Dynamische Systeme

Dynamische Systeme

0 Grundlagen

Zustands-DGL:x˙=f(x, u, t) Ausgangsgleichung:y=h(x, u, t) x∈Rⁿ,u∈R^m,y∈R^q,t∈R Steuerungsaffin:x˙=f(x) +Pm

i=1g_i(x)u_i

Jacobi-Matrix:

"

∂f_i

∂x_j

#

=













∂f1

∂x1 · · · ^∂f1

∂xn ..

.

.. .

∂fn

∂x1 · · · ^∂fn

∂xn













0.1 Linearisierung um eine Referenzl¨ osung

Referenzl¨osung:x^∗(t), y^∗(t), u^∗(t), t >0 Linearisierung:

˙

x^∗+∆ ˙x=f x^∗, u^∗ +

∂fi

∂xj

(x∗,u∗)

∆x+

∂fi

∂uj

(x∗,u∗)

∆u Kleinsignalmodell:

∆ ˙x=

"

∂f_i

∂x_j

# (x∗,u∗)

∆x+

"

∂f_i

∂u_j

# (x∗,u∗)

∆u

∆y=

"

∂h_i

∂x_j

# (x∗,u∗)

∆x+

"

∂h_i

∂u_j

# (x∗,u∗)

∆u

Standardform:∆ ˙x=A(t)∆x+B(t)∆u

∆y=C(t)∆x+D(t)∆u

0.2 Linearisierung um eine Ruhelage

Ruhelage:x˙^∗=f x^∗, u^∗, t

= 0

Standardform:∆ ˙x=A∆x+B∆u

∆y=C∆x+D∆u

0.3 Lokale Existenz und Eindeutigkeit einer L¨ osung von

f(x, x0, t)

•WennfLipschitz-stetig ist

•Lipschitz-stetigkeit schwer zu ¨uberpr¨ufen, deshalb anderes Kriteri- um:

1. fist stetig 2. fist stetig diff’bar

0.4 G¨ ultigkeitsbereich von Eigenschaften

Hyperball:B_ε=

x∈Rⁿ|kx−x^∗k ≤ε Eigenschaft gilt:

•lokal, wenn sie f¨ur allex∈ B_εgilt

•global, wenn sie f¨ur allex∈Rⁿgilt

•uniform, wenn sie f¨ur allet₀≥0gilt

0.5 Definitheit von Funktionen

Positiv definite Funktionen (pdf)

V(x)>0 f¨ur x6= 0 und V(x) = 0 f¨ur x= 0

Positiv semidefinite Funktionen (psdf) V(x)≤0 f¨ur x6= 0 und V(x) = 0 f¨ur x= 0

Negativ (semi)definite Funktionen negativ definit: −V(x)ist pd negativ semidefinit: −V(x)ist psd Lipschitz-Stetigkeit

∃L≥0 :kf(x, t)−f(y, t)k ≤L· kx−yk

Stabilit¨at im Sinne von Lyapunov (iSvL) Ruhelagex^∗= 0ist:

• stabil:kx(t₀)k< δ⇒ kx(t)k< ε

• asymptotisch stabil:kx(t₀k< δ⇒ lim

t→∞kx(t)k= 0 =x^∗

• uniform stabil:kx(t₀)k< δ⇒ kx(t)k< ε,∀t≥t₀

• uniform asymptotisch stabil:x^∗ist uniform stabil und kx(t₀)k< δ⇒ lim

t→∞kx(t)k= 0

• instabil:x^∗ist nicht stabil

Lie-Ableitung vonV(x) V˙(x) = Pⁿ

i=1

∂V

∂xif_i(x) =^∂V_∂xf(x)

Lie-Ableitung L_fh:=∇h·f

Mehrfache Anwendung der Lie-Ableitung L⁰_fh=h

Lⁱ_fh=L_fLⁱ⁻¹_f h

Lie-Klammern

[f, g] =^∂g_∂xf−^∂f_∂xg=L_fg−L_gf

ad-Operator ad⁰_fg=g(x) adⁱ_fg=h

f,adⁱ⁻¹_f gi

Ruhelage bestimmen

˙

x=f(x, t)= 0^!

