Eigenschaften des Lichtes. c ~ m/s

Eigenschaften des Lichtes

- Das Licht ist eine elektromagnetische Welle

- Das Spektrum des sichtbaren Lichtes reicht von λ = 0,7 μm (ν = 4 10¹⁴ Hz), rot, bis λ = 0,4 μm (8 10¹⁴ Hz), violett.

- Der Farbeindruck im Auge entsteht durch die Frequenz des Lichtes.

- In Materie hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts von der Wellenlänge ab.

- Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts beträgt im Vakuum:

c ~ 3 10⁸ m/s

Geometrische Optik

Abbildung eines Pfeils mit einer Lochblende: Der (umgekehrt abgebil- dete) Pfeil wird um so schärfer, je kleiner das Loch ist.

Sehr kleines Loch => wieder unscharfes Bild. Grund: Beugung

Für viele Zwecke genügt als Beschreibung der

Lichtausbreitung die Angabe dieses Strahlenverlaufs, der in hinreichender Entfernung von Blendenrändern in

homogenen Medien geradlinig ist.

Der Bereich, in dem diese Darstellung zulässig und

zweckmäßig ist, bezeichnet man als geometrische Optik

oder Strahlenoptik

Spiegelung

Die Zuordnung von einfallendem Strahl, reflektiertem Strahl und Lage der Spiegelfläche kennzeichnet man durch die Normale, d.h. die

Senkrechte auf der Spiegelfläche.

Durch einfache Versuche kommt man zum Reflexionsgesetz:

- Einfallender und reflektierter Strahl bilden mit der Senkrechten gleiche Winkel

- Einfallender Strahl, Senkrechte und reflektierter Strahl liegen in einer Ebene.

Einfallswinkel = Ausfallswinkel α = β

Der Hohlspiegel

Jedes hinreichend kleine Flächenelement einer gekrümmten Fläche kann man als eben betrachten. Dann kann man das Gesetz der

ebenen Reflexion anwenden.

Wir betrachten Strahlen, die parallel zur Hauptachse auf einen Hohlspiegel fallen.

Wir erhalten:

Da

Betrachten wir nur Strahlen nahe der Hauptachse, dann können wir setzen:

β klein => cos β ≈ 1

Alle der Hauptachse hinreichend benachbarte Parallelstrahlen schneiden sich in einem Punkt F, den man als den Brennpunkt bezeichnet.

Der Abstand f des Brennpunktes vom Scheitel S des Spiegels heißt Brennweite.

β β 2 cos cos

2

r FA MA

MF = = =

r

= d β sin

FA MA2 cosβ =

β

→

Der Abstand f des Brennpunktes vom Scheitel S des Spiegels heißt Brennweite.

Die Brennweite eines sphärischen Hohlspiegels ist gleich dem halben Kugelradius

Fällt auf einen sphärischen Hohlspiegel mit hinreichend kleinem

Öffnungswinkel ein achsenparalleles Strahlenbündel, so werden alle Strahlen in einem Brennpunkt vereinigt, der den Abstand vom

Scheitelpunkt zum Krümmungsmittelpunkt gerade halbiert.

r f

MF = =

β cos

2 cos β = 1 ^{f f = 1} ₂ ^{r r}

2

= 1

Bei großen Öffnungswinkeln ist β nicht klein, d. h. cos β ≠ 1:

Nur die inneren Strahlen schneiden sich im Brennpunkt, achsenferne Strahlen schneiden sich näher am Scheitelpunkt.

Man nennt diese Abweichung sphärische Aberration oder Öffnungsfehler.

Die Gesamtheit der am Spiegel reflektierten Strahlen wird von einer Brennfläche eingehüllt, deren Schnitt mit einer durch die Achse

gelegten Ebene die so genannte Katakaustik ergibt.

Die Katakaustik ist eine Epizykloide, die entsteht, wenn man einen Kreis vom Radius f/2 auf einem um den Spiegelmittelpunkt 0

beschriebenen Kreis mit dem Radius f abrollt. Die Epizykloide ist dann die Bahn desjenigen Punktes des kleinen Kreises, der den großen Kreis ursprünglich in F berührt.

