alt-witterstein-aufgaben

(1)

1 Technische Universit¨at M¨unchen 2016

Aufgaben zur Vorlesung

¨ uber

Mathematische

Kontinuumsmechanik

H.W. Alt & G. Witterstein

Version: 20160826 Letzte wesentliche ¨Anderung: 04.12.2015

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Diese Version ist nicht endg¨ultig, sie kann nichtrichtige Aussagen enthalten, die noch korrigiert werden. Diese aktuelle Version ist f¨ur Studenten der Vorlesung gedacht.

(2)

1 Flug eines Asteroiden . . . 3

2 Die Kepler’schen Gesetze . . . 7

3 Apropos Newton . . . 9

4 Spheroid . . . 12

5 Schwerefeld einer Kugelschale . . . 16

6 Rotationssymmetrischer Stern . . . 22

7 Tag und Nacht . . . 25

8 Tiefdruckgebiete . . . 29

9 N-K¨orper Problem . . . 35

10 Sgr A^∗ . . . 42

11 Explosionen . . . 43

12 Relativistisches Schwerefeld . . . 53

Einleitung

Die mathematische Modellierung physikalischer Phänomene ist im Skript zur Vorlesung dargestellt. Sie erfordert für ihr Verständnis die Lösung von Auf- gaben, wie sie in dem Skript am Ende jeden Kapitels aufgeführt sind (Skript:

“Mathematische Kontinuuumsmechanik” TUM):

[Skript: Sec I.7 Mass and momentum]

[Skript: Sec II.5 Objectivity]

[Skript: Sec III.5 Entropy and Energy]

Darüber hinaus gibt es auch Aufgaben, für die eine besondere Erklärung notwendig erscheint. Es sind hier Aufgaben dargestellt, für die das zutrifft.

(3)

1 Flug eines Asteroiden 3

1 Flug eines Asteroiden

Wir behandeln hier ein sich bewegendes Objekt t 7→ ξ(t), bei dem die Masse variiert, d.h. der Quellterm in der Massenerhaltung des Objektes ist nichtnull.

1.1 Rocket.Letµµµ_ξ defined as in[Skript: Equ (I2.6) Massepunkt].Let two dif- ferentiable maps t 7→ m(t) ∈ R and t 7→ v(t) ∈ Rⁿ, and a continuous map t7→r(t)∈Rbe given satisfying the distributional mass conservation law

∂t(mµµµ_ξ) + div (mvµµµ_ξ) =rµµµ_ξ. Show that this implies:

˙

m=r, v= ˙ξ .

L¨osung. The proof works in a similar way as in Lemma [Skript: Stmt I.2.6].

Choose a test functionζ∈D(R×Rⁿ). Then 0 =

ζ ,−∂t(mµµµ_ξ)−div (mvµµµ_ξ) +rµµµ_ξ

D(R×Rn)

= Z

R

(m∂tζ+mv•∇ζ+rζ)(t, ξ(t)) dt ,

and with the velocity of Γ, that is vΓ(t, x) = ˙ξ(t) forx=ξ(t), we get that this is

=− Z

R

˙

m(t)ζ(t, ξ(t)) dt+ Z

R

(m(v−vΓ)•∇ζ)(t, ξ(t)) dt+ Z

R

r(t)ζ(t, ξ(t)) dt . This identity is true for all ζ ∈C₀^∞(Ω), by approximation it also holds for all ζ∈C₀¹(Ω) (see[Skript: Stmt I.2.4(5)]). Now useζ(t, x) =η0(t)χ(t, x) +η1(t, x), where η0 ∈ C₀¹(R), η1 ∈ C₀¹(R×Rⁿ), χ ∈ C¹(R×Rⁿ) with η1 = 0, χ = 1,

∇χ= 0 on Γ, andχ= 0 away from Γ. Then, the above integral becomes

= Z

R

(−m(t) +˙ r(t))η0(t) dt+ Z

R

(m(v−vΓ)(t, ξ(t)))•∇η1(t, ξ(t)) dt . If we choose η1= 0 it follows for allη0 that the first integral is zero, hence

−m(t) +˙ r(t) = 0.

Thus the first assertion is shown. Then the above second integral has to be 0. If we useη1(t, x) = (x−ξ(t))•w(t) withw∈C₀¹(R), thenv(t, ξ(t)) =vΓ(t, ξ(t)) = ξ(t), that is the second assertion.˙

Wir betrachten jetzt ein Objekt, das Masse verliert, d.h. der Quellterm in der Massenerhaltung ist negativ. Als Beispiel dient der Asteroid, der im November 2013 im Ural auftrat. Etwas zuf¨allige Aufnahmen sieht man in Abb. 1 und Abb.2. Dazu die Kommentare:

“Der Asteroid ist mit 18 Kilometern pro Sekunde, also etwa 65000 Kilo- metern pro Stunde, in die Atmosphäre eingetreten. Das ist ein Vielfaches der Schallgeschwindigkeit. Die Luftmoleküle, auf die der Asteroid trifft, können nicht ausweichen und werden stark komprimiert. Als Folge erhitzt

(4)

Abb. 1: “Heller als die Sonne: Eine Armaturenbrettkamera hat den Asteroiden aufgenommen” aus dem Artikel: “So hell wie 30 Sonnen” von Manfred Lindinger 06.11.2013 FAZ-online

sich die aufgestaute Luft, sie wird ionisiert. Das, was zur Seite ausweichen kann, erzeugt die Leuchtspur des Meteors. Das, was nicht ausweichen kann, überträgt enorme Mengen an thermischer und mechanischer Energie auf den Asteroiden. Irgendwann wird die Aufheizung und mecha- nische Spannung so groß, dass das Material seinen Zusammenhalt verliert – der Körper zerplatzt in dem Bruchteil einer Sekunde. Dieses Zerplatzen löst eine Stoßwelle aus.” Aus [Suw 4|2013]

“Monate nach der Explosion im Ural k¨onnen Forscher Datails ¨uber den Asteroiden vorlegen: Das 4,45 Milliarden Jahre alte kosmische Gesteins- brocken habe bei seiner Explosion eine Sprengkraft von 600 Kilotonnen TNT gehabt.”

Das Beispiel eines Asteroiden oder einer Sternschnuppe (en: falling star), der sich in der Luft aufl¨ost, wird im folgenden gegeben. Dabei wird, in Abweichung zum obigen Kommentar, nur die Massenerhaltung betrachtet. Außerdem sei der Massenverlust des Objektes eine L^∞-Funktion in der Zeit.

