Руководство учения о проекциях : теория и задачник для реальных училищ
Дерпт : [б.и.]
1891
EOD – Millions of books just a mouse click away!
In more than 10 European countries!
Enjoy your EOD eBook!
Get the look and feel of the original book!
Use your standard software to read the eBook on-screen, zoom in to the image or just simply navigate through the book
Search & Find: Use the full-text search of individual terms
Copy & Paste Text and Images: Copy images and parts of the text to other applications (e.g.
word processor)
Terms and Conditions
With the usage of the EOD service, you accept the Terms and Conditions provided by the library owning the book. EOD provides access to digitized documents strictly for personal, non-commercial purposes. For any other purpose, please contact the library.
Terms and Conditions in English: http://books2ebooks.eu/odm/html/utl/en/agb.html Terms and Conditions in Estonian: http://books2ebooks.eu/odm/html/utl/et/agb.html
More eBooks
Already a dozen libraries in more than 10 European countries offer this service.
More information is available at http://books2ebooks.eu
Thank you for choosing EOD!
European libraries are hosting millions of books from the 15th to the 20th century. All these books have now become available as eBooks – just a mouse click away. Search the online catalogue of a library from the eBooks on Demand (EOD) network and or- der the book as an eBook from all over the world – 24 hours a day, 7 days a week. The book will be digitised and made accessible to you as an eBook.
books2ebooks.eu University of Tartu Library
РУКОВОДСТВО
Ученія о проекціяхъ.
Теорія и задачникъ
ДЛЯ
р е а л ь н ы х ъ у ч и л и щ ъ .
Д Е Р П Т Ъ .
И з д а н і е Г. Л а к м а н а.
1891.
Ѳсновныя правпла и тсорсмы.
§ 1. Когда точка движется отъ м ѣста, она обра- зуетъ линію.
§ 2. Линія назы вается прямой, когда направленіе движенія не нзмѣняется.
§ 3. Безконечно отдаленная точка прямой линіи на- зы вается ея направленіемъ.
§ 4. Всѣ линіи одинакаваго направленія паралельны между собою.
§ 5. Если двѣ линіи различнаго направленія имѣютъ одну обіцую точку, то э та точка назы вается точкою пе- ресѣченія.
§ 6. Различіе направленія двухъ линій назы вается угломъ.
§ 7. У голъ измѣряется кратчайш имъ путемъ вращ е- нія, по которому одна линія можетъ вертѣться около точки пересѣченія, пока она не совпадетъ съ другой.
§ 8. Когда двѣ прямыя линіи не имѣютъ ни об- ш,аго направленія, ви общей точки, то онѣ называю тся накрестъ лежащими или не лежащими въ одной плоскости.
§ 9. Линія, паралельная къ одной изъ накрестъ ле- я т щ и х ъ и пересѣкаю щ ая другую , образуетъ искомый уголъ.
§ 10. Т очка не имѣетъ никакаго измѣрѣнія.
§ 11. Линія имѣетъ только одно и зм ѣрсніе: длину.
§ 12. Прямая линія, движущаяся по другой прямой линіи, не измѣняя своего направленія, образуетъ плоскость.
Положеніе плоскости есть безконечно отдаленная прямая ея, н. п. горизонтъ.
Всѣ плоекости съ одинаковымъ положеніемъ пара- лельны между собою.
ІІоэтому плоскость опредѣляется:
a) Треыа точкаыи, не находящимися на одной и той же прямой линш.
b) двумя пересѣкающимися прямыми.
c) двумя паралельными прямыми.
й) нрямой и точкию, внѣ ея лежащей.
е) полошеніемъ ея и недвижимой точкой.
§ 13. Прямая, имѣю щая двѣ точки общія съ плос- костью, лежитъ въ этой плоскости.
§ 14. Прямая и плосеость паралельны между собою, когда прямая паралельна къ другой прямой, лежащ ей въ плоскости.
§ 15. Линія пересѣченія двухъ плоскостей есть прямая,
§ 16. Двѣ паралельныя плоскости пересѣкаются третьею по паралельнымъ линіямъ.
§ 17. Двѣ пересѣкающ іяся плоскости образую тъ двугранныЙ уголъ.
Линія пересѣченія назы вается граныо, шли вершиною, или ребромъ.
§ 1В. Двугранный уголъ измѣряется линейнымъ угломъ между двумя линіями совпаденія.
Линіями совпаденія назы ваю тся перпендикуляры, во- ставленные въ обѣихъ плоскостяхъ изъ произвольной об- щей точки линіи пересѣченія.
Главными линіями называю тся линіи двухъ плоско- стей, паралельны я къ линіи сѣченія.
§ 19. Когда линія пересѣченія удаляется въ безко- нечность, тогда она назы вается положеніемъ двухъ пло- скостей и самыя плоскости паоалельны между собою.
Уголъ наклоненія равняется тогда нулю. Всѣ прямыя одной плоскости паралельны къ другой плоскости.
§ 20. Три плоскости опредѣляютъ точку въ про- странствѣ и образую тъ тригранный уголъ. О бщ ая точка н азы вается вершиною триграннаго угла. Когда эти три плоскости имѣютъ одну обіцую линію пересѣченія, тогда тригранны й уголъ не можетъ образоваться, и, когда всѣ три линіи пересѣченія паралельны между собою, то вер- ш и ва у гл а удаляется въ безконечность и образуется призма.
§ 21. Тригранный уголъ опредѣляется:
a) тремя плоскими угдани или сторонами его а, Ь, с.
b) трвмя двугранныыи углами или просто углами его а, /?, у.
c ) двумя сторонами и угломъ между ними а, Ь, у.
сі) двумя сторонами и угломъ, прилежащимъ къ одной изъ сторонъ а, Ь, а.
е) двумя углами и стороною между ними а, у.
/ ) двумя углами и стороною, противолежащей одному изъ нихъ а, «, р,
(грани обозначаются черезъ 1, 2 и 3.)