Abbildungsgleichung

Wir betrachten den Verlauf eines Strahls, der von einem außerhalb des Spiegelmittelpunktes M auf der Achse liegenden Punkt G auf den

sphärischen Spiegel fällt, diesen in A trifft und zu dem Punkt B auf der Achse reflektiert wird.

Nach dem Sinussatz folgt aus den Dreiecken GAM und MAB:

Ann.: kleine Winkel α und β: AG = SG = g und AB = SB = b

oder

Da der Krümmungsradius r gleich der doppelten Brennweite f des Spiegels ist, erhalten wir:

( ^{π − β α} ) ^{= sin sin α β = MG AG = MB AB}

sin sin

b b r

g r

g − = −

r b

g

2 1

1 + =

f b

g

1 1

1 + = f b

g

1 1

1 + =

Die Brechung des Lichts

Fällt Licht auf die Trennungsfläche zweier durchsichtiger Körper, so wird nur ein Teil in das erste Medium zurückgeworfen, während der

übrige Teil in das zweite Medium eindringt. Dabei erleidet bei schrägem Auftreffen auf die Grenzflächen der Strahl im Allgemeinen eine

Richtungsänderung beim Übertritt in das andere Medium.

Diesen Vorgang nennt man Brechung.

Die Ursache für die Brechung einer Welle ist die Änderung der Fortpflanzungsgeschwindigkeit.

Das Verhältnis der Fortpflanzungsgeschwindigkeiten in den beiden Medien wird durch die Brechzahl n dargestellt.

Seien c₁, c₂ die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten in den Medien 1 und 2, dann gilt:

α: Einfallswinkel, β: Brechungswinkel Nach dem Satz von der Umkehrbarkeit des Lichtes gilt auch:

Hier ist β = Einfallwinkel, α = Brechungswinkel. n₂₁, n₁₂ heißen relative Brechzahlen.

β α sin sin

2 21

=

=

c n c

12 1

2

sin

sin n

c c = α =

β

Die absoluten Brechzahlen beziehen sich auf den Eintritt des Lichtes aus dem Vakuum in den betreffenden Stoff.

Hieraus erhalten wir:

Snellius‘sches Brechungsgesetz

Das Produkt aus Brechzahl und Sinus des Brechungswinkels ist bei der Brechung unveränderlich.

1 10

1

n c n

c

= =

2

n c n

c

= =

1 2 2

1

n

n n c

c = =

→

1 2

sin sin

n

= n β α

1 2

sin sin

n

= n

β

α

Totalreflexion

Tritt Licht von einem optisch dichteren in ein optisch dünneres Medium ( n₂ < n₁ ), dann wird es vom Einfallslot fort gebrochen.

Es gibt einen Einfallswinkel

α

Das Brechungsgesetz liefert:

Alles Licht wird an der Grenzfläche reflektiert. Diesen Vorgang nennt man

Totalreflexion

1 2

90 sin

sin

n n

o T

=

α →

1

sin 2

n n

T =

α

1

sin

n n

T

=

α

Das Prisma

Beim Durchgang durch ein dreiseitiges Prisma erfährt der Lichtstrahl eine Ablenkung um den Winkel δ von der „brechenden Kante“ fort.

Dieser Ablenkungswinkel ist am kleinsten, wenn der Einfallswinkel so gewählt wird, dass der Lichtstrahl im Innern des Prismas senkrecht zur Symmetrieebene verläuft.

Δ ist der Außenwinkel des Dreiecks ABC:

γ ist der Außenwinkel des Dreiecks ABD:

Ann.: sehr klein

Für größere γ gilt bei symmetrischem Durchgang:

( ^α

^α

) ( ^α

^α

)

δ = − + −

2'

2

α

α

γ = +

1' 1, ,α α γ

2

1

sin

sin α = n ⋅ α → α

= n ⋅ α

2'

1'

sin

sin α = n ⋅ α → _α

_{= n ⋅ α}

sin 2 sin γ + 2 δ _{= ⋅} γ

n

Da n = n(λ) (Dispersion), kann das Prisma zur spektralen Zerlegung von zusammengesetztem Licht (polychromatisches Licht) benutzt werden: Spektralanalyse.