1.2 Mass conservation of a rocket and surrounding gas.We give a model of the flight of a rocket where the loss of mass of the rocket will be incorporated in the mass of the surrounding gas. Lett7→ξ(t) the position vector of the rocket and let the mass density of the gas given by (t, x)7→̺(t, x). Then we postulate the following laws

∂t(m^Rµµµ_ξ) + div (m^Rv^Rµµµ_ξ) =−rµµµ_ξ,

∂t(̺Lⁿ⁺¹) + div ((̺v−κ∇̺)Lⁿ⁺¹) = +rµµµ_ξ (1.1) in the distributional sense. Here t7→m^R(t) is the mass of the rocket andt 7→

v^R(t) its velocity. The term−r<0 stands for the loss of mass. Show:

(1) The total massm^Rµµµ_ξ+̺Lⁿ⁺¹ is conserved.

(5)

1 Flug eines Asteroiden 5

Abb. 2: Der Tscheljabinsk-Meteor 2013, aus Zeitschrift SuW 4|2013 (2) The mass equation of the rocket is equivalent to ˙m^R=−randv^R= ˙ξ.

(3) Forv= 0 andκ= const>0 give the solution of the mass equation for̺in the case thatr∈C₀^∞(R).

L¨osung(1). The total massM is a distribution and is given by M :=m^Rµµµ_ξ+̺Lⁿ⁺¹,

and the total mass is conserved, since

∂tM+ div m^Rv^Rµµµ_ξ+ (̺v−κ∇̺)Lⁿ⁺¹

= 0.

This can also be written as (ifx7→v(t, x) is assumed to be continuous at ξ(t))

∂tM+ div (M v+J) = 0, J:=m^R(v^R−v)µµµ_ξ−κ∇̺Lⁿ⁺¹, whith a mass diffusion vectorJ.

L¨osung(2). See1.1. We mention that it is clear that, ifrhas compact support,

then Z

R

r(t) dt=m^R(−∞)−m^R(+∞)≤m^R(−∞), sincem^R≥0.

(6)

L¨osung(3). Under the assumptions(1.1)becomes

∂t[̺]−κ∆[̺] = +rµµµ_ξ.

Since the fundamental solution of the heat equation (see [Skript: Stmt I.7.12]) is

F(t, x) :=





 1 (4πt)^n/2exp

−|x|² 4t

f¨urt >0,

0 sonst,

it follows that the fundamental solution of∂t−κ∆ is

Fκ(t, x) :=





 1

(4πκt)^n/2exp

−|x|² 4κt

f¨ur t >0,

0 sonst,

that is,Fκ(t, x) =F(κt, x). Then (∂t−κ∆)Fκ=δδδ(0,0). Thus the solution reads

̺(t, x) =̺0+ Z t

−∞

Fκ(t−t^′, x−ξ(t^′))r(t^′) dt^′

=̺0+ Z t

−∞

r(t^′)

(4πκt^′)^n/2exp

−|x−ξ(t^′)|² 4κt

dt^′

(1.2)

with a constant̺0≥0.

Wir betrachten die L¨osung̺von (1.2)und nehmen nun an, dass als Funktion in der Zeitr→r0δδδt0 konvergiert mitr0>0. Es folgt dann

̺(t, x)→̺0+r0Fκ(t−t0, x−ξ(t0)), m^R(t)→

( m^R(−∞) f¨ur t < t0, m^R(−∞)−r0 f¨ur t > t0,

d.h. wenn der Satellit einen Teil seiner Masse zu einem bestimmtem Zeitpunkt an die leere Umgebung abgibt, so ist die Gasdichte gleich der mitr0multiplizierten Fundamentall¨osung ab diesem Zeitpunkt. Die distributionellen Differentialgle- ichungen, mit beliebigemv, lauten dann

∂t(m^Rµµµ_ξ) + div (m^Rv^Rµµµ_ξ) =−r0δδδ(t0,ξ(t0)),

∂t(̺Lⁿ⁺¹) + div ((̺v−κ∇̺)Lⁿ⁺¹) = +r0δδδ(t0,ξ(t0))

(1.3)

(7)

2 Die Kepler’schen Gesetze 7

2 Die Kepler’schen Gesetze

2.1 Nachlesen in Wikipedia.Vergleiche die Herleitung der Kepler-Bewegung in [Skript: Stmt I.3.3 Kepler’s law]und [Wikipedia: Kepler Gesetze].

Hinweis: Unsere Herleitung in [Skript: Stmt I.3.3] beruht auf der allgemeinen Massen- und Impulserhaltung, welches ¨aquivalent zu der ODE (der New- ton’schen Bewegungsgleichung) ist.

Abb. 3: “Illustration of Kepler’s three laws with two planetary orbits” from Wikipedia.

2.2 Kepler’sche Gesetze.[Skript: Stmt I.3.3 “Kepler’sche Bewegung”] Leite aus den Differentialgleichungen im Skript die drei Kepler’schen Gesetze her:

1. Kepler-Gesetz. Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

2. Kepler-Gesetz. Ein von der Sonne zum Planeten gezogener “Fahrstrahl”

uberstreicht in gleichen Zeiten gleich große Fl¨achen.¨

3. Kepler-Gesetz. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen (Kuben) der großen Bahnhalbachsen.

Bemerkung:Text genommen aus [Wikipedia: Kepler Gesetze].

Die Kepler’schen Gesetze werden hergeleitet auf der Grundlage des New- ton’schen Gravitationsgesetzes. Es wird dabei nur der Planet betrachtet und die Anziehungskraft der Sonne berücksichtigt. Die Anziehungskraft anderer Planeten, oder Monde, werden dabei vernachlässigt, d.h. nicht betrachtet. Die Kepler-Bewegung ist also als Näherung zu verstehen.

1. The Law of Orbits.We know from[Skript: Stmt I.3.3]

r(ϕ) = p

1−ecosϕ. (2.1)

We introduce polar coordinatesx=rcosϕandy=rsinϕ. Then from (2.1) it follows

r= rp

r+ex =⇒ p

x²+y²=p−ex .