1 Harmonische Balance

1.1 Periodisches Verhalten

L¨osungstrajektorie:Φ Grenzzyklus:x_G(t)

Menge aller Punkte auf dem Grenzzyklus:

x_G L¨osungstrajektorie ist periodisch

⇔Φ (t+T), t₀, x₀

= Φ (t, t₀, x₀) Kleinster Abstandρ:ρ(x(t),{x_G}) = min

{_xG}kx(t)−x_G(t)k Bahnstabilit¨at: {x_G} ist bahnstabil ⇔: ∃ε > 0, δ(ε) > 0 : ρ(x₀,{x_G})< δ(ε)⇒ρ(x(t),{x_G})< ε

⇒Anfangsabstandρ₀< δ(ε), dann Abstand immer< ε

1.2 Asymptotische Bahnstabilit¨ at

1. {x_G}bahnstabil

2. lim

t→∞ρ(x(t),{x_G}) = 0

⇒Trajektoriex(t)geht auf Grenzzyklusx_G(t)zu,∀x∈Rⁿ

1.3 Asymptotisch semistabil

⇒Trajektoriex(t)geht nur f¨ur bestimmte Menge an Punkten∈Rⁿauf x_G(t)zu.

1.4 Existenz von Grenzzyklen in planaren Systemen

imR²:x˙1=f1(x1, x2)

˙

x₂=f₂(x₁, x₂)

Benedixson-Kriterium Hat divn

f(x₁, x₂)o

keine Vorzeichen¨anderung inM, dann gibt es kei- nen Grenzzyklus inM

mit divn

f(x₁, x₂)o

=h_∂f 1

∂x1+^∂f_∂x² 2 i

ω-Limit-Set

n→∞lim Φ(tn, t₀, x₀) =z

Menge aller Punktezheißtω-Limit-Set

1.5 Methode der Harmonischen Balance

System besteht aus Kennlinief(e,sgn( ˙e))und TeilsystemG(jω).

Voraussetzungen:

•An Bl¨ocke:

–f(.)ist punktsymmetrisch

–G(jω)ist LTI und hat hinreichenden Tiefpass-Charakter (d.h. relativer Nennegrad ¡ 2)

•eingeschwungen

•e(t)bzwy(t)sind n¨aherungsweise harmonisch (d.h.e(t) =Asin(ωt) =Ren

−jAe^jωto )

Gleichung der Harmonischen Balance bzw Schwingbedingung

N(A)·G(jω) =−1

mit BeschreibungsfunktionN(A) =^{a1 +}_A^jb1 inverse BeschreibungsfunktionN_I(A) =− ¹

N(A)

Vorgehen zum Koeffizienten-Bestimmen 1. a₁, b₁:u(t)fourier-transformieren zuu(t)¯

⇒a₁= _T² 0

R T0

u(t) sin(ωt) dt;

b1= _T² 0

R T0

u(t) cos(ωt) dt

2. A:e(t) =Asin(ωt), bzw wird berechnet alsAgmitωg

Bestimmen vonAg, ωg

•algebraisch:

Aus Gleichung der Harmonischen Balance folgt:N(A)G(jω) =

−1

bzwG(jω) =N_I(A)⇒ 1. Re{G(jω)}=Re{N_I(A)}

2. Im{G(jω)}=Im{N_I(A)}

•graphisch:

G(jω)undN_I(A)in komplexer Ebene aufzeichnen bei Schnittpunkten gilt:G(jω) =N_I(A) Schnittpunkte sind m¨ogliche Grenzschwingungen

⇒algebraischA_gundω_gbestimmen

Stabilit¨at von Grenzschwingungen, graphisch bestimmen Nyquistkriterium bzgl kritischen PunktesN_I(A_g)anwenden

2 Stabilit¨ at nichtlinearer Systeme

2.1 Direkte Methode von Lyapunov

Damit kann Stabilit¨at, aber keine Instabilit¨at nachgewiesen werden Zeitinvariante Systeme

Direkte Methode von Lyapunov f¨ur lokale Stabilit¨at x^∗ist lokal (asymptotisch) stabil iSvL wenn:

•x^∗ist Ruhelage

•V(x)ist stetig diff’bar

•V(x)ist lokal pd

wenn V˙(x)≤0⇒ lokal stabil V˙(x)<0⇒ lokal asymptotisch stabil

Direkte Methode von Lyapunov f¨ur globale Stabilit¨at x^∗ist global (asymptotisch) stabil iSvL wenn:

•x^∗ist Ruhelage

•V(x)ist stetig diff’bar

•V(x)ist global pd

•V(x)ist radial unbeschr¨ankt (dhkxk → ∞ ⇒V(x)→ ∞ wenn V˙(x)≤0⇒ global stabil

V˙(x)<0⇒ global asymptotisch stabil

Zeitvariante Systeme

Notwendige Bedingungen damitx^∗lokal uniform (asymptotisch) stabil ist:

•x^∗ist Ruhelage

•V(x)ist stetig diff’bar Lokale Stabilit¨at

x^∗ist lokal uniform stabil iSvL wenn:

•W₁(x), W₂(x)stetig pdf

•W₁(x)≤V(x, t)≤W₂(x)

•V˙(x, t) =^∂V_∂t +^∂V_∂xf(x, t)≤0

x^∗ist lokal uniform asymptotisch stabil wenn zus¨atzlich gilt:

•W₃(x)stetig, lokal pdf

•V˙(x, t) =^∂V_∂t +^∂V_∂xf(x, t)≤ −W₃(x)

Globale Stabilit¨at

Uniforme Stabilit¨at ist global wenn zus¨atzlich gilt:

V(x, t)ist radial unbeschr¨ankt

2.2 H¨ aufig verwendete Lyapunov-Funktionen und deren Eigenschaften

V(x, t=. . .

• kxk²: pdf, abnehmend, radial unbeschr¨ankt

•x^TP x, P∈R^n×n,pdf: pdf, abnehmend, radial unbeschr¨ankt

•(t+ 1)kxk²: pdf, radial unbeschr¨ankt

•e^−tkxk²: pdf, abnehmend

•sin²(kxk²): lokal pdf, abnehmend

2.3 Exponentielle Stabilit¨ at

x^∗= 0ist exponentiell stabile Ruhelage wenn folgende ¨aquivalente Aus- sagen gelten:

•c, m, α >0existieren f¨ur allekx(t₀)k< cso dass:kx(t)k ≤ me^{−α(t−t0 )}

•α₁, α₂, α₃, α₄>0existieren so dass:

α₁kxk²≤V(x, t)≤α₂kxk² V˙(x, t)≤ −α₃kxk² k^∂V_∂x^(x,t)k ≤α₄kxk

2.4 Invarianzprinzip von LaSalle

InvarianzmengeM:x(t₀)∈ M ⇒x(t)∈ M,∀t≥t₀

1

Invarianzprinzip

•Ωist kompakte(dh abgeschlossen und beschr¨ankt) Invarianzmenge

•V(x)stetig diff’bar undV˙(x)≤0aufΩ

•ε⊆ΩmitV(ε) = 0

• M ⊆ε,Mist gr¨oßte Invarianzmenge inε

⇒jede L¨osung die inΩbeginnt, n¨ahert sichMan f¨urt→ ∞ daraus folgt:

BestehtMnur aus0und istV˙(x)≤0, dann

⇒Ruhelage0ist asymptotisch stabil Korollar: Barbashin

•x^∗ist Ruhelage

•V(x)ist stetig diff’bar und pdf aufB_ε

•V˙(x)≤0aufB_ε

• S:=x∈ B_ε|V˙(x) = 0

Wenn nurx(t) = 0inSbleiben kann, dann istx^∗= 0asymptotisch stabil

Korollar: Krasovski (globale Variante von Barbashin)

•x^∗ist Ruhelage

•V(x)ist stetig diff’bar, pdf und radial unbeschr¨ankt aufRⁿ

•V˙(x)≤0aufRⁿ

• S:=x∈Rⁿ|V(x) = 0˙

Wenn nurx(t) = 0inSbleiben kann, dann istx^∗= 0global asym- ptotisch stabil

2.5 Indirekte Methode von Lyapunov

Zeitinvariante Systeme

Linearisierung um Ruhelagex^∗: SystemmatrixA=

_∂f(x)

∂x

x=x∗

•Aist negativ definit⇒x^∗ist lokal asymptotisch stabil

•Aist indefinit oder positiv (semi-)definit⇒x^∗ist lokal instabil

•Aist negativ semidefinit⇒keine Aussage ¨uberx^∗m¨oglich

Zeitvariante Systeme Linearisierung um Ruhelagex^∗

⇒x˙=A(t)x+f₁(x, t), wobei

•A(t) =h_∂f(x,t)