Abbildung durch dünne Linsen

Linsen sind lichtdurchlässige Körper, die von zwei Kugelflächen begrenzt werden.

Vom Punkt A falle ein Lichtstrahl unter dem Winkel φ₁ gegen die Achse auf die Linse. Nach zweimaliger Brechung schneidet er die Achse unte dem Winkel φ₂ im Punkt B. Seine Ablenkung beträgt

δ = φ₁ + φ₂

An die Linsenoberflächen sind in den Durchtrittspunkten dieses Strahls die Tangentenebenen gezeichnet, die sich unter dem Winkel γ

schneiden. Der Strahlengang ist der gleiche wie durch ein Prisma mit dem kleinen Winkel γ an der brechenden Kante, so dass auch gilt:

δ = (n-1) γ

Wir erhalten:

Für dünne Linsen ist

( ) ^γ

ϕ

ϕ

y y

y

≈

=

a y a

y ≈

=

ϕ

→

b y b

y ≈

=

ϕ

2 1

2 '

1 '' 2

1

r

y r

y r

y r

y + ≈ +

= +

= ε ε

γ

Mit y^’, y^’’ : Abstand der Durchtrittspunkte von der Achse r₁, r₂ : Krümmungsradien der Linsenflächen.

erhalten wir:

Für unendlich große Entfernung des Punktes A von der Linse (a = ∞) erhält man ( ):

( ) _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

= +

2 1

1 r

y r

n y b

y a

y

( ) _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

= +

2 1

1 1 1

1 1

r n r

b

a (∗ )

! 1 0 a =

( ¹ )

1

0

−

=

=

b

n ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

2 1

1 1

r

r

Die von A (a = ∞) auf die Linse auffallenden Strahlen verlaufen parallel zur optischen Achse. Nach Durchtritt durch die Linse werden sie im Brennpunkt F, dem Bild des unendlich fernen Punktes, vereinigt. Damit ergibt sich für die Brennweite f der Linse:

Durch Einsetzen in (*) erhält man:

Abbildungsgleichung der dünnen Linse

Als Brennpunkte F und F’ bezeichnet man die zum unendlich fernen Gegenstandspunkt bzw. Bildpunkt gehörenden konjugierten Punkte, also diejenigen Punkte, in denen parallel zur Achse auf die

Trennungsfläche fallende paraxiale Strahlen im anderen Medium die Achse schneiden bzw. von denen parallel einfallende Strahlen nach der Brechung herzukommen scheinen.

( 1 )

1 = n −

f ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

2 1

1 1

r r

f b

a

1 1

1 + =

Bildkonstruktion

Das Bild kann mit drei Strahlen konstruiert werden:

1. Der Parallelstrahl wird zum Brennpunktstrahl

2. Der durch den Mittelpunkt der Linse gehende Strahl bleibt ungebrochen

3. Der Brennpunktstrahl wird zum Parallelstrahl

Liegt der Gegenstand außerhalb der Brennweite, dann entsteht ein reelles Bild.

Liegt der Gegenstand innerhalb der Brennweite (zwischen Brennpunkt und Linse), dann entsteht ein virtuelles Bild. Dabei entsteht eine negative Bildweite:

< 0, wenn a < f

a f

b

1 1

1 = −

Dicke Linsen, Linsensysteme

Bei dicken Linsen lässt sich die zweifache Brechung nicht mehr vernachlässigen. Näherungsweise kann man dies durch zwei Hauptebenen beschreiben.

Auch bei nicht ganz dünnen Linsen (Linsen mit nicht mehr zu

vernachlässigender Dicke) werden die angegebenen Verfahren zu unsicher, die von der Linse aus zu messenden Entfernungen zu ungenau.

Wählt man den Abstand von Objekt- und Bildebene größer als die vierfache Brennweite der Linse, so gibt es zwischen diesen beiden Ebenen zwei Stellungen der Linse, bei denen eine scharfe Abbildung erfolgt.

Vertauscht man in der Abbildungsgleichung g und b gegeneinander, so erhält man einmal ein vergrößertes, einmal ein verkleinertes Bild in der festgehaltenen Bildebene B.