(8)

We square the equation and obtain

(1−e²)x²+ 2pex+y²=p². By a simple calculation it follows

x+e p 1−e²

2

+ y²

1−e² = p²

1−e² + p²e² (1−e²)² . We define

a:= p

1−e² , b:= p

√1−e² . (2.2)

Then it becomes

(x+ea)² a² +y²

b² = 1. (2.3)

Thus, the set (x, y) fulfilling (2.3) describes an ellipse with one focal point in (0,0) and another focal point in (−2ea,0). The value a in (2.2) is the major semi-axis andbthe minor semi-axis.

2. The Law of Areas.The area between two time pointst0andt reads F(t0, t) := 1

2 Z t

t0

|ξ(τ)×ξ(τ)˙ |dτ ,

where ξ(τ) =r(ϕ(τ))eîϕ(τ), see I.3.4. By simple computation it is ˙ξ=r^′ϕe˙ îϕ+ rϕ˙ieîϕ,eîϕ×eîϕ=~0 and|eîϕ×ieîϕ|= 1 and thus it follows

F(t0, t) :=1 2

Z t t0

r(τ)²ϕ(τ)dτ˙ = 1 2

ppGm0(t−t0), (2.4)

sincer²ϕ˙ = const, see I.3.4.

3. The Law of Periods.We know from I.3.4

˙

ϕr²=p pGm0

wherem0the mass of the sun. Since (2.4), for the entire area in the whole period T applies

T 2

ppGm0=πab . From (2.2) we knowb=√p√

aand thus T

2

pGm0=πa^3/2 or in the more convenient way

T²

a³ = 4π² Gm0

.

If we consider the case of two planets surrounding the sun we obtain T1

T2

2

=a1

a2

3

,

whereT1,T2 the periods of the two planets, respectively, anda1,a2their major semi-axes.

(9)

3 Apropos Newton 9

3 Apropos Newton

In this section we show that the differential equation for the gravity field φφφ, which is−∆φφφ=̺, is a consequence of the Newton formula of a mass point with massmatξ(t)∈R³

φφ

φ(t, x) = m 4π|x−ξ(t)|.

Or in other words, the differential equation is the closure of Newton’s formula.

This becomes mathematically clear, because F(t, x) = 1

4π|x|

is the fundamental solution of the negative Laplace operator−∆. We start with a definition of the differential equation, which is in part a repetition of the lecture. After that we approximate a given mass density ̺ by a sequence of finite mass points.

If Ω⊂ R×R³ is a planet with mass density ̺(t, x), that is it is 0 outside Ω, then the planet induces a gravity fieldφφφ(t, x) for (t, x)∈R×R³, which satisfies the gravitational law

−∆[φφφ] = [̺] inD^′(R×R³), φ

φ

φ(t, x)→0 for|x| → ∞.

Using the fundamental solution of the Laplace operator, the solution of the gravity law is given by

φφφ(t, x) = 1 4π

Z

R3

̺(t, y)

|x−y|dL³(y).

Now we assume that the gas pressure outside the planet Ωtis 0, where Ωt:={x∈Rⁿ; (t, x)∈Ω}.

Then we want to study how the planet moves in space. Therefore, we have to consider mass and momentum of the planet, which is the incompressible Navier- Stokes equation in the distributional sense, that is, in D^′(R×R³)

∂t[̺X^Ωt] + div[̺X^Ωtv] = 0,

∂t[̺XΩtv] + div[̺XΩtv v^T+pId−S] = [f]. The force is given by

f =̺∇φφφ+f0,

with f0 being the influence from outside, for example from other objects. If f0 = 0, one neglects all influence from outside. We will assume this from now on. In the formula the product ̺∇φφφ is well defined, because ̺ and ∇φφφ are L^∞-functions.

We now take for simplicity the particular case that Ωt =D is independent of time and the planet is assumed to be incompressible, that is

̺(t, x) =̺0= const>0 for x∈D ,

(10)

hence we have for the total mass M =

Z

R3

̺(t, y) dL³(y) = Z

D

̺0dL³(y) =̺0L³(D).

Now everything in the following hast as parameter, therefore we dont write t explicitly. We consider the set of pointsξ∈Sε:=D∩(εZ³) and let

Qξ:={x∈R³; ξi−ε

2 ≤xi< ξi+ε

2}, mε:=̺0·ε³. The following is true.

Abb. 4: Approximation des Gebietes

3.1 Theorem.IfD hasC¹-boundary (or L³(Bε(∂D))→0 asε→0), then as

ε→0 X

ξ∈Sε

mεδδδξ −→[̺0XD] in D^′(R³).

L¨osung. We have forζ∈D(R³), sinceQξ are disjoint sets,

* ζ , X

ξ∈Sε

mεδδδξ

+

= X

ξ∈Sε

ζ(ξ)mε= X

ξ∈Sε

L³(Qξ)̺oζ(ξ)

= X

ξ∈Sε

Z

Qξ

̺0ζ(x) dx+

O

^{(ε) =}

Z

D

̺0ζ(x) dx+

O

^(ε)

sinceD has smooth boundary.

We now consider the potential of the mass points ξ∈Sε

φφφε,ξ(x) := mε

4π|x−ξ|. (3.1)

If we sum up these potentials we have approximately the gravity potential of̺, which gives mathematically the evidence that the existence of the potential is caused by the gravity of the local atoms. On the other hand on a large scale one can observe open star clusters (de:offene Sternhaufen), where the potentials in (3.1)are approximately the gravity field of a single star atξ(t). Here the centers are not distributed uniformly as in the simple mathematical approximation and also the masses are different.

(11)

3 Apropos Newton 11 3.2 Theorem.It follows immediately from the previous theorem, that

X

ξ∈Sε

φ

φφε,ξ→φφφD in D^′(R³), whereφφφD is given by

φφ φD(x) =

Z

R3

̺0X^D(y) 4π|x−y|dy .

L¨osung. We define forζ∈D(R³) (we can really takeζ∈C₀⁰(R³)) η(y) :=

Z

R3

ζ(x) 4π|x−y|dx a functionη∈C⁰(R³). Then

* ζ ,



X

ξ∈S_ε

φ φφε,ξ



 +

= X

ξ∈S_ε

Z

R³

ζ(x)φφφε,ξ(x) dx

= X

ξ∈S_ε

Z

R³

ζ(x) mε

4π|x−ξ|dx= X

ξ∈S_ε

mεη(ξ)

= X

ξ∈Sε

mεhη , δδδξi=

* η , X

ξ∈Sε

mεδδδξ

+ .

