Eine Ebene E, die mit der Achse d eines Drehkegels Ke einen kleineren Winkel einschließt als den halben Öffnungswinkel des Kegels und nicht durch seine Spitze geht, schneidet den Kegel auf beiden Seiten seiner Spitze in je einem „Ast“ einer zweiteiligen Kurve.
Die DANDELINsche Konfiguration
1. Erinnere dich: Bei jeder zentrischen Streckung mit der Kegelspitze als Zentrum geht der Kegel als Ganzes in sich über, die Kugel, die ihn berührt, geht in eine ebensolche Berührkugel über. So erhält man eine ganze Schar von Kugeln auf beiden Seiten der Spitze, die den Kegel jeweils längs eines Kreises berühren.
2. Wird nun der Kegel in der oben beschriebenen Art von einer Ebene E geschnitten, so gibt es auf beiden Seiten der Spitze jeweils eine solche Berührkugel, die die Schnittebene in jeweils einem Punkt F1
bzw. F2 berührt.
Die Wahl der Risse:
In nebenstehender Abbildung liegt im Aufriss die Rotationsachse d des Kegels Ke in der Zeichenebene und die Schnittebene E waagrecht, also parallel zur Grundrissebene, so dass im Grundriss die Schnittfigur h in wahrer Größe zu sehen ist (alles andere ist im Grundriss weggelassen). Damit zeigt sich die Schnittebene E im Aufriss projizierend als Gerade.
Die Brennpunkteigenschaft des Schnittes:
1. Durch jeden Punkt P der Schnittfigur geht eine Kegelmantellinie, die die DANDELINschen Kugeln Ki in den Punkten Tangentenabschnitte gleich lang und es gilt
PFiPBifür i = 1 und i = 2.
3. Durch Streckensubtraktion findet man PF1 PF2 B B1 2, die Länge des Mantellinienstücks zwischen den beiden Berührkreisen.
Definition 3.2.1: Die Berührpunkte mit den DANDELINschen Kugeln heißen Brennpunkte.
Damit ist bewiesen:
Satz 3.2.1:
Der zweiteilige Schnitt eines Rotationskegels hat die Eigenschaft, dass die Differenz der Abstände eines Kurvenpunktes zu den Brennpunkten konstant ist.
Definition 3.2.2:
Jede ebene Kurve mit der Eigenschaft, dass die Differenz der Abstände eines Kurvenpunktes zu zwei ausgezeichneten Punkten konstant ist, heißt Hyperbel2.
Satz 3.2.2:
Jede Hyperbel hat zwei Symmetrieachsen, die aufeinander senkrecht stehen.
Beweis:
1. Die Konfiguration des Drehkegels und der Schnittebene ist zur Aufrissebene symmetrisch, also muss dies auch für deren Schnitt gelten.
2. Da die definierende Eigenschaft der Hyperbel die Punkte F1 und F2 völlig gleich behandelt, muss auch deren Mittellot Symmetrieachse der Hyperbel sein.
3. Damit stehen die Symmetrieachsen aufeinander senkrecht. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt der Hyperbel.
Namengebung:
Die Brennpunkte liegen auf einer Symmetrieachse, die Hauptachse der Hyperbel heißt. Die Schnittpunkte der Hyperbel mit der Hauptachse heißen Hyperbelscheitel. Die zweite Symmetrieachse heißt die Nebenachse der Hyperbel. Beide Achsen schneiden sich im Mittelpunkt der Hyperbel.
Es sei der Abstand der Berührkreise auf den Mantellinien 2a. Wendet man auf je einen Scheitel A bzw. C die oben gefundene Differenzformel an, so findet man
AF2AF1 AC CF2AF1 2a bzw.
CF1CF2 AC AF1CF2 2a. Addiert man diese beiden Zeilen, so ergibt sich2AC 4a.
Weitere Namengebung:
a AM CM heißt reelle Halbachse der Hyperbel.
e MF1 MF2 heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität der Hyperbel.
Der Kreis um M durch die Scheitel heißt Hauptkreis.