Die zugehörigen Linsenstellungen sind in Bezug auf G und B symmetrisch.

Wir bezeichnen:

d: Abstand beider Einstellungen e: Entfernung von G und B

Wir erhalten aus der Abbildung (da g = b’ und b = g’):

g + b = e und g - b = d Addition und Subtraktion:

( ^{e d} )

g = +

2

1 ^{b =} ( ^{e − d} )

2

1

Einsetzen in die Abbildungsgleichung =>

Hier ist vorausgesetzt, dass der Abstand der beiden Hauptebenen in der Linse gegen die Brennweite vernachlässigt werden kann.

Beträgt dieser Abstand j, dann erhält man:

=>

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= e

e d f

2

4 1

j b

g

e = + +

( )

j e

d j

f e

−

−

= −

4

1

Noch genauer kann man die wirkliche Brennweite mit der Methode von Abbé messen:

Nach der Abbildungsgleichung ist für zwei verschiedene Stellungen I und II von Objekt, Linse und Bild

und Subtraktion =>

Wir setzen für das Verhältnis von Gegenstandsweite zu Bildweite das Verhältnis von Gegenstandsgröße zu Bildgröße:

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

1

1

1

b f g

g ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

2

2

1

b f g

g

2 2 1

1

2 1

b g b

g

g f g

−

= −

2 1

2 1

2 2 1

1

2

1

1 1

v v

g g

B G B

G

g f g

−

= −

−

= −

mit und

Wir bestimmen also die Brennweite durch Messung von Gegenstandsgröße und Bildgröße.

1 1 G1

v = B

2 2 2

G v = B

( )

1 2

2 1 2 1

v v

v v g f g

−

= −

Optische Instrumente

Unter Sehwinkel (auch scheinbare Größe des Gegenstands genannt) versteht man den Winkel, unter dem ein Gegenstand GG₁ vom

optischen Mittelpunkt des Auges aus gesehen wird.

Lupe, Mikroskop und Fernrohr bewirken in erster Linie eine Vergrößerung des Sehwinkels.

Als Vergrößerungszahl eines Instrumentes gibt man das Verhältnis vom Tangens des Sehwinkels ψ mit Instrument zum Tangens des Sehwinkels φ ohne Instrument an:

Wir erhalten aus der Abbildung:

d.h. der Tangens des Sehwinkels φ ist proportional zur Größe y des Gegenstands bzw. zur Größe η des auf der Netzhaut entstehenden Bildes.

ϕ ψ

tan

= tan v

b g

y η

ϕ = =

tan

Nach Zwischenschaltung eines optischen Instrumentes wird vom

Gegenstand GG₁ in der gleichen Entfernung g vom Augenmittelpunkt ein Bild entworfen, das unter dem Sehwinkel ψ erscheint.

=>

subjektive Vergrößerung

Für kleine Winkel gilt:

b g

y

tan ψ = = η

η η ϕ

ψ

tan

tan = =

y y

ϕ ψ ϕ

ψ _≈

= tan

v tan

Die Lupe

Die Lupe ist eine Sammellinse von kurzer Brennweite.

Der Gegenstand wird innerhalb der Brennweite nahe an den Brennpunkt der Lupe gebracht.

Die Linse entwirft dann ein aufrechtes virtuelles Bild, das von der Augenlinse abgebildet wird.

Berechnung der Vergrößerung:

(„Verlegung“ des Gegenstandes GG₁ = y in den Ort des Bildes y’) Sehwinkel φ ohne Lupe: BOC

Sehwinkel ψ mit Lupe: B₁=B = G₁OG

=>

Aus den ähnlichen Dreiecken BB₁O und GG₁O folgt:

b

= BC ϕ

tan b

BB

tan ψ =

1 1 ' 1

GG BB BC

BB y

v = y = =

g b y

v = y ^' =

Mit =>

=>

Da b negativ ist, ist v > 1.

b, die Bildweite, soll beim Betrachten gleich der deutlichen Sehweite sein (s = 25 cm).