∂x i

x=x∗

•f₁(x, t)Restterm

Bedingung: Vereinfachte Linearisierungx˙=A(t)xg¨ultig falls:

kxk→0lim sup t≥0

kf1 (x,t)k kxk = 0 Stabilit¨at des nichtlinearen Systems

•x^∗ist uniform asymptotisch stabil in Linearisierung

⇒x^∗ist uniform asymptotisch stabil im nichtlinearen System

•x^∗ist instabil in Linearisierung

⇒keine Aussage ¨uberx^∗im NL System m¨oglich

•x^∗ist instabil in Linearisierung undA(t) =A₀=const

⇒x^∗instabil im NL System

Stabilit¨at von LTV Systemen(1)

Ruhelage des LTV Systems ist exponentiell stabil wenn h

A(t) +A(t)^T i negativ definit ist f¨ur allet

Stabilit¨at von LTV Systemen(1)

Ruhelage des LTV Systems ist exponentiell stabil wennA(t)negativ de- finit ist undA(t)beschr¨ankt ist, dh

∞ R 0

A(t)^TA(t) dt <∞

2.6 Instabilit¨ at

Falls Stabilit¨at nicht nachgewiesen werden kann, versucht man Instabilit¨at nachzuweisen

Satz von Chetaev

• x^∗= 0ist Ruhelage

• V(x)ist stetig diff’bar,V(0) = 0, V(x₀)>0f¨urkx₀k>0

• U:={x∈ B_ε|V(x)>0}

WennV˙(x)>0aufU, dann istx^∗= 0instabil Bemerkung:

• V(x)muss keine pdf sein

• Es gen¨ugt MengeUzu finden, so dass:V(x)>0und0∈ U

2.7 Einzugsgebiet

Falls asymptotisch stabile Ruhelage nicht global asymptotisch stabil

⇒Einzugsgebiet bestimmen, in der die Ruhelage lokal asymptotisch stabil ist

Einzugsgebiet, Domain of Attraction, Basin

A(x^∗) :=

x₀| lim

t→∞Φ(t, t₀, x₀) =x^∗ mitΦ(t, t₀, x₀)als L¨osung der DGL Bestimmen des Einzugsgebiets

• x^∗ist Ruhelage, asymptotisch stabil

• V=x^∗∪n

x|V(x)>0,V˙(x)<0 o

• E_c={x|V(x)≤c}

WennE_c⊆ VundE_cist beschr¨ankt, dann istE_cTeilmenge des Ein- zuggebiets

2.8 Lyapunov-basierter Reglerentwurf

1. V(x)so aufstellen, dassuinV(x)und inV˙(x)vorkommt 2. uso einstellen, dassV(x)>0undV(x)˙ <0

3 Passivit¨ at

Achtung:V(x)ist abstrakte Speicherfunktion

Energiespeicherfunktion zB aus physikalischer Energiebetrachtung Verallgemeinerte Energiebilanz und Versorgungsrate eines Systems:

Rt 0

s(u, y) dτ+V(x(0)) = Rt 0

g(τ) dτ+V(x(t)) Mit:

Netto-Energiezufluss:

t R 0

s(u, y) dτ

Versorgungsrate:s(u, y)

Anfangs gespeicherte Energie:V(x(0)) dissipierte Energie:

t R 0

g(τ) dτ

dissipierte Leistung:g(τ) gespeicherte Energie:V(x(t)) Es gilt

t R 0

|s(u(τ), y(τ))|dτ <∞

Dissipativit¨at (dissipativ bzgls(u, y)) V(x)ist psdf

Integrale Dissipativit¨atsungleichung:

Rt 0

s(u, y) dτ + V(x(0)) ≥ V(x(t))

