)

⁻¹

, x ∈ U

Implizite Funktionen

f : R

ⁿ

× R

^m

→ R

ⁿ

, f(x

∗

, y

∗

) = 0 mit det f

x

(x

∗

, y

∗

) 6= 0 = ⇒ Gleichungen

f

k

(x

1

, . . . , x

n

, y

1

, . . . , y

m

) = 0, k = 1, . . . , n, lokal nach x aufl¨osbar: x = ϕ(y), y ≈ y

∗

Jacobi-Matrix

ϕ

⁰

= −(f

x

)

⁻¹

f

y

5.2.3 Taylor-Entwicklung

Multivariate Taylor-Approximation

f(x) = X

|α|≤n

1

α! ∂

^α

f (a)(x − a)

^α

+ R, |x − a| < r , mit α! = α

1

! · · · α

m

!

Restglied

R = X

|α|=n+1

1

α! ∂

^α

f(u)(x − a)

^α

, u = a + θ(x − a) , f¨ur ein θ ∈ [0, 1]

Hesse-Matrix

quadratische Taylor-Approximation einer skalaren Funktion f f (x

1

, . . . , x

n

) = f (a) + (grad f (a))

^t

(x − a) + 1

2 (x − a)

^t

H f (a)(x − a) + · · · mit

H f (a) =











∂

1

∂

1

f (a) · · · ∂

1

∂

n

f(a)

... ...

∂

n

∂

1

f(a) · · · ∂

n

∂

n

f (a)











Multivariates Newton-Verfahren nichtlineares Gleichungssystem

f

1

(x

∗

) = · · · = f

n

(x

∗

) = 0, x

∗

∈ R

ⁿ

iterative Approximation der L¨osung x

∗

x

neu

= x

alt

− ∆x, f

⁰

(x

alt

)∆x = f (x

alt

) det f

⁰

(x

∗

) 6= 0 = ⇒ lokal quadratische Konvergenz

|x

neu

− x

∗

| ≤ c |x

alt

− x

∗

|

²

5.2.4 Extremwerte

Kritischer Punkt

grad f (x

∗

) = 0, Typbestimmung mit Eigenwerten λ

k

der Hesse-Matrix Hf(x

∗

)

• Flachpunkt: λ

k

= 0

• elliptischer Punkt: λ

k

6= 0, gleiches Vorzeichen

• hyperbolischer Punkt: ∃ λ

k

mit verschiedenem Vorzeichen

• parabolischer Punkt: λ

k

gleiches Vorzeichen, mindestens ein λ

k

null Extrema multivariater Funktionen

innerer Punkt:

x

∗

lokales Extremum = ⇒

grad f (x

∗

) = 0

Minimum (Maximum), falls Eigenwerte der Hesse-Matrix H positiv (negativ) bei zwei Variablen: det H > 0 und Spur H > 0 (< 0)

Randpunkt:

Richtungsableitung ∂

v

f (x

∗

) > 0 (< 0) f¨ur jede ins Innere zeigende Richtung v Lagrange-Multiplikatoren

x

∗

lokale Extremstelle von f unter den Nebenbedingungen g

k

(x) = 0, Rang g

⁰

(x

∗

) maximal = ⇒

∃ Lagrange-Multiplikatoren λ

k

mit

f

⁰

(x

∗

) = λ

^t

g

⁰

(x

∗

) Kuhn-Tucker-Bedingung

x

∗

lokales Minimum von f unter den Nebenbedingungen g

i

(x) ≥ 0, Gradienten der aktiven Gleichungen linear unabh¨angig = ⇒

∃ Lagrange-Multiplikatoren λ

k

≥ 0 mit grad f(x

∗

) = X

k

λ

k

grad g

k

(x

∗

) ∧ X

k

λ

k

g

k

(x

∗

) = 0

(λ

k

≤ 0 bei lokalem Maximum)

