Lösung Zylinder Allgemeine Form

Lösung Zylinder

Allgemeine Form

Im Alltag begegnen dir viele verschiedene Verpackungen.

1) Sieh dich zu Hause nach verschiedenen Verpackungen um und skizziere zwei, bei denen du Kreise erkennst.

a)

b)

2 Aufgabe 1:

Berechne die Oberfläche eines Zylinders mit folgenden Eigenschaften:

a) der Radius r = 7 cm; die Höhe h = 10 cm

Berechne den Inhalt der Grundfläche und notiere den Rechenweg.

Lösung: 𝐺 = 𝜋 ∙ 𝑟² = 𝜋 ∙ (7𝑐𝑚)² = 49𝜋 𝑐𝑚² ≈153,94 cm²

Berechne die Mantelfläche und die gesamte Oberfläche des Zylinders. Notiere den Rechenweg.

Lösung: 𝑀 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ = 2𝜋 ∙ 7 𝑐𝑚 ∙ 10 𝑐𝑚 = 140𝜋 𝑐𝑚² ≈ 439,82 𝑐𝑚² 𝑂 = 2𝐺 + 𝑀 = 2 ∙ 49𝜋 + 140𝜋 = 238𝜋 ≈ 747,7 O = 747,7 cm²

b) Durchmesser d = 12 cm; Höhe h = 50 cm

Berechne zuerst den Radius, anschließend die Grundfläche. Notiere den Rechenweg.

Lösung: 𝑟 = ^𝑑

2 = ¹²

2 = 6 𝑐𝑚 ; 𝐺 = 𝜋 ∙ 𝑟² = 𝜋 ∙ (6𝑐𝑚)² = 36𝜋 𝑐𝑚² ≈ 113,1 𝑐𝑚² Berechne die Mantelfläche und die Oberfläche des Zylinders. Notiere den Rechenweg.

Lösung: 𝑀 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ = 2𝜋 ∙ 6 𝑐𝑚 ∙ 10 𝑐𝑚 = 120𝜋 𝑐𝑚² ≈ 376,99 𝑐𝑚² 𝑂 = 2𝐺 + 𝑀 = 2 ∙ 36𝜋 + 120𝜋 = 192𝜋 ≈ 603,19 O = 603,19 cm²

Aufgabe 2:

Du hast vorhin eine Toilettenpapierrolle oder eine leere Küchenrolle aufgeschnitten.

Berechne die Oberfläche der Rolle. Beachte, die Oberfläche der Rolle besteht nur aus der Mantelfläche eines Zylinders.

Miss zuerst den Durchmesser der Rolle und anschließend die Höhe. Mit diesen beiden Größen kannst du die Mantelfläche berechnen. Berechne zuerst den Radius des Kreises und dann die Mantelfläche. Notiere den Rechenweg.

Individuelle Lösung, je nachdem, welches Objekt ausgemessen wird.

Aufgabe 3:

Berechne die Grundfläche, die Mantelfläche und die Oberfläche der folgenden Zylinder. Beachte dabei die Einheiten. Notiere den Rechenweg.

a) b) c) d)

Radius r der Grundfläche 30 cm 1 dm 0,5 m 18 cm

Höhe h 10 cm 60 cm 3 m 7 cm

Grundfläche G Mantelfläche M

Oberfläche O Lösung:

a) 𝐺 = 𝜋 ∙ (30 𝑐𝑚)² = 900𝜋 𝑐𝑚² ≈ 2 827,43 𝑐𝑚²

𝑀 = 2𝜋 ∙ 30 𝑐𝑚 ∙ 10 𝑐𝑚 = 600𝜋 𝑐𝑚² ≈ 1 884,96 𝑐𝑚² 𝑂 = 2 ∙ 900𝜋 + 600𝜋 = 2 400𝜋 ≈ 7 539,82 𝑐𝑚²

b) 1 dm = 10 cm; 𝐺 = 𝜋 ∙ (10 𝑐𝑚)² = 100𝜋 𝑐𝑚² ≈ 314,16 𝑐𝑚² 𝑀 = 2𝜋 ∙ 10 𝑐𝑚 ∙ 60 𝑐𝑚 = 1200𝜋 𝑐𝑚² ≈ 3 769,91 𝑐𝑚²

𝑂 = 2 ∙ 100𝜋 + 1200𝜋 = 1400𝜋 ≈ 4 398,23 ; 𝑂 ≈ 4 398,23 𝑐𝑚² c) 𝐺 = 𝜋 ∙ (0,5 𝑚)² = 0,25𝜋 𝑚² ≈ 0,79 𝑚²