Aufgabe 3.2.1: Konstruiere eine zum Zeichnen der Kurve hinreichende Anzahl von Punkten einer Hyperbel unter Verwendung von deren Brennpunktabständen, wenn gegeben sind a = 3,0 cm sowie:
e = 3,3 cm; e = 3,75 cm; e = 3 2cm; e = 5,0 cm; e = 6,0 cm; e = 7,8 cm.
Hinweis: In der Nähe der Scheitel und für weit entfernte Punkte wird diese Punktkonstruktion ungenau, da die verwendeten Kreise sich sehr schleifend schneiden.
2 , hyperballein, griechisch darüber hinauswerfen
Betrachtet man die Hyperbel als eigenständiges Gebilde, so wählt man bevorzugt die Hauptachse in waagrechter Richtung.
Legt man die x-Achse eines Koordinatensystems auf die Hauptachse und die y-Achse auf die Nebenachse einer Hyperbel, so gilt nach der Brennpunkteigenschaft für einen Punkt P(xy) mit den eingeführten Bezeichnungen:
PF1 PF2 2a
Um die Lösung zur entsprechenden Fragestellung der Ellipse (vgl. Aufgabe 2.6.1) hier mitzunehmen, wird die Brennpunkteigenschaft der Ellipse mitberücksichtigt. Die beiden Gleichungen werden durch den Vorzeichenwechsel in der folgenden Gleichung zusammengefasst:
PF1 PF2 2a oder
PF1 2a mPF2 oder mit den Punktkoordinaten
(x e )2 y2 2a m (x e )2 y2 . Man quadriert beide Seiten und erhält:
x22xe e 2y2 4a2 x22xe e 2y2 m4a (x e )2y2 . Fasst man zusammen und stellt die Wurzel allein, so ergibt sich:
m4a (x e )2 y2 4xe 4a2.
Nach Division mit 4 und abermaligem Quadrieren findet man:
a x2 22a xe a e2 2 2 a y2 2 x e2 22a xe2 a4. Zusammenfassen ergibt:
(e2 a x2) 2 a y2 2 a e2( 2 a2)
Da der Hauptscheitel der Hyperbel nicht ihr Brennpunkt ist, ist e2 - a2 0.
Bei der Hyperbel setzt man nun b2: = e2 - a2 und nennt b die imaginäre Halbachse der Hyperbel3, weil die Hyperbel auf der Nebenachse keine Scheitel besitzt.
Für die Ellipse gilt - b2 = e2 - a2. Deshalb folgt aus oben, wenn man durch a2b2 dividiert:
als Gleichung für die Ellipse bzw. Hyperbel. Damit ist auch Aufgabe 2.6.1 gelöst.
Die Mittelpunktgleichung für die Hyperbel lautet:
Beachte: Ellipsen mit a = b heißen Kreise. Hyperbeln mit a = b heißen gleichseitige Hyperbeln.
Löst man die Hyperbelgleichung nach y auf, so erhält man
y b
Da Hyperbelpunkte beliebig weit vom Hyperbelmittelpunkt entfernt sein können, erkennt man aus der letzten Gleichung für solche Punkte: man mit dem Symbol i = 1 wie mit Zahlen rechnen kann, ohne Widersprüche zu erzeugen. Er gab solchen neuen “Zahlen” den Namen “imaginäre Zahlen” (von imago, lateinisch Bild, also “bildliche Zahlen”). Vgl.
Additum zu Klasse 11 in Bayern.
x
D. h. für große x unterscheiden sich die Hyperbelpunkte nicht merklich von denen der Geraden mit der Gleichung y b
ax
.
Eine Gerade heißt Asymptote4 einer Kurve, wenn die Punkte der Kurve im Unendlichen, d. h. hier für große x beliebig nahe an die Gerade herankommen.
Erinnere dich:
Entsteht eine Hyperbel als ebener Schnitt eines Drehkegels, so erzeugen alle Mantellinien des Kegels Hyperbelpunkte bis auf die beiden Mantellinien, die zur Schnittebene parallel sind.
Man stellt sich vor, dass diese Mantellinien die Hyperbel erst im Unendlichen, d. h. bei den Asymptoten treffen;
also sind die Asymptoten parallel zu diesen Mantellinien und es gilt der Satz:
Satz 3.2.3:
Jede Hyperbel besitzt zwei Asymptoten. Diese sind parallel zu denjenigen Mantellinien des Drehkegels mit zur Hyperbelebene paralleler Achse, die parallel zur Schnittebene durch die Spitze des Kegels gehen.