§ 22. Во всяком ъ три гран н ом ъ угд ѣ сум м а у гл о въ
« + Р + 7 менѣе ш ести прям ы хъ (б <1) и болѣе двухъ п рям ы хъ (2 сі).
С ум м а тр ех ъ сторон ъ менѣе 4 д и больш е нуля, К а ж д а я сто р о н а м енѣе суммы д вухъ другихъ сторонъ,
§ 2 3 . В бльш ей сторон ѣ (а) тр и гр ан н а го у г л а про- ти в о л е ж и іъ ббльш ій у го л ь (а).
§ 2 4 . В о всякомъ три гран н ом ъ углѣ , въ которомъ д ва у г л а прнмые, п ротивополож ны я имъ сторон ы так ж е прямы я.
§ 25, Т о ч к а п ересѣченія прямой съ плоскосты о на- зы вается слѣдомъ прямой, К о гд а п рям ая п ерп еяд и кулярн а к ъ п ло с к о сти , то э т о т ъ слѣдъ н а з ы в а е т с я основаніемъ перп ен ди куляра.
§ 2 6 . К о гд а п рям ая а стои тъ перпендикулярно къ двум ъ п ересѣкаю щ им ся прямы мъ & и 1 въ точкѣ и хъ пе- ресѣченія, то каж д ая п рям ая плоскости д 1, и дущ ая черезъ осн ован іе перпендикуляра, о б р азу етъ съ ней так ж е прямые у гл ы , и прям ая а стои тъ перпендикулярно къ плоскости % 1.
В сѣ плоскости, идущ ія ч ерезъ прямую а , сто я тъ перпенди*
кулярно къ плоскости & 1,
§ 2 7 . К огда точ ка движется в округъ постоянной оси, оп исы вая окруж ность, то прям ая стои тъ перпендикулярно къ плоскости кр у га .
К огда д р у гая прям ая п ересѣ четъ окруж ность (ведущ ій к ругъ ) и постоянную прямую , то каж д ая т о ч к а этой другой прямой тож е о п и с ы в ае тъ кругъ и са м а ливія о б р а зу е т ъ п ра- вильны й кон усъ (или цилиндръ, когда то ч к а п ересѣченія безконечно у д ал ен а). О б щ ая то ч к а постоянной оси н а з ы - ваетс я верш иною кон уса.
П лоскость, оп редѣленная двумя точкам и вед ущ аго к р у г а и верш иною ко н у са , п ересѣ четъ кон усъ или цилиндръ по двумъ прямымъ.
Когда сѣкуіцая плоскость опредѣлена вершиною ко- нуса и касательною къ . кругу, то эта плоскость назы- вается касательною къ конусу или цилиндру.
§ 28 . Плоскость, опредѣленная-двумя линіями совпа- денія, стоитъ перпендикулярно къ линіи пересѣченія двухъ плоскостей.
§ 2 9 . ІІлоскость А , стоящ ая перпендикулярно къ двумъ другимъ плоскостямъ В и С, стоитъ перпендику- лярно къ линіи пересѣченія этихъ плоскостей В и С.
§ 3 0 . Когда опустимъ изъ точки Р внутри двугран- наго угла два перпендикуляра на пересѣкаюіціяся пло- скости, то уголъ, образуемый этими перпендикулярами, донолняетъ двугранный уголъ до двухъ прямыхъ.
§ 3 1 . Двѣ прямыя, стоящія перпендикулярно къ пло- скости Е , паралельны между собою .
§ 3 2 . Если изъ точки Р опустимъ перпендикуляръ 2 къ плоскости Е и перпендикуляръ а къ п; ямой &, на- ходящейся въ плоскости Е , то соединеніе двухъ слѣдовъ (а') тоже перпендикулярно къ прямой
a) Церпендикуляръ г, кратчайшее разстояніе точки Р отъ плоскости Е, есть ординатъ точки Р.
b) Основаніе ордината называется нроекдіей точки Р.
c) Линія а' называется проекціей линіи а, и можно со- образить, что она произошла отъ проекціи всѣхъ точекъ линіи а на плоскость Е.
д) Всѣ проектирующ іе ординаты составдяютъ проекти- рующую площадь линіи а.
ё) [Іроектирующая нлощадь составляетъ прямоугольный треугольникъ. (Если только опредѣленная часть (а) проекти- ровалась, то образуется не треуголышкъ, а трапеція, отъ ко- торой можно вычесть пряыоугольникъ, чтобы получить прямо- угольный треугольникъ.)
/ ) Въ зтомъ треугольникѣ изъ двухъ данныхъ частей можно построитъ остальныя.
Уголъ наклоненія обозначается чрезъ а и С08 а — —а'
а
81П « = ---ъ а Іап^ а == —г2
8.
§ 3 3. Движимая точка, постоянно перемѣняя свое направленіе, описываетъ кривую линію.
a) Кривая линія н азы в ается кривой въ п іо с к о с т и , когда движиыая точка н е оставл яетъ плоскости, н. п. окруж ность, ѳлипсисса и пр.
b) Линія назы в ается кривой въ простр анствѣ , когда н е болѣ е т р е х ъ сосѣ дн и хъ точеп ъ совп адаю тъ съ одной пло- скосты о.
§ 34. О тъ движенія кривой линіи получаются кри- выя аоверхности.
§ 35. Если прямая или кривая линіи вертятся около постоянной оси, не измѣняя при этомъ своихъ отношеній къ постоянной оси, то получаю тся плоскости вращ енія:
конусъ, цилиндръ, ш аръ, элипсоидъ, гиперболоидъ и пр.
§ 36. Когда прямая линія скользитъ по двумъ пря- мымъ накрестъ лежащимъ или по какимъ либо другимъ ваконамъ, не теряя паралельнаго положенія съ данной плоскостью, то образуется поверхность двоЙнаго окри- вленія. СѴѴіікЬсІііс^е РІасЬеп).
§ 37. Тѣломъ назы вается пространство, ограничен- ное со всѣхъ сторонъ поверхностью. Тѣло, ограниченное плоскостями, назы вается многогранникомъ.