Differentielle Dissipativit¨atsungleichung:s(u, y)≥V˙(x(t)) Passivit¨at

Dissipativ bzgl spezieller Versorgungsrates(u, y) =y^Tu V(x)ist psdf

Integrale Passivit¨atsungleichung:

t R 0

y^Tudτ+V(x(0))≥V(x(t)) Differentielle Passivit¨atsungleichung:s(u, y)≥V˙(x(t))

streng passiv: ⇒bei ’>’ bzwg(t)>0 verlustlos: ⇒bei ’=’ bzwg(t) = 0

3.1 Passivit¨ at und Stabilit¨ atseigenschaften

Passivit¨at und Lyapunov-Stabilit¨at

•System ist passiv

•Vist stetig diff’bar und psd

⇒Ruhelagex= 0ist stabil iSvL

Null-Zustandsbeobachtbarkeit

Nurx^∗= 0kann inS={x∈R|h(x,0) = 0}bleiben

Passivit¨at und asymptotische Stabilit¨at

x^∗= 0ist asymptotisch stabil wenn eine der beiden Punkte zutrifft:

•System ist streng passiv

•¨uberV(x):

–System ist passiv

–V(x)ist stetig diff’bar und pdf –V˙(x) = 0⇔y= 0 –Null-Zustand beobachtbar

WennV(x)zus¨atzlich radial unbeschr¨ankt ist⇒x^∗ = 0ist global asymptotisch stabil

4 Passivit¨ atsbasierte Regelung

x^∗= 0ist global asymptotisch stabil

⇒System kann stabilisiert werden mitu=−Φ(y), wobei:

•Φist lokal Lipschitz-stetig

•Φist beliebig

•Φ(0) = 0

•y^TΦ>0f¨ury6= 0 m¨oglicheΦ: Φ =k_isat(y_i)

Φ = ²_π^kiatan(yi)

Feedback-Passivierung

Ziel: Nicht-Passive Systeme in passive transformieren durch spezielle Wahl der Ausgangsfunktiony=h(x)

˙

x=f(x) +G(x)u

⇒Ausgangy=h(x)^def=h

∂V

∂xGi_T

Ist Ausgang dann Null-Zustandsbeobachtbar⇒es kann global stabilisie- rendes Regelgesetz gefunden werden

5 Feedback-Linearisierung

Nichtlineare System-Transformation:z=ϕ(x)

5.1 Vorgehen

1. Zustandstransformation:z=ϕ(x) 2. NL-RNF aufstellen

3. ¨Uberpr¨ufen obϕ(x)ein Diffeomorphismus ist 4. Feedback-linearisierendes Regelgesetz aufstellen Nichtlineare Regelungsnormalform, NL-RNF

˙ z₁=z₂

˙ z₂=z₃

. . .

˙

zn=a(x) +b(x)u

Diffeomorphismus

z=ϕ(x)ist (lokal) g¨ultige Zustandstransformation wenn∇ϕnicht sin- gul¨ar ist,⇔det(∇ϕ)6= 0

∇ϕ= ∂ϕi

∂xj

, Jacobi-Matrix

Feedback-linearisierendes Regelgesetz u(x) =_b(x)¹ [v−a(x)]

⇒z˙n=v

6 E/A-Linearisierung

Vorgehen

1. Ausgangyfestlegen, dessen dynamische Antwort auf Reglereingang vlinearisiert werden soll

2. Zeitliche Ableitung des Ausgangsyliefert nach einigen Schritten die E/A-Beziehung in RNF

3. Aus RNF das feedback-linearisierende Regelgesetz aufstellen 4. Bei Bedarf Systemtransformation durchf¨uhren, so dassz˙_n=v

˙

x=f(x) +g(x)u

⇒y(x) =˙ ^∂h_∂xf(x) +^∂h_∂xg(x)u=L_fh(x) +L_gh(x)u

zu 2.

yso lange ableiten bis:^(r)y =a(x) +b(x)u

˙

y=L_fh (mitL_gh(x) = 0)

¨

y=L²_fh (mitLgL_fh(x) = 0)

. . .

(r)y =L^r_fh+LgL^r−1_f h(x)u

zu 3.

u(x)=^! _b(x)¹ [v−a(x)]

Neuer virtueller Systemeingang:v=y^r Regelgesetz:u(x) = ^v−Lrfh(x)

Lg Lr−1 f h(x)

Relativer Grad bzw Differenzengrad Vollstandige Linearisierung:r=n interne Dynamik vorhanden:r < n

Nulldynamik:y(t) = 0,∀t, mit interner Dynamik

6.1 Zustands-Linearisierung

˙

x=f(x) +g(x)u

˙

z=∇ϕ(x) (f(x) +g(x)u) Vorgehen

1. Nichtlineare Zustandstransformation bestimmen⇒ϕ(x) 2. Regelgesetz bestimmtn

zu 1.