𝑀 = 2𝜋 ∙ 0,5 𝑚 ∙ 3 𝑚 = 3𝜋 𝑐𝑚² ≈ 9,42 𝑚²

𝑂 = 2 ∙ 0,25𝜋 + 3𝜋 = 3,5𝜋 ≈ 11,0 ; 𝑂 ≈ 11,0 𝑚² d) 𝐺 = 𝜋 ∙ (18 𝑐𝑚)² = 324𝜋 𝑐𝑚² ≈ 1 017,88 𝑐𝑚²

𝑀 = 2𝜋 ∙ 18 𝑐𝑚 ∙ 7 𝑐𝑚 = 252𝜋 𝑐𝑚² ≈ 791,68 𝑐𝑚²

𝑂 = 2 ∙ 324𝜋 + 252𝜋 = 900𝜋 ≈ 2 827,43 ; 𝑂 ≈ 2 827,43 𝑐𝑚²

4 Aufgabe 4:

Berechne das Volumen des Zylinders mit ….

a) … r = 20 cm und h = 50 cm. Notiere den Rechenweg.

Lösung: 𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟²∙ ℎ = 𝜋 ∙ (20 𝑐𝑚)²∙ 50 𝑐𝑚 = 20 000𝜋 𝑐𝑚³ ≈ 62831,85 𝑐𝑚³

b) … r = 8 cm und h = 20 cm. Notiere den Rechenweg.

Lösung: 𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟²∙ ℎ = 𝜋 ∙ (8 𝑐𝑚)²∙ 20 𝑐𝑚 = 1280𝜋 𝑐𝑚³ ≈ 4021,24 𝑐𝑚³

Aufgabe 5:

Ein zylinderförmiges Gefäß hat einen Durchmesser von 18 cm und ist 25 cm hoch.

Wieviel Liter Wasser passt in das Gefäß, wenn man es vollständig füllt?

Berechne das Volumen des Gefäßes und gib das Volumen in Liter an.

Lösung: 𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟²∙ ℎ = 𝜋 ∙ (¹⁸

2 𝑐𝑚)²∙ 25 𝑐𝑚 = 2020𝜋 𝑐𝑚³ ≈ 6361,73 𝑐𝑚³ also 6,36 l Aufgabe 6:

Früher gab es in vielen Orten Telefonzellen¹, die aussahen wie Quader. Ein Designer wollte eine ganz besondere Telefonzelle gestalten, indem er eine runde Säule, also einen Zylinder mit einer Tür, aufstellen wollte, in deren Inneren man telefonieren konnte. Diese „Telefonsäule“ sollte einen Durchmesser von 1,50 m und eine Höhe von 2,50 m haben.

a) Berechne den Flächenbedarf, auf dem die „Telefonsäule“ steht, also die Grundfläche. Notiere den Rechenweg.

Lösung: 𝑟 = ^𝑑

2 = ^1,5

2 𝑚 = 0,75 𝑚;

𝐺 = 𝜋 ∙ 𝑟² = 𝜋 ∙ (0,75 𝑚)²= 0,5625𝜋 𝑚² ≈ 1,767 𝑚²

b) Berechne das Volumen der „Telefonsäule“. Notiere den Rechenweg.

Lösung: 𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟²∙ ℎ = 𝜋 ∙ (0,75 𝑚)²∙ 2,5 𝑚 =⁴⁵

32𝜋 𝑚³ ≈ 4,42 𝑚³

c) Berechne die Größe der Mantelfläche der „Telefonsäule“ und notiere den Rechenweg.

Lösung: 𝑀 = 𝜋 ∙ 1,5 𝑚 ∙ 2,5 𝑚 = 13,75𝜋 𝑚² ≈ 11,78 𝑚²

1 Falls du keine Telefonzellen kennst, recherchiere, wie sie ausgesehen haben.

Aufgabe 7:

Berechne das Volumen der folgenden Zylinder. Notiere den Rechenweg.

a) b) c)

Radius r 15 cm 4,8 mm 1,3 m

Höhe h 50 cm 15 mm 10 m

Lösung:

a) 𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟²∙ ℎ = 𝜋 ∙ (15 𝑐𝑚)²∙ 50 𝑐𝑚 = 11 250𝜋 𝑐𝑚³ ≈ 35 342,92 𝑐𝑚³ b) 𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟²∙ ℎ = 𝜋 ∙ (4,8 𝑚𝑚)²∙ 15 𝑚𝑚 = 345,6𝜋 𝑚𝑚³ ≈ 1 085,73 𝑚𝑚³ c) 𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟²∙ ℎ = 𝜋 ∙ (1,3 𝑚)²∙ 10 𝑚 = 16,9𝜋 𝑚³ ≈ 53,09 𝑚³