⇒ Normalvergrößerung der Lupe:

Für s >> f =>

f b

g

1 1

1 + =

b f

g

1 1

1 = −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

= b f b

g g

v 1 1 1 → _{= − 1}

f v b

− 1

−

= f v s

f

v = − s

Das Mikroskop Zwei Sammellinsen: Objektiv L₁ und Okular L₂.

Der Abstand beider Linsen ist wesentlich größer als die Summe ihrer Brennweiten.

Der Gegenstand G₁G₂ liegt dicht vor dem vorderen Brennpunkt F₁ des Objektivs L₁. Das umgekehrte, reelle, vergrößerte Bild muss innerhalb der Brennweite des Okulars liegen. Das Okular wirkt als Lupe.

Vergrößerung des Mikroskops:

Aus der Abbildung finden wir:

=>

=>

da Da A das Bild von O₁ =>

=>

ϕ ψ tan

= tan v

Bildweite

dsgröße Gegens

s G

G tan

tan ϕ =

=

ψ tan

2 1

G G v = s

A O CO

2

tan ψ =

A O

s G

G v CO

2 2

1

2

⋅

=

1 1 1

1 2 1 2

1 2

O G

l O

G O O G

G

CO = = l = O

O

2 2

1 1

1

f l

A

O + =

2 2 2

f l

A lf

O = −

Ann.: Das Bild B₁B₂ von G₁G₂ liegt annähernd in der vorderen Brennebene der Linse L₂.

Dann folgt aus der Abbildungsgleichung:

/ · 1 2

1 1

1 1

1

f f

l O

G =

+ −

2

1 1

1

1 1

1

O f l f

G = − −

f

l −

1

2 1

1 1 1

2 1

2 2

2 1

2 1

1

2

1

f

f f

l f

f f

f l

f f l

f l

f l

f f l

O G

f

l = − − = − − = − −

−

− −

= −

−

(

)

1

2 1

1 1

1

f l

f

f f

l O

G −

−

= −

Δ ist der Abstand der hinteren Brennebene von L₁ von der vorderen Brennebene von L₂.

Optische Tubuslänge

Mit den Werten für O₂A und G₁O₁ erhalten wir für die Vergrößerung v:

Die Vergrößerung des Mikroskops ist direkt proportional zur

Bezugssehweite des Beobachters und der optischen Tubuslänge, d.h.

dem Abstand der einander benachbarten Brennpunkte von Objektiv und Okular und umgekehrt proportional dem Produkt der beiden Brennweiten.

( ) ( )

Δ

= −

−

−

= − ^{1 2}

2 1

2 1 1

1

f l f f

f l

f l O f

G

2

1

f

f

l − −

= Δ

(

)

1 2

2 f f

s f

l f f l

lf

v l^s = ⋅Δ

Δ

⋅ −

−

=

Das Fernrohr Aufgaben des Fernrohrs:

1. Sehr entfernte Gegenstände sollen unter einem größeren Sehwinkel erscheinen

2. Dem Auge soll ein helleres Bild zugeführt werden

Das Fernrohr stellt ein teleskopisches System dar. Dies wird dadurch erreicht, dass zwei abbildende optische Systeme, die man als Objektiv und Okular bezeichnet, in einer solchen Entfernung voneinander

angebracht sind, dass der hintere Brennpunkt des Objektivs mit dem vorderen Brennpunkt des Okulars zusammenfällt.

Die Helligkeit steigt mit dem Quadrat des Objektivdurchmessers.

Beispiel: Durch ein Fernrohr mit 50 cm Objektivdurchmesser kommt 10.000 mal so viel Licht wie ohne Fernrohr (Pupillendurchmesser: 0,5

cm).

Beobachtung von Sternen: Sie bleiben Punkte, aber es werden mehr Sterne sichtbar.

Wichtigster Parameter des Fernrohrs ist das Auflösungsvermögen, definiert durch die Trennung (Winkelabstand) von zwei Sternen.

Das älteste Fernrohr ist das Galileische (holländisches) Fernrohr

Strahlengang

Verlauf eines Strahlenbündels a) Einfall parallel zur Achse, b) Einfall geneigt zur Achse

Ein Parallelstrahlbündel falle unter dem Winkel φ ein. Ohne die Okularlinse schneiden sich die Abbildungsstrahlen in B.