GLS l¨osen:



















 g^T [ad_fg]^T

.. . [adⁿ⁻²_f g]^T [adⁿ⁻¹_f g]^T





















| {z } ST

∂ϕ₁(x)

∂x T

=















 0 0 .. . 0 g^∗

















MatrixSist Erreichbarkeitsmatrix GLS ist gleichbedeutend mit:

LgLⁱ_fϕ1(x) =

(0, i= 0, . . . , n−2 ˆ

g^∗(x), i=n−1

Evtl. Fehler bitte sofort melden!!!!einself!! Stand: 17. Februar 2016 2

ist gleichbedeutend mit:

h_∂ϕ 1 (x)

∂x i

adⁱ_fg(x) =

(0, i= 0, . . . , n−2 ˆ

g(x), i=n−1 wobei:

ˆ g^∗, g^∗6= 0 g∗= (−1)ⁿ⁻¹ˆg^∗

Dann nach^∂ϕ_∂x¹aufl¨osen und darausϕ₁bestimmen.

F¨ur die restlichenϕigilt:ϕi(x) =Lⁱ_fϕ1

zu 2.

Regelgesetz:u(x) = ¹ Lg Ln−1

f ϕ1 (x)

v−Lⁿ_fϕ1(x) wobeiv: neuer Regeleingang

7 Flachheitsbasierte Regelung

Vorgehen

1. Flachheitsanalyse 2. Flachheitsbasierte Steuerung 3. Flachheitsbasierte Folgeregelung

zu 1. Flachheitsanalyse

System ist flach wenn folgende Bedingungen erf¨ullt sind:

•es gibt (fiktiven) Ausgangy= Φ(x, u,u, . . . ,˙ ^(α)u) mit dimy= dimu

•eine (lokal) eindeutige Zustandsfunktion kann gefunden werden:

x= Ψ₁(y,y, . . . ,˙ ^(γ)y)

•eine (lokal) eindeutige Eingangsfunktion kann gefunden werden:

u= Ψ₂(y,y, . . . ,˙ ^(γ+1)y )

Flachen Ausgang bestimmen

•Ausgang sollte m¨oglichst viel Information ¨uber das dynamische Sy- stemverhalten haben

•Sukzessive zeitliche Ableitung des Kandidaten zur Herleitung von Gleichungen zur Bestimmung vonxundu

•ymuss so oft abgeleitet werden, bis aus dem resultierenden GLS vony, . . . ,^γyalle unbekanntenxundu(lokal) bestimmt werden k¨onnen

•Kandidat ist umso erfolgversprechender, je h¨aufiger abgeleitet wer- den kann ohne dass Eing¨angeuauftauchen

Danachx= Ψ₁(y,y, . . . ,˙ ^(γ)y)undu= Ψ₂(y,y, . . . ,˙ ^(γ+1)y )be- stimmen

zu 2. Flachheitsbasierte Steuerung Solltrajektorie bestimmen:

1. y_dbestimmen: entweder vorgegeben oder

fallsy_dnicht vorgegeben, dann ausx_doder Regelgr¨oßewbestim- men

2. zugeh¨origex_dundu_dbestimmen

zu 3. Flachheitsbasierte Folgeregelung

Zustandsr¨uckf¨uhrung und Nichtlineares Regelgesetz aufstellen 1. fiktive (differentierte) Ausg¨ange

y, . . . ,^(α)y

als Eing¨ange v einf¨uhren

2. Nichtlineares Regelgesetz aufstellen:u= Ψ

y, . . . ,^(α)y , v 3. Zustandstransformation:z=. . .

4. Zustands-DGL:z˙=. . .

8 Backstepping

8.1 Anwendungsgebiet

u→x˙_n→R

· · · →x˙_i→R

→x˙₁→R

→x₁

˙

x₁= f₁(x₁) +g₁(x₁)x₂

˙

x₂= f₂(x₁, x₂) +g₂(x₁, x₂)x₃ ..

.

˙

x_i= f_i(x1, . . . , x_i) +g_i(x1, . . . , x_i)x_i+1 ..