6

Von einigen Zylindern sind folgende Angaben gegeben. Berechne die fehlenden Größen und notiere den Rechenweg: (Die Lösungen sind in der Tabelle fett gedruckt.)

a) b) c) d)

Radius der Grundfläche 30 cm 9 cm 1,02 cm 9 dm

Durchmesser d der Grundfläche ^{60 cm 18 cm 2,04 cm 18 dm}

Höhe des Zylinders ^{10 cm 5 cm 7,5 cm 11,79 dm}

Volumen 28 274,33 cm³ 1 272,35 cm³ 24,45 cm³ 3000 dm³ Grundfläche 2 827,43 cm² 254,47 cm² 3,26 cm² 254,47 dm² Mantelfläche 1 884,96 cm² 282,74 cm² 48 cm² 666,71 dm² Oberfläche 7 539,82 cm² 791,68 cm² 54,52 cm² 1 175,65 dm²

Lösung:

a) d = 60 cm; 𝐺 = 𝜋 ∙ (30 𝑐𝑚)² = 900𝜋 𝑐𝑚² ≈ 2 827,43 𝑐𝑚² 𝑉 = 𝜋 ∙ (30 𝑐𝑚)²∙ 10 𝑐𝑚 = 9000𝜋 𝑐𝑚³ ≈ 28 274,33 𝑐𝑚³ 𝑀 = 2𝜋 ∙ 30 𝑐𝑚 ∙ 10 𝑐𝑚 = 600𝜋 𝑐𝑚² ≈ 1 884,96 𝑐𝑚²;

𝑂 = 2 ∙ 900𝜋 𝑐𝑚²+ 600𝜋 𝑐𝑚² = 2400𝜋 𝑐𝑚² ≈ 7 539,82 𝑐𝑚² b) r = 9 cm; 𝐺 = 𝜋 ∙ (9 𝑐𝑚)² = 81𝜋 𝑐𝑚² ≈ 254,47 𝑐𝑚²

𝑉 = 𝜋 ∙ (9 𝑐𝑚)²∙ 5 𝑐𝑚 = 405𝜋 𝑐𝑚³ ≈ 1 272,35 𝑐𝑚³ 𝑀 = 2𝜋 ∙ 9 𝑐𝑚 ∙ 5 𝑐𝑚 = 90𝜋 𝑐𝑚² ≈ 282,74 𝑐𝑚²;

𝑂 = 2 ∙ 81𝜋 𝑐𝑚²+ 90𝜋 𝑐𝑚² = 252𝜋 𝑐𝑚² ≈ 791,68 𝑐𝑚² c) h = 7,5 cm; M = 48 cm²

𝑀 = 2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ  𝑟 = ^𝑀

2𝜋∙ℎ = ^{48 𝑐𝑚2}

2𝜋∙7,5 𝑐𝑚≈ 1,019 cm 𝑑 = 2 ∙ 𝑟 = 2 ∙ ^{48 𝑐𝑚2}

2𝜋∙7,5 𝑐𝑚≈ 2,038 𝑐𝑚

ab hier wird mit dem gerundeten Wert für r gerechnet.

𝐺 = 𝜋 ∙ ( 48

2𝜋 ∙ 7,5 𝑐𝑚)

2

= 1,0375𝜋 𝑐𝑚² ≈ 3,26 𝑐𝑚² 𝑉 = 𝜋 ∙ ( 48

2𝜋 ∙ 7,5𝑐𝑚)

2

∙ 7,5 𝑐𝑚 = 7,781𝜋 𝑐𝑚³ ≈ 24,45 𝑐𝑚³ 𝑂 = 2 ∙ 3,26 𝑐𝑚²+ 48 𝑐𝑚² = 54,52 𝑐𝑚²

d) d = 18 dm; 𝐺 = 𝜋 ∙ (9 𝑑𝑚)² = 81𝜋 𝑑𝑚² ≈ 254,47 𝑑𝑚² 𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟²∙ ℎ  ℎ = ^𝑉

𝜋∙𝑟²= ^{3000 𝑑𝑚3}

𝜋∙9²𝑑𝑚² = 11,79 𝑑𝑚 ab hier wird mit dem gerundeten Wert für h gerechnet.

𝑀 = 2𝜋 ∙ 9 𝑑𝑚 ∙ 11,79 𝑑𝑚 = 212,22𝜋 𝑑𝑚² ≈ 666,71 𝑑𝑚²; 𝑂 = 2 ∙ 254,47 𝑑𝑚²+ 666,71 𝑑𝑚² = 1 175,65 𝑑𝑚²