From the previous theorem (this is also true for C₀⁰(R³) functions and we can apply this to η, because the support of the distributions in space is bounded and therefore we can change η arbitrarily outside this support) it follows that this converges as ε→0 to

−→ hη ,[̺0X^D]i= Z

R3

η(y)X^D(y)̺0dy= Z

D

η(y)̺0dy

= Z

D

Z

R3

ζ(x)̺0

4π|x−y|dxdy= Z

R3

ζ(x) Z

D

̺0

4π|x−y|dy dx

= Z

R3

ζ(x)φφφD(x) dx=hζ , φφφDi.

Since the solution of the gravity equation is unique, and due to the fundamental solution of−∆, the potentialφφφ=φφφDis the solution of div[−∇φφφ] = [̺0XD] with φ

φ

φ(x)→0 as|x| → ∞.

(12)

4 Spheroid

We consider a planet, which we assume is incompressible, that is, it occupies at timet a region

Ωt={x∈R³; (t, x)∈Ω}, Ω⊂R×R³,

and̺(t, x) =̺0= const>0 for (t, x)∈Ω (see the introduction in section3). If the planet is not rotating, the shape is a ball Ω−t= BR(0) and the potential is

φ

φφ0(t, x) = ̺0

4π Z

BR(0)

dL³(y)

|x−y| , in particular,

φφφ0(t, x) = M

4π|x| outside BR(0).

If the planet is rotating with a constant angular speedω, by Newton’s result (see [Skript: Stmt IV.14.1 “Rotating planet”]) the shape of the planet is a spheroid (we let the axis of rotation be thex3-axis)

Ωt=S(a, c) :=

x∈R³ ; x²₁+x²₂ a² +x²₃

c² ≤1 with 0< c < a . Consequently, the gravity potential is

φφφ(t, x) = ̺0

4π Z

S(a,c)

dL³(y)

|x−y| . Show the following:

4.1 Theorem.For the spheroid the gravity potential satifies φ

φ

φ(t, x) =φφφ0(t, x) +M(a²−c²)

160π²|x|³ (|bx1|²+|bx2|²−2|bx3|²) +

O

1

|x|⁵

=φφφ0(t, x)·

1 + a²−c²

40π|x|²(|bx1|²+|bx2|²−2|bx3|²) +

O

1

|x|⁴

as |x| → ∞. Here xb:= _|x|^x andφφφ0 is the gravity potential of a ball with same total mass M as the spheroid.

L¨osung. For the difference of the potentials we have φφφ(t, x)−φφφ0(t, x) = ̺0

4π Z

S(a,c)

dL³(y)

|x−y| − Z

B_R(0)

dL³(y)

|x−y| .

We know

4π

3 R³= L³(BR(0)) = L³(S(a, c)) = 4π 3 ca², M =̺0L³(BR(0)) =̺0L³(S(a, c)),

since the medium is incompressible. Hence defining the harmonic function h(z) := 1

4π|z| forz∈R³,

(13)

4 Spheroid 13 we obtain from this identity forxoutsideS(a, c) and BR(0) by the mean value property

φφφ0(t, x) = ̺0

4π Z

BR(0)

dL³(y)

|x−y| =̺0

Z

BR(0)

h(x−y) dL³(y)

= M

L³(BR(0)) Z

BR(0)

h(x−y) dL³(y) =M h(x) = ̺0

4π Z

S(a,c)

dL³(y)

|x| . Consequently,

φφ

φ(t, x)−φφφ0(t, x) = ̺0

4π Z

S(a,c)

1

|x−y|− 1

|x|

dL³(y)

= ̺0

4π Z

S(a,c)

h(x−y)−h(x)

dL³(y). We use the expansion

h(x−y) =h(x)−y•∇h(x) +1

2y•D²h(x)y

−1

6D³h(x)(y, y, y) +R R:=−

Z 1 0

Z s1

0

Z s2

0

Z s2

0

D⁴h(x−s4y)(y, y, y, y) ds4ds3ds2ds1

=

O

|y|⁴

|x|⁵

for|x|large andy∈S(a, c) to write

4π

̺0

(φφφ(t, x)−φφφ0(t, x)) = Z

S(a,c)

h(x−y)−h(x) dL³(y)

=− Z

S(a,c)

y_•∇h(x) dL³(y)

| {z }

= 0

+1 2

Z

S(a,c)

y_•D²h(x)ydL³(y)

−1 6

Z

S(a,c)

D³h(x)(y, y, y) dL³(y)

| {z }

= 0

+

O

R⁷

|x|⁵

for|x|large.

And with

di:=

Z

S(a,c)

y²_idL³(y), d:=d1=d2, (4.1)

(14)

we compute Z

S(a,c)

y•D²h(x)ydL³(y) =X

ij

3xixj− |x|²δij

4π|x|⁵ Z

S(a,c)

yiyjdL³(y)

=X

i

3x²_i − |x|² 4π|x|⁵

Z

S(a,c)

y_i²dL³(y) =X

i

3x²_i − |x|² 4π|x|⁵ di

= 1

4π|x|⁵ (3x²₁− |x|²)d1+ (3x²₂− |x|²)d2+ (3x²₃− |x|²)d3

= 1

15|x|⁵ (3(x²₁+x²₂)−2|x|²)ca⁴+ (3x²₃− |x|²)c³a²

= ca²

15|x|⁵(x²₁+x²₂−2x²₃)(a²−c²) using the lemma below. We thus obtain

8π

̺0

(φφφ(t, x)−φφφ0(t, x)) = ca²

15|x|⁵(x²₁+x²₂−2x²₃)(a²−c²) +

O

R⁷

|x|⁵

, and therefore

φ φ

φ(t, x)−φφφ0(t, x) = ̺0ca²

120π|x|⁵(x²₁+x²₂−2x²₃)(a²−c²) +

O

R⁷

|x|⁵

= ̺0ca²

120π|x|³(xb²₁+xb²₂−2xb²₃)(a²−c²) +

O

R⁷

|x|⁵

= M(a²−c²)

160π²|x|³ (xb²₁+bx²₂−2bx²₃) +

O

R⁷

|x|⁵

.