§ 38. Правильнымъ многогранникомъ назы вается тѣло, всѣ ребра, стороны, плоскіе, двугранные и тѣлесные углы котораго равны между собою.
а) Правильный четы регранникъ : 4 сторош л, 6 р е б е р ъ и 4 тр и гр ан н ы хъ угла.
б) К у б ъ , ш естигранникъ , ѳксаедръ : 6 ст ор он ъ , 1 2 р е б е р ъ , 8 тр и гр ан н ы хъ угловъ.
c) Осьмигранникъ, октаедръ : 8 ст о р о н ъ , 12 р е б е р ъ и 6 четы р егр ан н ы хъ угловъ.
А) П ентагондодвкаедръ, правильный двѣнадцатигранникъ, додекаедръ : 12 ст ор он ъ , .30 р е б е р ъ , 20 три гр ан н ы хъ угловъ.
е) И к озаедр ъ , правильный дпадцатигранникъ: ^О ст ор он ъ , 30 р е б е р ъ 12 нятигранны хъ угловъ
/ ) Г ранатоедръ или роы боедръ собств ен н о н е есть пра- вильное тѣло, потом у что онъ иыѣетъ тр игр анны е и четы ре- гранны е углы. Онъ о б р а зу ет ся и зъ 12-ти роыбъ.
§ 39. Волѣе пяти правильныхъ многогранниковъ составить нельзя.
§ 40. Можно себѣ представить, что тѣло образуется отъ движенія произвольнаго тѣ л а, плоскости или поверх- ности* Т ѣ ла враіценія образую тся такимъ образомъ, и емкость ихъ измѣряется произведеніемъ движимой площади на путь, образуемый дентромъ тяжести этой площади.
8
§ 41. Все пространство раздѣляется тремя шгоскост- ями, взаимно перпендикулярными, на 8 тригранны хъ угловъ, въ которыхъ всѣ стороны и всѣ углы прямые+
Изъ этихъ трехъ плоскостей, которыя мы примемъ за извѣстныя, мы первую назовемъ горизонтальною пло- скостью или планомъ.
Вторую назовемъ вертикальною или Фасадомъ.
Третью назовемъ накрестъ леікащею или боковымъ Фасадомъ, или поперечнымъ разрѣзомъ.
§ 42. Н а этихъ трехъ плоскостяхъ мы представимъ всѣ тѣлесныя изображенія такъ , чтобы они не только были понятными для глаза, но и, чтобы было возмояшо измѣрить линіи и взаимныя отношенія всѣхъ изображеній.
(К арты , проФили, картины , рисунки, модели)*
§ 4В. М етоды изображенія.
1) Ц ентральная проекція пользуется только вертикаль- ной плоскостью, но мы получаемъ картины, въ которыхъ мы взаимныя отношенія частей не можемъ измѣрить пря- мо циркулемъ. Паралельныя линіи не изображаю тся всегда паралельными линіями и проч.
2) ИзометрическіЙ способъ употребляется рѣдко, по- тому что изображенія не изящныя.
Паралельно-перспективный способъ Гольцмюлдера у- довлетворяетъ вполнѣ изображенію хрусталей и правиль- ныхъ тѣлъ.
3 ) ІІр о ек ц ія н а двЬ или н а т р и п л о ск о ст и п р о е к ц іи , п е р е с ѣ к а ю щ ія с я по т р е м ъ ося м ъ в за и м н о п ер п ен ди к ул я р - ны м ъ , ес т ь с о б с т в е н н о у ч е н іе о проек ц іяхъ *
4) Модели только зависятъ отъ масштаба* Они яс- нѣе всякаго рисунка, но обыкновенно слишкомъ дороги.
§ 4 4 . Т р и гл авны я о си о б о з н а ч а ю т с я нам и ч е р е з ъ X и У (го р и зо н т а л ь н ы я ) и 2 (в ер т и к а л ь н а я ).
a ) О рдинаты точки Р въ первоыъ тригранноы ъ углѣ или
квадрантѣ полож ительны е х , у и 2.
b) ординаты произвольной точки Р во втором ъ ква- дрантѣ: + х , — у , -}- 2.
c) ординаты произвольной точки Р въ третьеы ъ квадпан- т ѣ : + х, — у, — 2.
сі) ординаты произвольной точки Р въ четв ер том ъ ква- д р а н т ѣ : 4 - х , + у , — ъ.
е) ординаты въ остальны хъ ч ет ы р е х ъ квадрантахъ иыѣ- ю тъ ординатъ х отрицательньтыъ, а у и 2 остаю тся какъ въ
первыхъ четырехъ квадрантахъ. Гіоэтоыу мы и будеыъ гово- рить только о четырехъ квадрантахъ, а не объ октаятахъ.
§ 45* Три плоскости перваго квадранта наклады- ваются на одну плоскость, когда проекціи совершепы.
§ 46, Проекція произвольной точки Р обозначается па планѣ черезъ Р', на Фасадѣ чрезъ Р " , и на боковомъ Фасадѣ чрезъ Р"7.
Проекція произвольной линіи § обозначается на пла- нѣ чрезъ на Фасадѣ чрезъ на боковомъ Фасадѣ чрезъ
§ 47. Каждая точка Р опредѣляетъ чрезъ 3 свои ор- динаты паралеллепипедъ точки Р . Въ этомъ паралелле- пинедѣ соединеніе точки Р съ вершиною триганнаго угла представляетъ діагональ 1, паралеллепипеда а соединенія вершины главныхъ осей съ проекціями Р ' Р " и Р"' пред- ставляютъ проекціи діагонали: 1 ,1 и 1 .
Тогда Г:і= х 2 + у*;
\'г =
Г2 -|-ъ1\
1
2_ х _|_ у2 _|_
г 2 *§ 48. Уголъ наклоненія между 1 и Г обозначается чрезъ
а
уголъ между 1 и 1" чрезъ (3.