Durch die Okularlinse L₂ werden die Strahlen so abgelenkt, dass sie die optische Achse unter dem Winkel ψ schneiden.

Für die Vergrößerung erhalten wir:

(f₂ negativ => v negativ => aufrechte Bilder)

Beim Galileischen oder holländischen Fernrohr ist die

Vergrößerungszahl gleich dem Quotienten aus den beiden Brennweiten von Objektiv und Okular

2 2

2 1 2 1

2 2 2

2

2

1

tan : tan

f O

F O F O

F BF O

F

v = = BF = =

ϕ

ψ

Das Gesichtsfeld des Galileischen Fernrohrs ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Vergrößerung und direkt proportional zum Quadrat der relativen Objektivöffnung.

Das Gesichtsfeld des Keplerschen Fernrohrs ist dem Quadrat der relativen Öffnung der Gesichtsfeldblende direkt proportional, aber unabhängig von der Objektivöffnung und der Okularbrennweite

Dispersion

Die Lichtgeschwindigkeit ist in Materie geringer als im Vakuum.

Das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit des Lichts in einem Stoff ist durch die Brechzahl

n

gekennzeichnet.

Die Brechzahl ist von der Frequenz bzw. der Wellenlänge abhängig.

Das nennt man Dispersion. ( ) Das Maß der Dispersion

Unterschiedliche Prismen unterscheiden sich nicht nur durch die Brechung, sondern auch durch die Länge der Spektren.

Man benötigt diskrete Merkmale des Spektrums, um den Abstand der einzelnen Linien festzulegen. Zwei Farben sind zu ungenau, da die Farben kontinuierlich ineinander übergehen.

o

c = εoμ

Man verwendet die sog. Fraunhofersche Linien im Sonnenspektrum Absorptionslinien der Sonne erscheinen als schwarze Linien im

Spektrum).

Man bezeichnet die Fraunhoferschen Linien mit Buchstaben.

Die Spektren sind für verschiedene Prismen nicht nur verschieden lang, sie haben auch eine verschiedene Farbverteilung.

Für Prismen mit sehr kleinem brechenden Winkel ε ist für Strahlen, die unter kleinem Einfallswinkel α auffallen, die Ablenkung δ unabhängig von α und stets dem brechenden Winkel proportional.

kleine β => ; (β₁, β₂ = Ausfallswinkel, β₁+β₂=ε) Dann gilt:

Für die Fraunhofer-Linie C gilt dann:

Entsprechend für H:

Die Differenz δ_H – δ_C nennt man die Gesamtdispersion Θ des Stoffes:

Θ bestimmt die Länge des Spektrums zwischen den Linien C und H und ist der Differenz der zu den Linien C und H gehörenden Brechzahlen proportional.

n_H – n_C heißt spezifische Dispersion :

1

1 β

α = n α₂ = nβ₂

( ^{β β} ) ^ε ( ) ^ε

δ

( ) ε

δ

= n

− 1

( ) ^ε

δ

( ) ^ε

δ

δ

= Θ

ϑ

Θ = ϑ

⋅ ε

Die für andere Fraunhofersche Linien angegebene Differenz der Brechzahlen nennt man

partielle Dispersion.

Die Dispersion zwischen den Linien C und F, dem lichtstärksten Teil des Spektrums (Wellenlängen 656 nm (rot) und 486,1 nm (blau)), n_F – n_C, nennt man

mittlere Dispersion.

Das Verhältnis der mittleren Dispersion n_F – n_C zu der um 1 verminderten Brechzahl für die D-Linie nennt man

relative Dispersion

Der reziproke Wert ist die Abbesche Zahl:

( liefert „bequemere“ Zahlen)

ϑ

C F

rel D

n n

n

−

= − 1 ϑ

− 1

= −

D

C F

n

n ν n

ν

Zur groben Charakterisierung der optischen Eigenschaften eines Glases genügt die Kenntnis der mittleren Brechzahl n_D sowie der

Abbeschen Zahl ν. Glassorten mit starker Farbzerstreuung haben eine große mittlere Dispersion (n_F – n_C) und demzufolge eine kleine

Abbesche Zahl, während Gläser mit geringer Dispersion eine kleine mittlere Dispersion und eine hohe Abbesche Zahl besitzen.