5.3 Mehrdimensionale Integration

5.3.1 Mehrdimensionale Integrale

Simplex

konvexe H¨ulle von n + 1 affin unabh¨angigen Punkten p

0

, . . . , p

n

in R

ⁿ

S = {x = X

k

α

k

p

k

: X

k

α

k

= 1, α

k

≥ 0}

Volumen

vol S = 1

n! | det(p

1

− p

0

, . . . , p

n

− p

0

)|

Parallelepiped

aufgespannt von linear unabh¨angigen Vektoren a

1

, . . . , a

n

in R

ⁿ

P = {x = X

i

α

i

a

i

: 0 ≤ α

i

≤ 1}

Volumen

vol P = | det(a

1

, . . . , a

n

)|

Integrationsbereich Elementarbereich:

begrenzt durch Graphen stetiger Funktionen nach geeigneter orthogonaler Koordinatentransformation a

1

≤ x

1

≤ b

1

a

2

(x

1

) ≤ x

2

≤ b

2

(x

1

) ...

a

n

(x

1

, . . . , x

n−1

) ≤ x

n

≤ b

n

(x

1

, . . . , x

n−1

) regul¨arer Bereich:

bis auf Randkurven bzw. -fl¨achen disjunkte endliche Vereinigung von Elementarbereichen Mehrdimensionales Integral

Grenzwert von Riemann-Summen ¨uber regul¨arem Bereich Z

V

f dV = lim

|∆|→0

X

i

f (P

i

)∆V

i

, ∆V

i

= vol(V

i

), P

i

∈ V

i

, mit |∆| dem maximalen Durchmesser der V

i

(i.a. Simplizes oder Parallelepipede) alternative Schreibweisen: R

V

f(x

1

, . . . , x

n

) dx

1

. . . dx

n

, R

V

f Satz von Fubini

Integral ¨uber Elementarbereich V : a

j

(x

1

, . . . , x

j−1

) ≤ x

j

≤ b

j

(x

1

, . . . , x

j−1

) Z

V

f dV =

b1

Z

a1

b2(x1)

Z

a2(x1)

· · ·

bn(x1,...,xn−1)

Z

an(x1,...,xn−1)

f (x

1

, . . . , x

n

) dx

n

· · · dx

2

dx

1

unabh¨angig von der Reihenfolge der Variablen, z.B.

b d d b

5.3.2 Variablentransformation

Transformation mehrdimensionaler Integrale

Z

U

f ◦ g | det g

⁰

| dU = Z

V

f dV, V = g(U ) , f¨ur eine bijektiveTransformation g mit det g

⁰

(x) 6= 0, x ∈ U

Spalten von g

⁰

orthogonal = ⇒

| det g

⁰

| =

n

Y

i=1

∂g

∂x

i

y = g(x) = Ax + b (affine Transformation) = ⇒

dy = | det A| dx Volumenelement in Zylinderkoordinaten

x = % cos ϕ, y = % sin ϕ, z = z = ⇒ dx dy dz = %d% dϕ dz Integral ¨uber einen Zylinder Z : 0 ≤ % ≤ %

0

, 0 ≤ z ≤ z

0

Z

Z

f = Z

z0

0

Z

2π 0

Z

%0

0

f (%, ϕ, z) % d% dϕ dz

Volumenelement in Kugelkoordinaten

x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ = ⇒ dx dy dz = r

²

sin ϑ dr dϑ dϕ Integral ¨uber eine Kugel K : 0 ≤ r ≤ R

Z

K

f =

2π

Z

0 π

Z

0 R

Z

0

f (r, ϑ, ϕ) r

²

sin ϑ dr dϑ dϕ

5.3.3 Kurven- und Fl¨ achenintegrale

Kurvenintegral

Z

C

f =

b

Z

a

f (p(t))|p

⁰

(t)| dt f¨ur eine regul¨are Parametrisierung t → p(t) ∈ R

ⁿ

, p

⁰

(t) 6= 0 unabh¨angig von der Parametrisierung

f = 1 L¨ange von C

Eigenschaften des Kurvenintegrals

• linear: Z

C

αf + βg = α Z

C

f + β Z

C

g

• additiv:

Z

C

f dC = Z

C1

f + Z

C2

f , C = C

1

∪

·

C

2

Regul¨ are Parametrisierung eines Fl¨ achenst¨ ucks

R 3









 x

1

...

x

n−1











7→ s(x) =









 y

1

...

y

n











mit einer im Inneren von R bijektiven Abbildung s und linear unabh¨angigen Vektoren ∂

1

s(x), . . . , ∂

n−1

s(x), x ∈

◦

R

Tangentialebene: aufgespannt durch ∂

k

s(x) Fl¨achennormale: Einheitsvektor ξ(x) ⊥ ∂

k

(x) Fl¨ achenintegral

Z

S

f dS = Z

R

(f ◦ s) | det(∂

1

s, . . . , ∂

n−1

s, ξ)| dR

mit s : R 3 (x

1

, . . . , x

n−1

) 7→ (y

1

, . . . , y

n

) ∈ S einer regul¨aren Parametrisierung und ξ(x) der (normierten) Fl¨achennormale

Skalierungsfaktor der Fl¨achenelemente:

dS = | det(∂

1

s, . . . , ∂

n−1

s, ξ)| dR f = 1 Fl¨acheninhalt von S

Fl¨ achenelement in Zylinderkoordinaten

Z

f dS =

zmax

Z Z

^2π

f (%, ϕ, z ) % dϕ dz

Fl¨ achenelement in Kugelkoordinaten

Z

S

f dS =

2π

Z

0 π

Z

0

f (R, ϑ, ϕ) R

²

sin ϑ dϑ dϕ

f¨ur eine Sph¨are S : (ϑ, ϕ) 7→ (R sin ϑ cos ϕ, R sin ϑ sin ϕ, R cos ϑ)

5.3.4 Anwendungen

Schwerpunkt

Masse eines K¨orpers K mit Dichte %

m = Z

K

%(x) dK ν-te Koordinate des Massenschwerpunktes

s

ν

= m

⁻¹

Z

K

x

ν

%(x) dK

%(x) = 1 geometrischer Schwerpunkt Tr¨ agheitsmoment

I = Z

K

dist(x, g)

²

%(x) dK mit dist der Abstandsfunktion, g der Achse und % der Dichte Volumen eines Rotationsk¨ orpers

V = π

Z

b a

f (x)

²

dx

= πc

²

(b − a) + 2π Z

d

c

rh(r) dr

a x b

h(r) c = f (a)

d = f (b) r = f(x)

y = f(x)

5.3.5 Integrals¨ atze

Hauptsatz f¨ ur Mehrfachintegrale

Z

V

∂

ν

f = Z

∂V

f ξ

ν

⇔ Z

V

grad f = Z

∂V

f ξ mit ξ der nach außen gerichteten Einheitsnormalen von ∂V

Mypartielle Integration bei Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher

Z

V

f (∂

ν

g) = Z

∂V

f g ξ

ν

− Z

V

(∂

ν

f ) g mit ξ der nach außen gerichteten Einheitsnormalen von ∂V

Z

Rⁿ

g ∂

^α

f = (−1)

^|α|

Z

Rⁿ

f ∂

^α

g

f¨ur glatte Funktionen, die ausserhalb einer beschr¨ankten Menge verschwinden oder gen¨ugend schnell ab- fallen

Greensche Integralformeln

Z

∂V

f ∂

⊥

g = Z

V

(grad f)

^t

grad g + f ∆g Z

∂V

f ∂

⊥

g − g∂

⊥

f = Z

V

f∆g − g∆f

mit ∂

⊥

g der Ableitung in Richtung der nach außen zeigenden Einheitsnormalen ξ von ∂V f = 1

Z

∂V

∂

⊥

g = Z

V

∆g