» » 1 и Г" » у.
1# п 1" 1'"
тогда соз
а
= — ; соз В = : соз у — — і1 1 1 1
2 • п V х
зіп
а
= - -\
5Ш р =~л
; 5іп у = — ;1 1 1
Сумма соз2
а
-{- со52 р со52 7 = 2 (постоянная ве- личина)', сумма « 4 - ^ + 7 перемѣнная величина.a)
Максимуыъ « +{$ -\- у
получается, когдаа = р = у
т. е. въ кубѣ, тогда:С0 8 а ѣ= а — 35° 15' 51". Сумма 8 а = 105° 47' 3"
b
)
минимумъ, когда одинъ изъ угловъ приближаетея нулю, тогда точка Р приближется до совпаденія съ одной изъ пло- скостей проекціи и суыма двухъ остальныхъ угловъ тогда равняетс» 90°.§ 49. Сумма двухъ угловъ
а
[3 какой-лпбо прямой въ пространствѣ не можетъ достигать 90 °. Въ этомъ случаѣ линія совпадетъ съ одной изъ плоскостей проекціи или лежитъ паралельно къ ней.§ 50. Обѣ проекціи одной и той - же точки всегда совпадаютъ съ ‘Однимъ и тѣмъ же перпендикуляромъ. про- веденнымъ на главную ось.
§ 51. Когда точка Р имѣетъ равные координаты, т. е. у 2, и мы расположимъ плоскость черезъ эту точку и черезъ главную ось X , то каждая точка этой плоскости, дѣлящей 1-й и III й квадрантъ пополамъ, имѣетъ также равные ординаты *у = 2.
Когда точка Р во второмъ квадрантѣ имѣетъ равные координаты — у = 4 “ 2, то плоскость, расположенная че- резъ Р и главную ось X, дѣлитъ II и ІУ квадрантъ по- поламъ. Каждая точка этой плоскости имѣетъ равные координаты — у = -(- 2, и изображенія произвольной точки этой плоскости совпадаютъ на одной точкѣ} когда т о ч к а Р находится во ІІ-омъ квадрантѣ, то вверху отъ главноЙ оси, когда же Р въ ІУ квадрантѣ — внизу отъ главной оси.
Плоскость называется плоскостью совпадающихъ про- екцій. (Соіпсійепг-ЕЬепе).
§ 52. Соединеніе проекцій двухъ точекъ А и В обозначаетъ проекціи опредѣленной прямой А В Прямая линія опредѣляетъ съ тремя плоскостями проекціи три про- ектирующія площади.
§ 53. Эти проектирующія площади изображаются въ дѣйствительномъ видѣ:
a) когда ыы и х ъ вращ аем ъ около п р оек діи линіи до сов- паденія съ плоскоетью проекціи, н. пр. гор и зон тал ьн о-п р оек - т и р ую ш ій треуголъникъ или т р ап ец ія п ол уч ается , когда ор- динаты 2 отклады ваю тся перпендикулярно къ кондамъ гор и- зонтальноЙ проекціи прямой. Н епаралельнан ст ор она тр ап е- ціи пли ги п ч тен у за треугольника есть искомая н астоящ ая длина дрямой.
b) Вмѣетѣ съ н астоящ ей длиной ирямой н аходи тся и а, угол ъ наклоненія къ горизонтальной плоскости. П одобны мъ ж е обр азом ъ можно найти настоящ ѵю величииу прямой и углы /І и у въ Фасадѣ и боковомъ Фасадѣ.
c) В оп р осъ , остр ы й ди п остроенны й угол ъ или т у п о й , рѣ- ш ается слѣдующ имъ о б р а з о м ъ : одна ст ор она угла есть всегда сама прямая до слѣда еи, другой стор оной угла служитъ всегда та часть проекціи прямой, т о ч е ш которой иыѣютъ воз- р а ст и ю щ іе ординаты х , н е см отря на т о , видна ли проекція или нѣтъ.
§ 54. Точки, въ которыхъ прямая пересѣкаетъ пло- скости проекціи, называются горизонтальными, вертикаль- ными и боковыми слѣдами линіи.
Можно найти слѣды произвольпой прямой или кривой линіи, когда проекція прододжается до встрѣчи съ глав-
ной осью. Эта точка есть проекція слѣда и самый слѣдъ находится въ другоЙ проекдіи линіи и въ перпендикулярѣ, возставленномъ на главную ось въ точкѣ встрѣчи.
§ 55. Изъ слѣдовъ линіи можно опредѣлить напра- вленіе прямой, и ея проекціи и. т. д.
§ 56. Линія въ пространствѣ обьікновенно имѣетъ три слѣда.
Когдя линія паралельна къ одноЙ изъ плоскостей, то васающій слѣдъ лежитъ въ безконечно удаленномъ поло- женіи плоскости проекціи.
Когда линія паралельна двумъ плоскостямъ проекціи, то можно опредѣлить только одинъ слѣдъ.
§ 57. Одна проекція лииіи и приыадлежащій къ ней уголъ наклоненія опредѣляютъ остальиыя проекціи.
§ 58. ІІроекціи одной точки прямой н два угла наклоненія опредѣляютъ остальныя проекціи прямой линіи.
Углы и могутъ быть острые или тупые.
Одиой стороной угла всегда только служитъ т а часть проекціи, которая отъ вершины угла направляется на- право (см. § 53. с ).
Предѣлъ суммы двухъ данныхъ острыхъ угловъ а + Р й (прямому) см § 48.
0 плоекоетяхъ,
§ 59. Слѣдами плоскости называются линіи пересѣ- ченія плоскости съ плоскостями проекціи. По этому плоскость опредѣляется двумя слѣдами.
§ 60. Слѣды произвольной плоскости должны встрѣ- чаться на главиыхъ осяхъ. Эти точки обозначаются че- резъ К х, № и № , смотря потому на которой оси онѣ на- ходятся.