Linsenfehler, Abbildungsfehler

Sind die Näherungen „achsennahe Strahlen“ und/oder „achsenparallele Strahlen“ nicht mehr gültig, dann treten in der Regel Abbildungsfehler auf.

1. Sphärische Aberration (Öffnungsfehler) 2. Koma

3. Astigmatismus

4. Krümmung der Bildebene (Bildfeldwölbung)

5. Distorsion (Verzeichnung oder Verzerrung der Abb.) 6. Chromatische Aberration

Sphärische Aberration

Randstrahlen haben kürzere Brennweiten als achsennahe Strahlen:

Eine plankonvexe Linse zeigt weniger sphärische Aberration, wenn die Strahlen die Linse von der konvexen Seite her durchlaufen (b) als

von der planen Seite her (a)

Der Abstand der Brennpunkte F_Rand und F_Mitte heißt Längsaberration.

Für alle Strahlen erhält man einen kleinen Kreis, die Diakaustik.

Diakaustik hinter einer bikonvexen Linse

Abhilfe: Verteilung der Brechung auf beide Flächen der Linse, Krümmungsradien der Linse möglichst groß.

Für sehr große Objektweite erreicht die sphärische Aberration ein Minimum, wenn des Verhältnis der Krümmungsradien r₁, r₂ die Bedingung

erfüllt.

n n

n n

r r

+

−

= + ₂ ²

2 1

2

2 4

Die Koma

Abbildung eines stark seitlich von der Achse liegenden Punktes.

An einen näherungsweise scharfen Kern schließt sich ein kometenartiger Schweif an.

Entstehung einer unsymmetrischen kaustischen Kurve beim schiefen Durchgang eines Strahlenbündels durch eine bikonvexe Linse

Verlauf von fünf parallelen Strahlen beim schiefen Durchgang durch eine plankonvexe Linse

Verschiedene Formen der bei schiefem Lichtdurchgang durch eine

Sammellinse entstehenden Koma. (a) punktförmige Lochblende, (b) bis (d) Bilder einer punktförmigen Lochblende in verschiedenen Bildebenen bei

Abblendung der Linsenmitte und Benutzung der Randstrahlen

Gleichmäßig gelochte Blende: Verzerrung durch Koma

Astigmatismus

Abbildung eines seitlich von der Linsenachse gelegenen Punktes: es entsteht kein einheitlicher Brennpunkt, sondern zwei zueinander

senkrechte Linien (meridionales und sagittales Bild)

Astigmatische Abbildung eines seitlich der optischen Achse gelegenen Punktes P durch eine einfache bikonvexe Linse. PM₁M₂ stellt die

meridionale Ebene, PS₁S₂ die sagittale Ebene dar

Querschnitte des Lichtbündels hinter der Linse an den Stellen A, B_M, C, B_S und B

Krümmung der Bildebene (Bildfeldwölbung)

Der astigmatische Fehler, der Abstand des meridionalen und des sagittalen Bildes, ist um so größer, je schiefer das betreffende Lichtbündel die Linse durchsetzt.

Es entstehen Flächen, die man die meridionale und sagittale Bildschale nennt.

Den mittleren Abstand der beiden auf einem Strahl liegenden Bildpunkte von der durch den Punkt B_o gehenden Einstellebene (Gaußsche Bildebene) nennt man die Bildfeldwölbung.

Entstehung der meridionalen (K_M) und sagittalen (K_S) Bildschale bei der Abbildung durch eine bikonvexe Linse

Verzeichnung oder Verzerrung des Bildes: Distorsion

Distorsion tritt auf, wenn man zur Vermeidung der bisher besprochenen Abbildungsfehler eine Blende zur Einengung der wirksamen Öffnung der Linse einfügt.

Die Art der Distorsion, kissenförmig oder tonnenförmig, hängt davon ab, ob man die Blende vor oder nach der Linse anbringt.