.

˙

xn= fn(x₁, . . . , xn) +gn(x₁, . . . , xn)u

8.2 Verfahren (rekursiv anwenden)

System wird in Teilsysteme unterteil. Ausgang des einen Teilsystems ist Pseude-Stellgr¨oße des nachfolgenen Systems.

1. Transformiertes Teilsystem aufstellen z=. . .

˙ z=. . .

2. Pseudo-Stellgr¨oße festlegen 3. Partielle Lyapunov Funktion aufstellen:

• Meist:

V1= ¹₂z²₁ V_i=Vi−1+¹₂z²_i V_n=¹₂ Pⁿ

i=1 z²_i

• V˙_i= Ψ(z, x_i+1)⇒x_i+1so festlegen, dassV˙_i^∗<0 4. Funktion f¨ur gew¨unschte Stellgr¨oßeα_ibestimmen:x_i+1:=α_i 5. So lange rekursiv anwenden bisα_i=u

9 Sliding Mode Regelung

System:x˙=f(x) +g(x)u+d(t) wobeid(t)unbekannte St¨orfunktion ist Schaltmannigfaltigkeit:S={x∈Rⁿ|s(x) = 0}

unstetige Stellgr¨oße:u(x) = (

u⁺(x) f¨urs(x)>0 u⁻(x) f¨urs(x)<0 unstetiges Systemverhalten:x˙=

(f⁺(x) f¨urs(x)>0 f⁻(x) f¨urs(x)<0

Regelziel: Systemzustand soll nach ersten Kontakt auf Schaltmannigfaltig- keits(x) = 0bleiben

Gezielte Unterdr¨uckung von St¨orung ist m¨oglich wenn:

• d(x, t)liegt in dem vong(x)aufgespannten Raum

• |d_i|< D_i, D_i=const∈R Vorgehen

1. Diskontinuierliche Reglerfunktion finden, so dass System in endli- cher Zeit in den Sliding Mode geht

2. Schaltmannigfaltigkeit so w¨ahlen, dass im Sliding Mode gew¨unschte Systemdynamik auftritt

zu 1.

Um in den Sliding Mode zu kommen muss gelten:

• s_is˙_i<0

• lim si(x)→0+

˙

s_i(x) =k⁻<0und lim

si(x)→0−s˙_i(x) =k⁺>

0

zu 2., Beschreibung des Systemverhaltensx˙ Idealer Sliding Mode nach Filippov

˙ x=f(x)

Ansatz:x˙_fi=αf⁺(x) + (1−α)f⁻(x)mit0≤α≤1 Bedingung:s(x˙ _fi) =^∂s_∂xx˙_fi= 0

Man erh¨alt:α=

∂x∂sf−(x)

∂s

∂x(f−(x)−f+ (x)) und somit:

˙ x_fi=

∂s

∂xf−(x)

∂x∂s(f−(x)−f+ (x))f⁺(x)−

∂s

∂xf+ (x)

∂s∂x(f−(x)−f+ (x))f⁻(x) Wobei:^∂s_∂xf⁻≥0und_∂x^∂sf⁺≤0

Idealer Sliding Mode nach der Equivalent Control Method

˙

x=f(x) +g(x)u Es gilt:s(x) = 0,s(x) = 0˙

Daraus folgt:s(x) =˙ L_fs(x) +L_gs(x) ˜u_eq

Kontinuierliche Ersatzstellgr¨oße:u˜_eq=−L_gs(x)⁻¹L_fs(x) Systemdynamik:x˙=f(x)−g(x)L_gs(x)⁻¹L_fs(x)

9.1 Blockschaltbild

lin ea ris ie rt es Sy st em Fo lg e- re gl er

So llt ra je k- to rie n

w

d

( t ) D yn am ik - pa ra m et er λ Zu st an ds - rü ck fü hr un g

y

d

( t ) ν

i

x R z

ki

=

(ki−1)

y

i

R .. . Fl ac he r A us ga ng

ni ch tli ne ar e R eg el st re ck e ka nn in Zu st an ds - rü ck fü hr un g zu sa m - m en ge fa ss t w er de n

z = y

Evtl. Fehler bitte sofort melden!!!!einself!! Stand: 17. Februar 2016 3