4.2 Lemma.Ifdi are defined as in(4.1), d1=d2=1

2(d1+d2) = 4π

15ca⁴, d3= 4π 15c³a². L¨osung erste Version. We definer(y3)>0 by

r(y3)²=a²· 1−y₃² c²

. Then

d3= Z

S(a,c)

y²₃dy= Z c

−c

y₃²L²(Br(y3)(0)) dy3

=πa² Z c

−c

y²₃ 1−y²₃ c²

dy3= 2πa² Z c

0

y²₃−y₃⁴ c²

dy3

= 2πa² c³ 3 − c⁵

5c²

= 4πa²c³ 15 ,

(15)

4 Spheroid 15 and

1

2(d1+d2) = 1 2 Z

S(a,c)

(y₁²+y²₂) dy

=1 2

Z c

−c

Z

B_r(y_{3 )}(0)

(y²₁+y₂²) dL²(y1, y2) dy3=π Z c

−c

Z r(y3) 0

r³drdy3

=π 4

Z c

−c

r(y3)⁴dy3= π 2

Z c 0

r(y3)⁴dy3

=π 4a⁴

Z c 0

1−y²₃ c²

4

dy3= 4πa⁴c 15 .

L¨osung zweite Version. We introduce in S(a, c) so called “polar coordinates”

y= (y1, y2, y3) =τ(r, ψ, ϕ) by

y1=τ1(r, ψ, ϕ) =arsinψcosϕ , y2=τ2(r, ψ, ϕ) =arsinψsinϕ , y3=τ3(r, ψ, ϕ) =crcosψ , where

0< r <1, 0≤ψ < π, 0≤ϕ <2π.

The determinant is

det Dτ(r, ψ, ϕ) =a²cr²sinψ . Then

d1= Z

S(a,c)

y²₁dy= Z 1

0

Z π 0

Z 2π 0

(arsinψcosϕ)a²cr²sinψdϕdψdr

=a⁴c Z 1

0

r⁴dr

| {z }

=1 5

Z π 0

sin³ψdψ

| {z }

= 4 3

Z 2π 0

cos²ϕdϕ

| {z }

=π

=a⁴c· 4π 15,

and

d3= Z

S(a,c)

y²₃dy= Z 1

0

Z π 0

Z 2π 0

(crcosψ)a²cr²sinψdϕdψdr

=a²c³ Z 1

0

r⁴dr

| {z }

= 1 5

Z π 0

cos²ψsinψdψ

| {z }

=2 3

Z 2π 0

1 dϕ

| {z }

= 2π

=a²c³·4π 15.

References: See the article of V. Poh´anka [4].

(16)

5 Schwerefeld einer Kugelschale

We consider the gravity problem of a body itself, where we present the solution for some special geometry of the body. First we compute the gravitational field φφ

φ of a hollow sphere. Outside φφφ it is the same field as for a mass point with the total mass of the hollow sphere, inside in the empty spaceφφφis a constant.

And within the hollow sphereφφφis a solution with boundary data forφφφand∂νφφφ.

These properties, as we will show, all are contained in the single equation div(−[∇φφφ]) = [̺],

where̺is the density of the hollow sphere (de:Hohlkugel). We letR1the outer radius andR2the inner radius of the hollow sphere.

5.1 Gravitational field of a hollow sphere.Let be n ≥ 3, m > 0, and t7→ξ(t) the motion of the center of the hollow sphere

U(ξ(t)) := BR1(ξ(t))\BR2(ξ(t)), 0< R2< R1, and let the mass density̺be defined by

̺(t, x) =̺UXU(ξ(t))(x) with ̺U:= m Lⁿ(U(ξ(t))). Then the solutionφφφof the differential equation

div(−[∇φφφ]) = [̺] inD^′(R×Rⁿ) withφφφ(t, x)→0 if|x| → ∞,

is of orderC¹ in the space of variables (see[Skript: Stmt I.2.12]) and reads

φφφ(t, x) :=











̺U

2(n−2) (R1)²−(R2)²

if|x−ξ(t)| ≤R2,

̺U

2

(R1)²

n−2 −|x−ξ(t)|²

n − 2

n(n−2)

(R2)ⁿ

|x−ξ(t)|ⁿ⁻²

ifR2≤ |x−ξ(t)| ≤R1,

̺U

n(n−2)

(R1)ⁿ−(R2)ⁿ

|x−ξ(t)|ⁿ⁻² ifR1≤ |x−ξ(t)|. Note: Lⁿ(U(ξ(t))) and Lⁿ(U(0)) have the same volume.

L¨osung. Without restrictions let ξ(t) = 0. Then the gravity potential φφφ does not depend on t, hence for simplicity we neglect the dependence on t, and the density̺U is given by

̺U= m

Lⁿ(U(0)) = m

κn((R1)ⁿ−(R2)ⁿ).

We write the weak equation div(−[∇φφφ]) = [̺] for φφφ in a strong sense: By [Skript: Stmt I.2.12]we know thatφφφis a C¹-function inR×Rⁿ and we let

φ φφ(x) :=



 φ φ

φ−(x) if|x|< R2, φ

φ

φs(x) ifR2<|x|< R1, φ

φ

φ+(x) ifR1<|x|,

(17)

5 Schwerefeld einer Kugelschale 17 where

−∆φφφ−(x) = 0 if|x|< R2,

−∆φφφs(x) =̺U ifR2<|x|< R1,

−∆φφφ+(x) = 0 ifR1<|x|.

Thatφφφhas to beC¹ at∂BR1(0) and ∂BR2(0) gives us the following boundary conditions (whereν is a normal vector)

φφφ−(x) =φφφs(x)

∂νφφφ−(x) =∂νφφφs(x) )

forx∈∂BR2(0), φφφs(x) =φφφ+(x)

∂νφφφs(x) =∂νφφφ+(x) )

forx∈∂BR1(0).

(5.1)

To obtain a solution we make use of the radial symmetric structure of the problem and construct a solution depending only onr=|x|(due to the uniqueness result in[Skript: Stmt I.2.11]we have only to provide with one solution). Con- sidering the ∆ in radial-symmetric coordinates, we get

∆φφφ(x) =φφφ^′′(r) +n−1

r φφφ^′(r) = 1 rⁿ⁻¹

rⁿ⁻¹φφφ^′′

(r). Solving (rⁿ⁻¹φφφ^′_−/+)^′/rⁿ⁻¹= 0 and (rⁿ⁻¹φφφ^′_s)^′/rⁿ⁻¹=̺U, we obtain

φ φ

φ−(x) =C1, φ

φ

φs(x) =−̺U

2n|x|²+ C2

|x|ⁿ⁻² +C3, φ

φ

φ+(x) = C4

|x|ⁿ⁻²+C5.