§ 6 1 . Когда плоскость не паралельна къ одной изъ плоскостей проекціи, то она образуетъ треуголышкъ слѣ- довъ. Этотъ треуголышкъ имѣетъ только острые углы.
§ 6 2 . Д инія, леж аш ая въ плоскости Е, должна имѣть слѣды въ сл ѣ дахъ 9Т0Й плоскости.
§ 63. Когда одна проекція линіи д, лежащей въ плоскости Е , лежитъ паралельно къ слѣду плоскости, то
въ плоскости проекціи можно представить проекціи его въ данной плоскости пространства.
Ь) Двѣ проекціи прямоливейнаго изображенія опре- дѣляютъ само изображеніе.
Когда мы продолжимъ одноименныя проекціи пря- мыхъ до взаимнаго пересѣченія, то всѣ эти точки лежатъ на одной прямой линіи, которая называется родственною осью двухъ проекцій. (АШпіШзахе).
Родственная ось есть линія пересѣченія плоскости данной Фигуры съ плоскостыо совпадающихъ проекцій.
(см. § 51.)
Проекдія круга.
§ 75. Ортогональная проекція круговой линіи назы- вается элипсисоЙ *, повтому элипсиса есть замкнутая кри- вая, какъ окружность.
Квадратъ, описанный вокругъ круга, проектируется или прямоугольникомъ или паралеллограммомъ.
Каждая касательная къ кругу проектируется каса- тельной къ элипсисѣ* Каждая хорда круга проектируется хордою элипсисы.
§ 76. Сопряженные діаметры круга проектируются сопряженными діаметрами элипсисы. (Ооп^идігіе Вигсіі- ш еззег)
П р и и ѣ ч а н і е . Сопрянівнными діаиетраии нвзы- ваются тѣ, которые раздѣлнютъ всѣ хорды, наралель- ныя другому діаметру, поподамъ.
§ 77. Изъ сопряженныхь діаметровъ элипсисы только одна пара стоитъ перпендикулярно другъ къ другу, а и*
менно малая и большая ось.
Элипсиса — симметричная кривая линія по обѣимъ осямъ.
§ 78* Всѣ хорды элипсисы, паралельныя къ малой оси находятся къ соотвѣтственнымъ хордамъ круга въ постоянномъ отношеніи, а именно въ отношеніи главныхъ полуосей или — или соз По этому закону можно по- строить элипсису.
§ 79* Такъ какъ плоскость представляется всѣми паралельными линіями ея , то проекція площади Б1
і
тож е со стои тъ и зъ проекцій в сѣ х ъ линій, которы я состав- ляю тъ площ адь, а и м ен н о :
Б1, = Е1 со8 а.
§ 8 0 . П лощ адь элипсисы р ав н яетс я п лощ ади к р у га , умнож енной н а с о з а и л и ™ ; откуда , г д ѣ ~ — а
Эі 4 Е ^
Р , = % аЬ.
§ 8 1 . В ъ прям оугольном ъ треугольни кѣ съ гипоте-
і ь
н узою а и съ к а тетам и Ь и е мы им ѣем ъ: соз а — _ ♦ а * зіп а = — е н а зы в а е т с я линіярной эксцентричносты о элип-
а
си сы , Точки, отстоящ ія о тъ ц е н т р а элипсисы н а раз- стояніи е и н аходящ іяся н а гл авн ой оси, н а зы в а ю т с я фо- кусам и,
Е сл и Р п рои звол ьн ая то ч к а окруж ности, то проекція этой точки Р у есть то ч к а эли п си сы , и соединенія точки Р ' съ Фокусами н а зы в а ю т с я рад іусам и векторам и элипсисы*
К о гд а мы опустимъ и зъ Фокусовъ н а касательную къ кр у гу въ точкѣ Р д ва перп ен ди куляра і и і ', то можно доказать, что они р ав н яю тся р ад іу сам ъ в ек то р а м ъ + В ъ этой прям оугольиой т р а п е ц іи сум м а п ар ал ел ь н ы х ъ сто- рон ъ і + і/ = 2 а = д іам етру к р у га или ббльш ей оси элипсисы , т. е + сум м а р ад іусовъ векторовъ произвольной точки элипсисы р ав н яется больш ей оси ея.
II р и м ѣ ч а н і я : 1) К асательная и нормальная раз- дѣлнготь уголъ, образуемый двумя радіусаыи векторамп, пополамъ.
2) Елипсису можно н ач ер ти ть ниткою, прикрѣпленной концами къ Фокусамъ и имѣющей длину ббльшей оси. Н атя- гивая о с т р ы м ъ к а р а н д а ш е м ъ ннть, к а р а н д а ш ъ о п и ш е т ъ э л и п с и с у ,
3) Э ли п согр аФ ъ т р а п е ц о и д а л ь н ы й 4) Э ли п согр аФ ъ н а т о к а р н о м ъ ст ан к ѣ .
5) Элипсиса также геометрическое мѣсто двпжимой точки, равноостоящ ей отъ данной окрушности и отъ постоянной точки внѣ ея.
§ 8 2 , К о гд а мы оклад ы ваем ъ отъ произвольной точки элипсисы подъ п остоянны м ъ отн ош ен іем ъ 8іп п — г
Г х
и х = —;---, то в сѣ конечны я точки эти хъ величинъ, от-
5іп а ’
к лад ы ваем ы я п ар ал ел ьн о къ больш ей оси, л е ж а т ъ в ъ
прямой линіи, называемой направляющей линіей элипсисы, а отношеніе зіп
а
с единицы называется характерлстикой.(Численная ексцентричность, №ішіегІ5сЬе Ехсепігісііаі).
Паробола,
Центральная проекція круга и можетъ быть параболой.
Парабола есть такая кривая линія, точки которой ровноотстоятъ отъ недвижимой точки, называемой Фоку- сомъ и отъ недвижимой линіи, называемой направляющей параболы. Отношенія этихъ разстояній или характери- стика равняется поэтому единицѣ.
