Einführung in die Stochastik Übungsblatt 11
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010
Dr. Robert Schlicht 25. Juni 2010
Dr. Mehdi Slassi
Dipl. Math. Andreas Fromkorth
Aufgabe 11.1 4 Punkte
SeienX1, . . . ,Xnunabhängige reelle Zufallsvariablen definiert auf dem gleichen W-Raum mit EXi=0und0< σ2i =V(Xi)<∞ (i=1, . . . ,n).
Setze
Sk=
k
X
i=1
Xi.
Dann gilt für jedesε >0
P
1≤k≤nmax|Sk|> ε
≤ 1 ε2
n
X
i=1
σ2i.
Hinweis:
1≤maxk≤n|Sk|> ε
=
n
[
k=1
Ak
wobei
Ak=
|S1| ≤ε, . . . ,|Sk−1| ≤ε,|Sk|> ε . Zeigen Sie:
E Sn2
≥
n
X
k=1
E Sn2·1A
k
und
E Sn2·1A
k
=E S2k·1A
k
+E
Sn−Sk2
·1A
k
≥ε2·P(Ak). Wie folgt daraus die Behauptung?
Aufgabe 11.2 4 Punkte
Sei S eine abzählbare Menge. Zeigen Sie, dass jede Folge (Xn)n≥0 von unabhängigen identisch verteilten S-wertigen Zufallsvariablen eine Markov-Kette ist.
Aufgabe 11.3 4 Punkte
Sei(Xn)n≥0eine Markov-Kette. Welche von den folgenden Folgen sind Markov-Ketten?
a) (Xn+r)n≥0fürr≥1
b) Die Folge von Paaren(Xn,Xn+1)n≥0.
Aufgabe 11.4 4 Punkte
Sei(Xn)n≥0eine Markov-Kette mit Werten inS, und seih:S→T eine bijektive Abbildung. Zeigen Sie, dassYn=h(Xn) eine Markov-Kette ist.
Abgabetermin:Freitag, 02. Juni 2010 vor der Vorlesung.
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