We chooseC5= 0 in order to assureφφφ+(x)→0 if|x| → ∞. Then the conditions (5.1)on the values ofφφφlead to

C1=−̺U

2n(R2)²+ C2

(R2)ⁿ⁻² +C3,

−̺U

2n(R1)²+ C2

(R1)ⁿ⁻² +C3= C4

(R1)ⁿ⁻². and the conditions(5.1)on∂νφφφto

0 =−̺U

n R2−(n−2) C2

(R2)ⁿ⁻¹,

−̺U

n R1−(n−2) C2

(R1)ⁿ⁻¹ =−(n−2) C4

(R1)ⁿ⁻¹. From the last two identity we infer

C2=− ̺U

n(n−2)(R2)ⁿ, C4= ̺U

n(n−2)((R1)ⁿ−(R2)ⁿ).

From the first two identities we infer C3= 1

2(n−2)̺U(R1)², C1= 1

2(n−2)̺U((R1)²−(R2)²).

(18)

Altogether we arrive at

φφφ(t, x) :=











m 2κn(n−2)

(R1)²−(R2)²

(R1)ⁿ−(R2)ⁿ if|x−ξ(t)| ≤R2, m

2κn((R1)ⁿ−(R2)ⁿ) (R1)²

n−2 −|x−ξ(t)|² n

− 2

n(n−2)

(R2)ⁿ

|x−ξ(t)|ⁿ⁻²

ifR2≤ |x−ξ(t)| ≤R1, m

nκn(n−2) 1

|x−ξ(t)|ⁿ⁻² ifR1≤ |x−ξ(t)|. This proves the assertion.

We go back to the dependent case t7→ξ(t).

Remark: Due to the linearity of the “ div” and the “∇” operator, the solution is also achieved if one calculates

φφφ=φφφ1−φφφ2, whereφφφ1 andφφφ2 are the solutions of

div(−[∇φφφ1]) =

̺UXBR1(ξ(t))

inD^′(R×Rⁿ) withφφφ1(t, x)→0 if|x| → ∞, div(−[∇φφφ2]) =

̺UXBR2(ξ(t))

inD^′(R×Rⁿ) withφφφ2(t, x)→0 if|x| → ∞.

The convergence of the gravitational potential of a hollow sphere (de:Hohlku- gel) φφφ^U (the solution of5.1) to the gravitational potential of a spherical shell (de:Kugelschale)φφφ^Sis formulated in the next statement.

5.2 Convergence result.The convergence of the gravitational potential of the hollow sphereφφφ^Uto the gravitational potential of a spherical shellφφφ^Sof radius R is

φφ

φ^U−→φφφ^S inD^′(R×Rⁿ;Rⁿ) asε→0, whereε:=|R1−R2| andR1, R2→Rasε→0.

Here (see [Skript: Stmt I.2.15])

φ

φφ^S(t, x) :=









m nκn(n−2)

1

Rⁿ⁻² if|x−ξ(t)| ≤R, m

nκn(n−2) 1

|x−ξ(t)|ⁿ⁻² if|x−ξ(t)| ≥R.









L¨osung. Use the representation of the solutionφφφU at the end of the above proof.

We are now interested in the corresponding Newton forces of the right-hand side of the momentum equation. We prove the following result, where the Newton

(19)

5 Schwerefeld einer Kugelschale 19 force of the hollow sphere is given by

f_Newton^U (t, x) =g̺(t, x)∇φφφ^U(t, x)

=











0 if|x−ξ(t)| ≤R2,

−g̺U2

n

|x−ξ(t)|ⁿ−(R2)ⁿ x−ξ(t)

|x−ξ(t)|ⁿ ifR2≤ |x−ξ(t)| ≤R1,

0 ifR1≤ |x−ξ(t)|.











Here ̺U is defined as above.

5.3 Convergence of the Newton force.Let the radii depend on ε, that is R2=R^ε₂andR1=R^ε₁, and

0< R^ε₂< R^ε₁ andε:=|R^ε₁−R^ε₂|withR^ε₂→Ras ε→0. Then it holds (we mention that [f] =fL⁴)

f_Newton^U L⁴→f_Newton^S µµµ inD^′(R×Rⁿ;Rⁿ) asε→0, where

f_Newton^S (t, x) :=−g

2 · m

Hⁿ⁻¹(∂BR(ξ(t)))

2x−ξ(t) R forx∈∂BR(ξ(t)) and the distributionµµµis given by

hη , µµµi:=

Z

R

Z

∂BR(ξ(t))

η(t, x) dHⁿ⁻¹(x) dt.

forη∈D(R×Rⁿ;R)..

The Newtonian gravitational force f_Newton^S is a distribution supported on the boundary of a ball, that is on the spherical shell. We could define this Newton force also by

f_Newton^S (t, x) = g̺S· 1

2

x^′lim→x

|x^′−ξ(t)|> R

∇φφφ^S(t, x^′) + lim

x^′→x

|x^′−ξ(t)|< R

∇φφφ^S(t, x^′)

with̺S:= m

Hⁿ⁻¹(∂BR(0)) = m

Hⁿ⁻¹(∂BR(ξ(t))) ,

that is the mean of the gradient from the outside and from the inside, a formula which one would have suggested.

L¨osung. Letζ∈C₀^∞(R×Rⁿ;Rⁿ) be a test function. We compute ζ ,[f_Newton^U ]

=−g̺U2

n Z

R

Z

U(ξ(t))

ζ(t, x)• x−ξ(t)|x−ξ(t)|ⁿ−(R^ε₂)ⁿ

|x−ξ(t)|ⁿ dxdt

=−g̺U2

n Z

R

Z

U(0)

ζ(t, y+ξ(t))•y|y|ⁿ−(R^ε₂)ⁿ

|y|ⁿ dydt

=−g̺U2

n Z

R

Z R^ε₁ R^ε₂

Z

∂B1(0)

ζ(t, rx+ξ(t))•(rx)rⁿ−(R^ε₂)ⁿ

rⁿ rⁿ⁻¹dHⁿ⁻¹(x) drdt

(20)

=−g m² nκ_n²

Z

R

Z R^ε₁ R^ε₂

rⁿ−(R^ε₂)ⁿ (R^ε₁)ⁿ−(R^ε₂)ⁿ2

Z

∂B1(0)

