J. Cuntz und T. Timmermann SS 14
Ubung zur K-Theorie¨ Blatt 7
Aufgabe 1. Sei A eine C∗-Algebra mit zwei Automorphismen α0, α1.
(a) Wann solltenα0 undα1homotop genannt werden? Es gibt mindestens zwei
¨
aquivalente Definition; eine beinhaltet eine Wirkungα auf C([0,1];A).
(b) Konstruiere mit Hilfe der Pimsner-Voiculescu-Sequenzen f¨ur Aoαi Z und C([0,1];A)oαZ (und der Nat¨urlichkeit der Pimsner-Voiculescu-Sequenz) f¨uri= 0,1 Isomorphismen zwischen Ki(Aoα0 Z) und Ki(Aoα1 Z).
Aufgabe 2. Es wirkeZaufRdurch Translation (Verschiebung des Arguments).
Berechne die K-Theorie vonC0(R)o Z.
Aufgabe 3. Bezeichne X =Z∪ {∞,−∞} die nat¨urliche Zwei-Punkt-Kompak- tifizierung von Z. Die Gruppe Z wirke auf X durch Translation, wobei ∞ und −∞ fix bleiben. Berechne die K-Theorie von C(X) o Z mit Hilfe der Pimsner-Voiculescu-Sequenz oder mit Hilfe der exakten Sequenz C0(Z)o Z → C(X)o Z→(C⊕C)o Z.
Aufgabe 4. Zeige mit Hilfe der Index-Abbildung der 6-Term-Sequenz f¨ur die exakte Sequenz 0 → K(H) → B(H) → Q(H) → 0, dass der Fredholm-Index ind(x) := dim ker(x)−dim coker(x) eines Fredholm-Operatorsx∈ B(H)
• homotopie-invariant ist,
• sich bei Addition von kompakten Operatorenk ∈ K(H) nicht ¨andert,
• genau dann verschwindet, wenn x+k f¨ur eink ∈ K(H) invertierbar ist,
• ind(xy) = ind(x) + ind(y) erf¨ullt.
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