Изъ этого слѣдуетъ:
Парабола есть геометрическое мѣсто точки, равно- отстояшей отъ недвижимой точки и отъ недвижимой линіи.
Парабола симметрична только по одной оси ея и имѣетъ только одну вѣтвь незамкнутую*
Разстояніе направляющей отъ Фокуса называется полупараметромъ р и вполнѣ опредѣляетъ параболу. Ка- еательнаа есть основаніе равнобедреннаго треугольника, сторона котораго радіусъ векторъ.
3) Когда прямой уголъ скользитъ одной стороной черезъ постоянную точку В1 (фокусъ), а вершиною черезъ прямую линію, то другая сторона постоянно касается параболы т. е. заключаетъ параболу.
4) Уравненіе изъвершины параболы
у 2
= рх* По этой Формулѣ можно построить параболу,5) Когда двѣ пересѣкаюіціяся прямыя различной или равной величины раздѣляются на произвольное, но одина- ковое число равныхъ дѣленій и, когда эти точки дѣленія сое- диняются въ обратномъ порядкѣ, то эти соединитедьныя прямыя касаются параболы или заключаютъ параболу.
6) Площадь параболы до координатовъ х и у рав- няется двумъ третямъ произведенія х на у.
7) Параболу также можно начертить съ помощыо наугольника и нити.
Гипербола.
§ 84* Гиперболою называется кривая линія, точки которой имѣютъ то обіцее свойство, что развость радіу- совъ векторовъ всякой ея точки постоянная и равна попе- речной оси между вершинами двухъ безконечныхъ вѣт- вей ея.
Гипербола симметрична по двумъ осямъ. Ось, пер- пендикулярная къ поперечноЙ оси, называется сопряжен- ной- къ ней принадлежитъ и сопряженная гипербола (Ііііа^іпаге НурегЬеІ); четыре Фокуса находятся въ одной и тоЙ же. окружности. Вписанный въ эту окружность прямоугольникъ опредѣляетъ на осяхъ вершины четырехъ вѣтвей, Діагонали прямоугольника называются асимто- тами, потому что они касаются безконечно-отдаленныхъ точекъ четырехъ вѣтвей*
^) Геометрическое мѣсто гиперболы есть двиягимая точка, равно отстоящая отъ данной окру?кности и отъ постоянной точки, или оно есть центры всѣхъ окружностеЙ касаюшихся даннаго круга и проходящихъ черезъ посто?
янную точку.
3) Отношенія разстояній отъ данной точки и отъ данноЙ ^прямой линіи больше единицы. Характеристика
> 1; — > 1. (КишегізсЬе ЕхсепІ;гісіІаі).
4) Геометрическое мѣсто гиперболы есть точка каса- нія одпой стороны пі ямаго угла, верпшна котораго сколь- зитъ по данной окружности, пока другая сторона прохо- дитъ черезъ постоянную точку.
5) Есть два способа черченія гиперболы: посредствомъ нити и при помощи наугольника и линейки,
§ 85. Каждую кривую линію можно представить или движеніемъ точки, т. е. построить достаточное число точекъ, чтобы возможно было начертитъ в а глазъ кривую линію, или можно ограничить ее болішимъ числомъ ка- сательныхъ.
§ 86. Для составленія законовъ вривой линіи въ видѣ Формулы или для построенія ея существуютъ слѣ- дующія соображенія:
а) Касательная къ крпвой линіи. которая ппслѣдняя проиг зошла отъ движенія точки, есть соединеніе дгухъ безконе * близкихъ сосѣднихъ мѣстъ движимой точки.
(Рукоподство уч еп . о проегсціяхъ),
Ь) Точка кривой диніи, которая ограничена движеніемъ касательной, есть точка сѣченія двухъ безконечно бдизкихъ положеній движимой касательиой.
§ 8 7 . Т о ч к а можетъ проходить два или три р а з а черезъ одну и т у же точку плоскости и н а з ы в а е т с я то гд а многосложной точкой (двойная, тр о й н а я точка).
П рям ая линія, о гр ан и ч и ваю щ ан кривую линію пло- скости, мож етъ во второй или третій р а з ъ со в п ад ать съ уж е зани м аем ы м ъ положеніемъ и н а з ы в а е т с я то гд а двой- ной или тройной к асатель н ой, когда он а с о в п а л а * съ другой сосѣдней ка сате ль н о й къ кривой линіи+
К о гда второй проходъ цвижимой точки о б р атн ы м ъ путем ъ в о з в р а щ а е т с я къ той точкѣ, и зъ которой онъ опредѣлилъ касате ль н ую , то э т а т о ч к а н а з ы в а е т с я точкой в о звр а щ ен ія. К а с а т е л ь н а я н а зы в а е т с я тогд а ка сате льн ой во звр а щ ен ія. К о гда второе совпаденіе случается сейч ас ъ послѣ п е р в а г о и ходъ ка сате ль н о й н ап р авл яетс я обратн о къ той сосѣдней касательн ой, изъ которой о н а в ы ш л а — то к а с а т е л ь н а я н а з ы в а е т с я касатель н ой наклоненія, и то ч ка н а зы в а е т с я точкой перемѣны.
§ 8В. Приблизительно можно устроить произвольную кривую линію, составляя ее разны ми частями окруѵкности, опредѣленными тремя сосѣдними точками Р ад іу с ы окри- вленія сто я тъ перпендикулярно къ ка с а т е ль н ы м ъ и н азы - в аю тся нормальными.
Н о р м а л ь н ы е рад іусы о гр а н и ч и в а ю т ъ новую кривую линію съ точками в озвращ енія.
По з ак о н у окривленія можно н а й т и : касательн ую , н ормальную , д е н т р ъ окривленія и пр.