Aufgabe 3.2.2: Berechne die fehlenden Bestimmungsstücke einer Hyperbel, deren Achsen die Koordinatenachsen sind und von der gegeben ist:
a) a = 5; P(136) b) b = 6; P(58) c) b:a = 3:4; P(106)
Ergebnis: Die Asymptoten und ein Punkt legen eine Hyperbel fest.
Stechzirkelkonstruktion der Hyperbel:
Löst man die Hyperbelgleichung nach x auf:
x a
b y a
22 2 2 und setzt man
s a by
: , (1) so erhält man
x s2a2 . (2) Sind die Achsenrichtungen und die Halbachsenlängen und damit die Asymptoten einer Hyperbel gegeben, und zeichnet man die Parallelen zur Hauptachse im Abstand b und in einem beliebigen Abstand y, so gilt (1) wegen s
y a
b (vgl. die Zeichnung) und (2) kann
aus der Zeichnung abgelesen werden. Man erhält also die folgende Punktkonstruktion:
4 Asymptote von symptiptein, griechisch zusammentreffen, also die “Nichtzusammentreffende”, d.
h. die einzige Gerade ihrer Parallelenschar, die die Hyperbel nicht (im Endlichen) schneidet.
x y
(a;0) y = (b:a)x y = -(b
:a)x
x a - y b = 12-2 2 -2
A Q P R M
T P*
x y
Punktverfahren: Stechzirkelkonstruktion der Hyperbel:
1. Die Parallele zur Hauptachse im beliebigen Abstand y schneidet die Nebenachse in R und eine Asymptote in Q.
2. Wird RQ auf der Nebenachse von M aus bis T abgetragen, dann
3. ist AT x und kann auf RQ von R aus nach beiden Seiten abgetragen werden und liefert so den Hyperbelpunkt P und seinen Spiegelpunkt P*.
Aufgabe 3.2.3: Beweise die Richtigkeit der folgenden zweiten Stechzirkelkonstruktion:
1. Die Parallele zur Nebenachse im Abstand x schneidet die Hauptachse in N, eine Asymptote in U.
2. b wird auf der Hauptachse von N bis V abgetragen.
3. NU wird von V aus zur Geraden NU hin nach beiden Seiten abgetragen und liefert so den Hyperbelpunkt P und seinen Spiegelpunkt P*. Anleitung: Löse die Hyperbelgleichung nach y auf usw.
Die Stechzirkelkonstruktionen haben für die Hyperbel eine ähnliche Bedeutung wie die Papierstreifenkonstruktionen für die Ellipse. Dies gilt ebenso für die Umkehrbarkeit.
Umkehrungen der Stechzirkelkonstruktionen:
Von einer Hyperbel sind die Asymptoten und ein Kur-venpunkt P gegeben. Gesucht sind die Hyperbelhalb- achsen (Scheitel und Scheiteltangenten).
Lösung:
1. Die Parallele durch P zur Hauptachse (Winkelhalbierende der Asymptoten in dem Winkelraum, in dem P liegt) schneidet die nächste Asymptote in Q und die Nebenachse in R.
2. RQ wird auf der Nebenachse von M aus bis T abgetragen.
3. RP wird von T aus zur Hauptachse hin abgetragen. Das liefert dort den Scheitel A und damit a.
4. Das Lot in A auf der Hauptachse als Scheiteltangente liefert b als den Abschnitt von A bis zur Asymptote.
Aufgabe 3.2.4: Finde mit Hilfe von Aufgabe 3.2.3 die entsprechende Umkehrung der Stechzirkelkonstruk- tion.
Aufgabe 3.2.5: Von einer Hyperbel sind eine Halbachse und ein Kurvenpunkt P gegeben. Konstruiere mit Hilfe einer weiteren Umkehrung der jeweils geeigneten Stechzirkelkonstruktion die Asymptoten und die andere Halbachse.