(a) kissenförmige und (b) tonnenförmige Verzeichnung eines Kreuzgitters

Erklärung der kissen- bzw. tonnenförmigen Verzeichnung durch eine (a) hinter die Linse bzw. (b) vor die Linse gesetzte Blende

Chromatische Aberration

Da Dispersion auch bei Linsen auftritt, entstehen Farbfehler: eine Linse hat für jede Wellenlänge eine andere Brennweite.

Bei einer dünnen Linse ist die Brennweite für violettes Licht kleiner als für rotes Licht, weil die Brechzahl für violettes Licht größer ist als für rotes.

Für jede Farbe ergibt sich ein besonderer Brennpunkt. Diese liegen um so weiter auseinander, je größer die Dispersion ist.

Beisp: Eine Linse mit f = 100 mm aus einem Glas mit ν = 67 (Abbesche Zahl) (schwache Dispersion) hat zwischen rotem und blauem Licht eine Brennweitendifferenz von 1,6 mm.

Bei der Zerstreuungslinse liegen die virtuellen Brennpunkte in umgekehrter Reihenfolge.

Die verschiedenen Bilder haben eine chromatische

Vergrößerungsdifferenz, die Bilder liegen aber an verschiedenen Stellen: chromatische Längsabweichung oder Farblängsfehler.

Korrektur: Zusammenschaltung einer Sammellinse mit einer Zerstreuungslinse: achromatische Linse (Achromat)

(geht völlig nur für zwei Farben).

Bestimmung der Brennweiten für die beiden Linsen:

Für eine benachbarte Spektralfarbe, für die die Brechzahl n + Δn sei, findet man die Änderung der Brechkraft durch Differenzbildung:

Sei z. B. =>

( ) _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

=

=

2 1

1 1 1

1

r n r

D f

1 1

1 1

1

2

1

−

= Δ

⎟⎟ Δ

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= Δ

=

Δ n

n n f

r r

D f

C

F

n

n n = − Δ

ν 1 1

1 =

−

= −

− Δ

D

C F

n

n n

n n

ν

1 1 1 ⎟⎟ = ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ Δ ⎛

=

Δ D f f

Daraus erhält man die Bedingung, dass die Brennweiten für die beiden Farben gleich sind:

Bedingung für die Achromasie der zusammengesetzten Linse:

Da und das selbe Vorzeichen haben, müssen f₁ und f₂ entgegen gesetzte Vorzeichen haben, ist die Vereinigung einer konvexen mit einer konkaven Linse nötig.

1 ⎟⎟ = 0

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ Δ ⎛

f

1 0 1

2 2 1

1

=

+ f

f ν

ν

Beispiel: Linsen aus zwei Glassorten. Die aus Bor-Kronglas

gefertigte Sammellinse habe eine Brennweite von f₁ = 10 cm, die konkave Flintglaslinse muss dann folgende Brennweite haben:

Die resultierende Brennweite des Achromaten ergibt sich zu:

cm cm

f

f 17

0 , 37

9 , 10 62

2 1 1

2 = − = − = −

ν ν

cm

f _r = 24 , 25

Beugung am Spalt und am Gitter

Wir unterscheiden zwischen Fresnelscher Beugung (Lichtquelle im Endlichen) und Fraunhoferscher Beugung (Lichtquelle im

Unendlichen).

Beugung am Spalt: Auf den Spalt fallen Wellen mit ebenen Wellenfronten (Fraunhofersche Beugung). Das betrachtete

abgebeugte Strahlenbündel schließe mit der Einfallsrichtung den

Winkel α ein. Der Gangunterschied des (oberen) Randstrahls und des von der Spaltmitte kommenden Strahls ist ½. Derselbe

Gangunterschied tritt bei allen Strahlenpaaren auf, die um d/2

voneinander entfernt sind. Beträgt dieser Gangunterschied gerade λ/2, dann löschen sich alle Strahlen aus, wir erhalten also unter dem

Winkel α ein Minimum:

1 oder

2 sin

2 α

λ d

= λ = d ⋅ _sin α

Beugung am Gitter: Ein großer Teil der Strahlen mit dem

Gangunterschied λ/2 wird hier durch die Stege abgedeckt. Es gilt in diesem Fall für ein Maximum:

α λ = ⋅ ^sin

⋅ d

n