89. К ривой линіей въ п ростран ствѣ н а зы в а е т с я т а , три сосѣднія безконечно близкія точки которой опре- дѣляютъ ка сате ль н ую плоскость (н. пр. ви н то вая линія),
Когда четы ре сосѣднія т а к ія точки Р ' Р //; и Р ‘и ‘ опредѣляютъ двѣ к а сате ль н ы плоскости, то линія пересѣченія этихъ плоскостей непремѣнно пройдетъ чрезъ Р " и Р " ' , и п редставитъ линію к а сате льн у ю къ кривой линіи п р о с т р а н с т в а Плоскость, образуем ую движеніемъ так о во й к а с а т е л ь н о й , можно по обѣимъ сторон ам ъ отъ точьи касанія р а зв е р н у т ь в ъ плоскость безъ р а з р ы в а и складокъ. К ри вую поверхность проходящую отъ движи-
мои прямой, мозкно всегда проектировать значительнымъ числомъ этихъ прямыхъ.
§ 90. Измѣненіе системы проекціи.
Если намъ извѣстны координаты произвольнаго изо- браженія въ пространствѣ, то часто случается, что удобно перестроить координаты на другую систему проекціи, при чемъ одна плоскость проекціи сохраняется, другая. пере- двигается подъ извѣстнымъ угломъ,
Это тогда особенно удобно, когда приходится пока- зать настоящ ую ведичину плоскостей, которыя стоятъ въ проектирующихъ плоскостяхъ, наклонепныхъ къ Ф асаду.
Тѣла еъ прямыми гранями,
§ 9 1 . Т ѣла изображ аю тся ихъ гранями. Мы при- нимаемъ площади тѣлъ непрозрачными и изображаемъ всѣ грани, покрытыя тѣломъ, — или пунктлромъ, или весьмэ,
ТОНІШ М И линіями,
К огда намъ извѣстенъ законъ построенія тѣла, тогда мы веегда или въ планѣ или въ Фасадѣ можемъ изобра- зить видъ одной проекціи и изъ него найти видъ другой проекціи.
Тѣла съ округленными поверхноетями.
§ 92. Ш аръ изображается и въ планѣ и въ Фасадѣ ббльшей окружностью его, потому что эта окружность представляетъ предѣлъ видимаго.
Каждое тѣло изображается движимой проектирующей плоскостью, касающейся тѣла Линіи и точки касанія представляютъ предѣлы видимаго и невидимаго.
§ 9 3 . Конусъ и цилиндръ изображаются прямыми ніями, которыя составляютъ тѣло. Коническая или ци- ндрическая поверхность образуется, когда прямая линія (производягцая) или остается только съ одной точкой недвижимой, или сохраняетъ свое направленіе и скользитъ по произвольной ведущей. Когда ведущая прямая липія, тогда образуется плоскость.
н а з ы в а ю т с я гиперболой, Фокусы и х а р а к т е р и с т и к а кото- рой наход ятся, каиъ в ы ш е ск азан о . Численная эксцен- тр и ч н сс ть больше единицы, т. е. отнош еніе рад іуса ие- к т о р а к ъ разстоянію отъ постоянной прямой больше единицы.
§ 9 9 . К о гда два т ѣ л а пересѣкаю тся, то мы в с т р ѣ - чаемъ слѣцующіе 3 сл у ч ая:
1) Одно тѣло п рон и ка етъ въ другое, не продавливая е г о ; тогда и зо б р а ж а е т с я толі.ко одна л о м ан н ая или кри- в а я линія пересѣченія.
2 ) Одно тѣло в ы р ѣ з ы в а е т ъ кусокъ и зъ д р у г а г о ; и то гд а только можетъ и зо бр а ж аться одна л о м а н н а я или з а м к н у т а я кри вая линія пересѣченія.
8) Одно тѣло п ер е с ѣ к а е т ъ соверш енно другое т а к ъ , .что оно в н и к а етъ съ одиой стороны и выходитъ н а дру- г о й ; тогд а гзо б р а ж а ю т с я двѣ или даже болѣе ломанныя или кривыя линіи пересѣченія.
§ 100. Сѣченіе призмы призмою или цилиндромъ опре- дѣляется вспомогательными плоскостями, которы я пересѣ- к а ю т ъ оба т Ь л а прямыми линіями. Ч е р езъ точку грани или производяіцей одного т ѣ л а п р о в о д и т с я л и н ія ,п а р а л е л ь н а я гра- нямъ или производящимъ линіямь другаго т ѣ л а . Двумя пере- сѣкаю щ имися линіями опредѣляется плоскость. Плоскости, п ар ал ел ьн ы я этой плоскости и пересѣкаю щ ія о б а основа- нія или сл ѣ д а дан ны хъ т ѣ л ъ , п ер ес ѣ к аю тъ и хъ по пря- мымъ линіямъ. Точки пересѣченія э тихъ прямыхъ опре- дѣляю тъ линію, въ которой т ѣ л а п ересѣкаю тся другъ съ другомъ.
І І р и м ѣ ч а н і е . Фигуры пересѣченін представ- ляютъ ломянныя или дважды окрнвлеНныя линіп въ пространствѣ. Касательная къ такой дваяіды окрив- ленноЙ линІи опредѣляется линіею перееѣченія двухъ касателъныхъ плоскостей, опредѣленныхъ производя- щими, пе|)есѣкающи«іися въ точкѣ, на которой должна быть построена касательная.
§ 1 01. Сѣченія призмы или цилиндра и пирамиды или к о н у са можно опредѣлить вспомогательными плоско- стями, проведенными чере.іъ верш и ну пирамиды или ко- н у с а и п аралельн ы м и къ граням ъ призмы и об р азу ю щ и м ъ цилиндра. Т а к ія то плоскости должны пересѣчь два дан- ныя т ѣ л а по прямымъ линіямъ. 'Гочки пересѣченія э т и х ъ линіЙ опредѣляю тъ Фигуру пересѣченія.
§ 1 02. Сѣченіе двухъ пирамидъ или конусовъ опре- дѣляется, вспомогательными плоскостями, располагаемыми черезъ линію, соединяющую обѣ еершины пирамидъ или ковусовъ+
П р и ы ѣ ч а н і е . Когда два правильные цилиндра съ одинаковыми діаметраыи пересѣкнются такъ, что оси ихъ также пересѣкаются, то линіи пересѣченія обра- зуютъ дпѣ правильныя элипсисы, пересѣкающіяся другъ съ другомъ по малымъ осямъ.