ζ(t, rx+ξ(t))•xdHⁿ⁻¹(x) drdt

=−g m² nκn2

Z

R

Z ε 0

(s+R^ε₂)ⁿ−(R^ε₂)ⁿ (R^ε₁)ⁿ−(R^ε₂)ⁿ2·

· Z

∂B1(0)

ζ(t, sx+R^ε₂x+ξ(t))_•xdHⁿ⁻¹(x) dsdt . By Taylor expansion we have

ζ(t, sx+R^ε₂x+ξ(t)) =ζ(t, R^ε₂x+ξ(t)) +O(s|x|) and by integration we get from the outside

Z ε 0

(s+R^ε₂)ⁿ−(R^ε₂)ⁿ (R^ε₁)ⁿ−(R₂^ε)ⁿ2 ds=

1

n+1(s+R^ε₂)ⁿ⁺¹−(R^ε₂)ⁿs (R^ε₁)ⁿ−(R^ε₂)ⁿ2

ε 0

=

1

n+1(ε+R^ε₂)ⁿ⁺¹−(R^ε₂)ⁿε (R^ε₁)ⁿ−(R₂^ε)ⁿ2 −

1

n+1(R^ε₂)ⁿ⁺¹ (R^ε₁)ⁿ−(R^ε₂)ⁿ2

= (ε+R^ε₂)ⁿ⁺¹−(n+ 1)(R^ε₂)ⁿε−(R^ε₂)ⁿ⁺¹ (n+ 1) (ε+R^ε₂)ⁿ−(R^ε₂)ⁿ2 −→ 1

2 1

nRⁿ⁻¹ as ε→0. All in all asε→0 we get

ζ ,[f_Newton^U ]

−→ −gm² nκ_n²

Z

R

1 2

1 nRⁿ⁻¹

Z

∂B1(0)

ζ(t, Rx+ξ(t))•xdHⁿ⁻¹(x) dt

=−g 2

m

Hⁿ⁻¹(BR(ξ(t))) 21

R Z

R

Z

∂BR(ξ(t))

ζ(t, x)•(x−ξ(t)) dHⁿ⁻¹(x) dt

=−g 2

m

Hⁿ⁻¹(BR(ξ(t))) 2

ζ , ^•−ξ(t) R µµµ

.

5.4 Remark.Now we consider two spherical shells∂BR1(ξ(t)) and∂BR1(ξ(t)) with the total constant masses m1 > 0 and m2 > 0 respectively. Then the solutionφφφof equation

div(−∇[φφφ]) =m1µµµ₁+m2µµµ₂ inD^′(R×Rⁿ) withφφφ(t, x)→0 if|x| → ∞ is given by

φ φ φ(t, x) =











1 σn(n−2)

m1

(R1)ⁿ⁻²+ m2

(R2)ⁿ⁻²

if|x−ξ(t)| ≤R2, 1

σn(n−2) m1

(R1)ⁿ⁻² + m2

|x−ξ(t)|ⁿ⁻²

ifR2≤ |x−ξ(t)| ≤R1, 1

σn(n−2)

m1+m2

|x−ξ(t)|ⁿ⁻² ifR1≤ |x−ξ(t)|.









 Here the distributionsµµµ_k are defined by

hη , µµµ_ki:=

Z

R

Z

∂B_Rk(ξ(t))

η(t, x) dHⁿ⁻¹(x) dt forη∈D(R³).

(21)

5 Schwerefeld einer Kugelschale 21 L¨osung. This follows by addition.

With the considerations above the Newtonian force on the spherical shells

∂BR1(ξ(t)) and∂BR2(ξ(t)) is given by f_Newton¹ (t, x) :=g m1

Hⁿ⁻¹(∂BR1(ξ(.)))·

·1 2

−m1+m2

σn

x−ξ(t) (R1)ⁿ −m2

σn

x−ξ(t) (R1)ⁿ

=−1

2g m1

Hⁿ⁻¹(∂BR1(ξ(.)))²

m1+ 2m2

R1

x−ξ(t) for pointsx∈∂BR1(ξ(t)), f_Newton² (t, x) :=−1

2g

m2

Hⁿ⁻¹(∂BR2(ξ(.))) 2 1

R2

x−ξ(t) for pointsx∈∂BR2(ξ(t)).

(22)

6 Rotationssymmetrischer Stern

Wir berechnen in diesem Abschnitt das Schwerefeld eines Planeten, von dem angenommen wird, dass er rotationssymmetrisch ist. Bei einem Beobachter im Zentrum des Planeten ist also das Schwerefeldφφφdie station¨are L¨osung von

div[−∇φφφ] = [̺], φ

φ

φ(x)→ ∞f¨ur|x| → ∞. (6.1)

Abb. 5: From the book of Chandrasekhar

Hierbei ist alsoφφφ eineC¹-Funktion, da ̺als die Dichte des Planeten gegeben ist durch

̺(x) =

( ̺(r) f¨b urr=|x|< R, 0 sonst,

und̺beine beschr¨ankte Funktion ist. Definieren wir f¨urr < R m(r) :=̺(r) Hb ²(∂Br(0)) = 4πr²̺(r)b so ist die Teilmasse des Planeten in der Kugel Br(0)

M(r) :=

Z

Br(0)

̺(x) dL³(x) = Z r

0

m(s) ds ,

(23)

6 Rotationssymmetrischer Stern 23 alsoM^′ =m. We now letφφφr be the continuous stationary solution of

div(−∇[φφφr]) =̺(r) Hb ²

x

_∂B_r₍₀₎_,

φφφr(x)→ ∞f¨ur|x| → ∞. From5.2 we see that the solution is given by

φ φφr(x) :=







 m(r)

4π 1

r if|x| ≤r, m(r)

4π 1

|x| if|x| ≥r.

We obtain

6.1 Theorem.The function φφφ(x) =

Z R 0

φφ φr(x) dr is the solution of (6.1).

L¨osung. We have forζ∈D(R³;R) the identity hζ ,−∆[φφφ]i=h −∆ζ ,[φφφ]i=−

Z

R3

∆ζ(x) Z R

0

φφφr(x) drdx

= Z R

0

− Z

R3

∆ζ(x)φφφr(x) dx dr=

Z R

0 h −∆ζ ,[φφφr]i dr

= Z R

0 hζ ,−∆[φφφr]idr= Z R

0

ζ ,̺(r)Hb ²

x

_∂B_r₍₀₎ _dr

= Z R

0

Z

∂Br(0)

ζ(x)̺(r) dHb ²(x) dr= Z R

0

Z

∂Br(0)

ζ(x)̺(x) dH²(x) dr

= Z

R3

ζ(x)̺(x) dL³(x) =hζ ,[̺]i , which proves(6.1).