Aufgabe 3.2.6: Vergleiche: Wie hängt bei den Aufgaben 3.2.4 und 3.2.5 die Genauigkeit des Ergebnisses von der Lage des Punktes P zur Hauptachse der Hyperbel ab?
P U
N V
P Q R M
T 1
1 2
3 4
Aufgabe 3.2.7: Konstruiere die Brennpunkte einer Hyperbel, von der die Halbachsen bzw. eine Halbachse und die Asymptoten gegeben sind.
Aufgabe 3.2.8: Konstruiere jeweils die fehlenden Asymptoten und Halbachsen einer Hyperbel, die gegeben ist durch die Brennpunkte und
a) eine Asymptote, b) eine Halbachse, c) einen Punkt P.
Aufgabe 3.2.9: Begründe die nebenstehende Methode, mittels Lineal und Faden eine Hyperbel zu zeichnen. Was muss beim Einrichten dieses
“Hyperbelzirkels” beachtet werden, wenn die Achsen, die reelle Halbachse a und die lineare Exzentrizität e der Hyperbel gegeben sind?
Hinweis: Diese vorgestellte Methode ist das Analogon zur Gärtnerkonstruktion der Ellipse.
Aufgabe 3.2.10: Beweise: Der Grundriss einer Hyperbel auf einem Drehkegel mit lotrechter Achse d1 ist eine Hyperbel mit Mittelpunkt M, die die Grundrisse von d1 und d2 als Brennpunkte hat, wobei d2 das Spiegelbild von d1 am Mittelpunkt M der Schnitthyperbel ist. Die Hyperbelebene darf nicht lotrecht sein.
Hinweis: Verfahre genauso wie beim Beweis des entsprechenden Satzes für die Ellipsenschnitte eines solchen Kegels. Spiegle zuerst den Drehkegel am Mittelpunkt M der Schnitthyperbel und betrachte Kreisschnitte auf den beiden Kegeln usw.
Aufgabe 3.2.11: Zeichne einige Punkte der Hyperbel mit der Gleichung x2 y2 16 25 1.
Aufgabe 3.2.12: Was für eine Kurve stellt die Gleichung (x c) ( ) a
y d b
2
2
2
2 1 dar?
a) Welche Bedeutung haben die Konstanten a, b, c und d?
b) Zeichne die Kurve für a = 5,0 cm, b = 2,= cm, c = 3,0 cm, d = 1,0 cm.
Aufgabe 3.2.13: Die Geraden mit den Gleichungen 3x – 6y + 60 = 0 und 3x + 6y + 20 = 0 sind die Asymptoten einer Hyperbel durch den Ursprung des Koordinatensystems. Stelle die Gleichung der Hyperbel auf.
Sekanten- und Tangenteneigenschaft:
Jede Hyperbel zusammen mit ihren Asymptoten und der Hauptachse d kann man als Grundriss einer räumlichen Konfiguration wie folgt deuten:
Die Asymptoten sind der Umriss eines Drehkegels Ke mit waagrechter Achse d, der von einer waagrechten Ebene E in einer Hyperbel geschnitten wird. Der Einfachheit halber kann man annehmen, dass d in der Grundrissebene E liegt.
Es wird nun untersucht, wie eine Hyperbelsekante s zu deren Asymptoten liegt.
x y
F2 (-a;0) F1(e;0) U P
d h Ke
h e P
Q G
H
Q s = E = e
h G
H
P d
Zu diesem Zweck stellt man sich die dreidimensionale, oben beschriebene Konfiguration vor und legt eine senkrechte Ebene E durch die Sekante s.
a) Diese Ebene kann sich mit dem Drehkegel in einem endlichen Kegelschnitt, also in einer Ellipse e, schneiden, die man in die Zeichenebene umklappt.
Da die Kegelachse d in der Zeichenebene liegt, muss auch der Ellipsenschnitt zur Zeichenebene symmetrisch liegen.
Aus dieser Symmetrie folgt:
GP QH
b) Liegt diese Ebene E so, dass der Schnitt eine Hyperbel h1 ist, so klappt man diese auch in die Zeichenebene E um und erhält aus Symmetriegründen ebenfalls
GP QH.
Satz 3.2.4: Die Abschnitte auf einer Hyperbelsekante