§ 103. Если тѣло вращ енія пересѣкается съ дру- гимъ тѣломъ, то линія пересѣчевія опредѣляется плоско- стями, сѣкающими тѣло вращ енія паралельными кругами, а другое тѣло — плоскою Фигурою, которую можно опре- дѣлить извѣстными средствами.
Когда другое тѣло призма или цилиндръ и ось его наклонена къ оси вращ енія, то всѣ сѣченія этого тѣ л а равны между собою, и точки пересѣченія легко опредѣ- ляютъ линію пересѣченія.
Когда другое тѣло коническаго или пирамидальнаго рода, то вспомогательныя плоскости сѣченія пересѣкаю тъ это тѣло въ Ф и гу р а х ъ , подобныхъ между собою.
§ 104. Когда пмѣемъ два тѣ л а вращ енія, оси кото- ры хъ пересѣгсаются другъ съ другомъ, то можно предста- вить линію пересѣченія по слѣдующему соображенію : па- ралельные круги, равноотстоящ іе отъ точки пересѣченія осей, пересѣкаются въ общей хордѣ, концы которой опре- дѣляютъ двѣ точки ливіи пересѣченія.
Этими данными соображеніями можно рѣшить всевоз- можныя задачи пересѣченія одного тѣ л а съ другимъ.
§ 10ч5. а) Лучи свѣта, проходяіціе отъ солнца къ вам ъ, распростравяю тся по прямымъ и паралельньш ъ между собою направленіямъ и прекращ аю тся лишь только по заслоневію свѣтящ агося непрозрачнымъ тѣломъ.
Тѣло бросаетъ тѣнь.
Ь) Мы черчемъ обыкновенно н а чертежахъ лучи свѣта подъ извѣстнымъ угломъ къ главной оси: подъ ф = ] 8 0 0— 4 5 0 и ср = 1 8 0 °- 45° т. е. настоящіе углы вакло- ненія къ плоскостямъ проекціи а = [3 1 8 0 °— 35° 15' 5 1 у/.
г) Мы представляемъ всѣ точки и ливіи плоскости и тѣ л а непрозрачными, т. е. они бросаютъ тѣни н а пло- скости проекціи и другъ на друга.
</) Тѣнь, брошенная отъ точки А на плоскости проек- ціи, есть слѣдь луча свѣта, продолженнаго черезъ точку А до плоскостей проекціи.
е) Тѣнь, брошенная отъ линіи § на плоскости проек- ціи, есть слѣдъ плоскости всѣхъ лучей свѣта, проходя- щихъ черезъ данную линію % подъ извѣстнымъ даннымъ угломъ до плоскостей проекціи.
Л
Тѣнь, брошенная отъ данной линіи § на пред- стоящую плоскость или тѣло, есть сѣченіе этой плоскости лучей съ данной плоскостью или съ даннымъ тѣломъ.</) Гѣнь, брошенная отъ даннаго тѣла на плоскости проекціи, есть Фигура сѣченія призмы, касающейся дан- наго тѣла. Сѣченіе производится или плоскостями проек- ціи или другой плоскостью и другимъ тѣломъ.
§ 1 06. Степень освѣщенія плоскости или тѣла па- ралельными лучами свѣта опредѣляется угломъ, подъ ко- торымъ иззѣстный снобъ лучей пересѣкается освѣщенной плоскостью. Линіи одинаковаго освѣщенія на однажды или дважды окривленной поверхности называются изо- Фотами.
ОБЪЯСНЕНШ.
Въ задачахъ знакъ § относится къ §§ первой части, а Кг. относится къ предъидущимъ задачамъ.
(
3 а д ач и.
Н г. 1. ІІострои ть проекціи точки Р , орд и ваты кото- рой даны*
a) Ординаты всѣ положительные х, у и ъ.
b) Ординатъ у отрицательный, ъ положптельный, c) Ординатъ у положительный, ъ отрицатедьный.
$) Ординаты у и ъ отрицательные е) у — о, 2 положит.
/ ) 2 = 0, у П0Д0ЖИТ.
д) х = о, у = о, ъ — о. {сы. § 44— § 50),
2. П остроить проекціи точки Р , н аходящ ейся в ъ І-омъ к в а д р а н т ѣ , во ІІ-о м ъ к в ад р ан тѣ , въ I I I кв ад р ан тѣ и въ ІѴ -мъ к в ад р ан тѣ (см, К г . 1).
N1'. 3, П остроить проекціи точки Р , находящ ейся в ъ плоскости, дѣлящ ей І-ый к в ад р ан тъ п ополам ъ, дѣлящ ей I I I ыЙ к р а д р а н тъ пополам ъ (см. § 5 1 )
К г . 4. П осторить проекціи точки Р , ко то р ая нахо- дилась бы в ъ плоскости со вп ад аю щ и хъ проекцій (см. § 5 1 ).
N14 5. Соединить точку Р съ верш иною аксон а и опредѣлить н асто я щ у ю длину этой лииіи
а) По чертежу.
б) алгебраическимъ обрнзомъ по даннымъ ординатамъ х, у и 2.
с) Опредѣлить трп угла наклоненія а, р и у къ тремъ плоскостнмъ проекціи (см. Кг. 2, § 44, 45, 46, 48, 62, 53).
N1*. 6. I. Соединить точку А в ъ І-омъ к в ад р ан тѣ съ точкою В, находнщеЙся во ІІ-ом ъ кврдран тѣ и опре- д ѣ л и т ь :
a) Настоящую длину этой опредѣленной линіи.
b) Углы наклоненія.
c) Слѣдъ въ вертикальной плоскости проекціи.
й) Углы а и /?, который изъ нихъ тупой и которы й остры й? (см. N1*. 2, §§ 44, 48, 51, 54, 56).