We now compute the gravitational fieldφφφ. From6.1we obtain for |x| ≤R φφφ(x) =

Z R 0

φφφr(x) dr

= Z |x|

0

φ φ

φr(x) dr+ Z R

|x|

φ φφr(x) dr

= Z |x|

0

m(r) 4π|x|dr+

Z R

|x|

m(r) 4πr dr

= 1

4π|x| Z |x|

0

m(r) dr+ 1 4π

Z R

|x|

m(r) r dr

=M(|x|) 4π|x| + 1

4π Z R

|x|

M^′(r) r dr ,

(24)

whereM^′≤0, and for|x| ≥R φφφ(x) =

Z R 0

m(r) 4π|x|dr

= 1

4π|x| Z R

0

m(r) dr=M(R) 4π|x| . Altogether

φφφ(x) = M(min (|x|, R)) 4π|x| + 1

4π Z R

min (|x|,R)

M^′(r)

r dr . (6.2)

Hence for|x| ≤R

∇φφφ(x) =−M(|x|)

4π|x|³x+M^′(|x|) 4π|x|

x

|x|− 1 4π

M^′(|x|)

|x| x

|x| =−M(|x|) 4π|x|³x and therefore for the Newton force

fNewton(x) =g̺(x)∇φφφ(x) =−GM(r)b̺(r) r²

x

|x| withr:=|x| (see the formula in Abb.5).

(25)

7 Tag und Nacht 25

7 Tag und Nacht

7.1 Koordinaten der Erde.Wir modellieren die Erde als eine Kugel B:={x^∗∈R³; |x^∗|< RErde}.

(1) Seien x^∗ = (x^∗₁, x^∗₂, x^∗₃) die Koordinaten der Erde im ekliptischen System, d.h. wir betrachten einen Beobachter, der sich im Zentrum der Erde befindet und die Sonne in der (x^∗₁, x^∗₂)-Ebene sieht. Gebe eine Beobachtertransformation zu einem auf der Erde befindlichen Menschen an.

(2) Zeige, wie das Tagesintervall sich w¨ahrend des Jahres ver¨andert.

(3) Gebe eine Definition der Tagesl¨ange an.

Abb. 6: “Erdphasen f¨ur einen heliozentrisch ortsfesten Beobachter im Weltall (nicht gr¨oßengetreue Darstellung)” von Wikipedia.

L¨osung(1). Letx^∗= (x^∗₁, x^∗₂, x^∗₃) the coordinates ofB ⊂R³. We choose a unit vectore∈span{e2,e3}

e:= cosαe3+ sinαe2, α= 23^◦.4402 = 23^◦26^′25^′′

We let the position of the observer

ξ(ϕ) :=r1e+r2(cosϕ e⊥+ sinϕe1), e⊥ = sinαe3−cosαe2,

r1>0, r2>0, q

r²₁+r₂²=RErde. Hence

ξ(ϕ) =r1e+r2cosϕ e⊥+r2sinϕe1

=r1(cosαe3+ sinαe2) +r2cosϕ(sinαe3−cosαe2) +r2sinϕe1

=r2sinϕe1+ (r1cosα+r2cosϕsinα)e3+ (r1sinα−r2cosϕcosα)e2.

(26)

Defining the orthonormal system eh= 1

RErde

ξ(ϕ), ewo= 1 RErde

ξ′ϕ(ϕ),

esn= 1

|e−e•ξ(ϕ)ξ(ϕ)|e−e_•ξ(ϕ)ξ(ϕ), we assign to (x^∗₁, x^∗₂, x^∗₃) a vector (x1, x2, x3) by

ξ+x1ewo+x2esn+x3eh=x^∗. This transformation is a basis for an observer transformation.

L¨osung(2). Let the direction of the sun be

eSonne= sinθe1−cosθe2

The condition that the observer on earth can see the sun is eSonne•eh>0.

Now

eSonne•eh= cosθ(r2cosϕcosα−r1sinα) +r2sinθsinϕ

=r2(cosθcosϕ+ sinθsinϕ) + cosθ(r2cosϕ(cosα−1)−r1sinα)

=r2cos (ϕ−θ) + cosθ(r2cosϕ(cosα−1)−r1sinα), hence we have day-time if

cos (ϕ−θ)>cosθ(cosϕ(cosα−1)−r1

r2

sinα). Ifβ is the (de: Breitengrad), that is (ifβ >0)

sinβ= r1

RErde

, we conclude

r1

r2

= r1

pR²_Erde−r²₁ = sinβ

p1−sin²β = tanβ, hence we can write

cos (ϕ−θ)>cosθ (cosα−1)cosϕ−tanβsinα

. (7.1)

L¨osung (3). Wenn ω die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist, so ist (bis auf Festlegung des Nullpunktes)

ϕ=ω t+ϕ0.

Da die Erde in einem Jahr sich einmal um die Sonne dreht, ist θ=ωSonnet+θ0, ωSonne= 2π

1year.

(27)

7 Tag und Nacht 27 Nun stehen ω und ωSonne in keinem rationalen Verhältnis zueinander. Da- her ist folgende Definition der Tageslänge mit Vorsicht zu betrachten: Zum Frühlingspunkt ist θ = ^π₂ also cosθ = 0 und damit die rechte Seite von (7.1) gleich 0. Dies ergibt die Möglichkeit, bei Tagesaufgang der Sonne, bei dem cos (ϕ−θ) = 0 ist, die Zeitt= 0 festzulegen und die Zeitdifferenz bei Tagesauf- gang der Sonne zum Herbstpunkt mitt=T zu messen. Indem manT durch die Anzahl der Tage, die verflossen sind, teilt, erhält man das Maß für einen Tag

1d= T

Anzahl Tage und somit

1d= 24h, 1h= 60min= 3600s.

Abb. 7: “Nimmt man die Position der Sonne w¨ahrend eines Jahres immer zur selben mittleren Ortszeit auf und ¨uberlagert die Fotos, so ergibt sich eine lang gestreckte Acht - das so genannte Analemma” aus “Zeitgleichung und Analem- ma” Sterne und Weltraum SuW 5|2015

Die neuerliche Festlegung der Sekunde unter Zuhilfenahme von Atomen ist in