3.6 Zusammenfassung
In diesem Kapitel wurden in Abschnitt3.1die Bewegungsgleichungen f¨ur die Fluktuationen in einer makroskopisch ruhenden Fl¨ussigkeit betrachtet und deren Korrelationsfunktionen auf zwei verschiedene Arten ermittelt. Zum einen wurde in Abschnitt 3.3.1 die Kenntnis der statischen Suszeptibilit¨at vorrausgesetzt und zum anderen wurde im Abschnitt 3.3.2 die Korrelation des stochastischen Spannungstensors benutzt. Bei diesen Berechnungen wurden die Begriffe spektrale Dichte, Relaxationsfunktion und Suszeptibilit¨at eingef¨uhrt und wichtige Symmetriebeziehungen abgeleitet. Zum Schluss wurde die G¨ultigkeit des Fluktuations-Dissipations Theorems f¨ur eine makroskopisch ruhende Fl¨ussigkeit best¨a-tigt.
4 Fluktuationen in inkompressibler Scherstr¨ omung
Nachdem im vorangegangenen Kapitel die thermischen Fluktuationen einer im Mittel ruhenden Fl¨ussigkeit beschrieben wurden, soll beginnend mit diesem Kapitel der Einfluss einer deterministischen Scherstr¨omung u0(y) = gyeˆx auf die Geschwindigkeitsfluktuatio-nen untersucht werden.
Aufgrund der Scherstr¨omung befindet sich die Fl¨ussigkeit fern vom (globalen) thermischen Gleichgewicht und es k¨onnen daher nicht die gleichen Techniken wie im Kapitel3eingesetzt werden, um die statischen Korrelationen der Geschwindigkeitsfluktuationen zu berech-nen. Es wird aber angenommen, dass die Fl¨ussigkeit sich weiterhin lokal im thermischen Gleichgewicht befindet und dadurch die Fluktuationen des Spannungstensors durch die Scherstr¨omung unver¨andert bleiben [54].
Das Hauptinteresse des vorliegenden Kapitels liegt in denjenigen Fluktuationsbeitr¨agen, die sich auch auf die Brownsche Bewegung eines in der Fl¨ussigkeit gel¨osten Teilchens aus-wirken. Es wird sich zeigen, dass in einem Scherfluss die Kreuzkorrelationhvx(r, t)vy(0,0)i, neben den schon in Abschnitt3.4besprochenen Beitr¨agen f¨ur die ruhende Fl¨ussigkeit, einen zus¨atzlichen Beitrag f¨ur die auf eine Testkugel wirkenden stochastischen Kr¨afte liefert. Da-her soll diese Komponente der Korrelationsmatrix im Fokus der folgenden Betrachtungen stehen.
Im Abschnitt4.1werden hierzu die Bewegungsgleichungen abgeleitet und deren ¨Anderung in Bezug auf die Gleichungen (3.1) f¨ur eine makroskopisch in Ruhe befindlichen Fl¨ us-sigkeit besprochen. In den folgenden Abschnitten 4.2 - 4.8 werden die Korrelationen der transversalen Geschwindigkeitsfluktuationen f¨ur den Fall einer unendlich ausgedehnten, inkompressiblen Fl¨ussigkeit durch Approximation analytisch gel¨ost. Die gew¨ahlte N¨ahe-rungsl¨osung beschreibt aber bereits wesentliche Trends der Geschwindigkeitskorrelationen.
Effekte, die durch den endlichen Abstand d der beiden Beh¨alterw¨ande induziert werden (Wandeffekte), werden bei der numerischen Berechnung der Geschwindigkeitskorrelationen im Kapitel5ber¨ucksichtigt. Die analytische L¨osung liefert demnach die Korrelationen der Geschwindigkeitsfluktuationen an zwei Raumpunkten, als Funktion von deren Abstands-vektors r, der Scherrate und der Reynoldszahl f¨ur unendlich ausgedehnte Gef¨aße.
4.1 Bewegungsgleichungen
Die Gesamtgeschwindigkeitu(r, t) =u0(r) +v(r, t) kann in die station¨are Scherstr¨omung u0(r) = gyˆex und die Fluktuationen v(r, t) zerlegt werden, wobei wiederum hu(r, t)i = u(r) gilt. Die entdimensionalisierten und linearisierten Gleichungen f¨urv(r, t) ergeben sich dann nach Gleichung (2.28) wie folgt:
∂tρ+∂kvk+gy∂xρ= 0,
∂tvi+gy∂xvi
| {z }
(1)
+gvyδix
| {z }
(2)
=−c2∂iρ+ν△vi+ν(α−1)∂i(∂kvk) +FiS. (4.1) Aufgrund des konvektiven Anteils der Navier-Stokes Gleichung f¨ur die Gesamtgeschwin-digkeitu(r, t) tauchen hier in der linearen Gleichung4.1f¨urv(r, t) die beiden mit (1) und (2) bezeichneten und von der Scherrate abh¨angenden Beitr¨age auf. Deren Ursprung soll nochmals kurz erl¨autert werden.
Im Euler-Bild eines ortsfesten Geschwindigkeitsfeldes kann sich die Geschwindigkeit an einem Ortrzwischen den Zeitpunktent′ =t−∆tundtaufgrund von zwei Einfl¨ussen ¨an-dern. Zum einen wird im Zeitraum ∆tein Fl¨ussigkeitselement von der Position r(t−∆t) an den Ort rtransportiert, welches von dem Fl¨ussigkeitsvolumen, das sich zuvor am be-trachteten Ort befunden hat, einen verschiedenen Impuls hat. Zum anderen wirken zum Zeitpunktt(stochastische) Kr¨afte auf das Fl¨ussigkeitsvolumen, und verursachen eine wei-tere ¨Anderung der Geschwindigkeit. Der letzte Beitrag ergibt sich also aus der Differenz der aktuellen Geschwindigkeitu(r, t) und der Geschwindigkeitu(r(t−∆t), t−∆t) am Ort r(t−∆t) zum Zeitpunktt−∆t:
∆tlim→0
1
∆t u(r, t)−u(r(t−∆t), t−∆t)
!
=∂tu(r, t) + d
dtr(t)·∇u(r, t) =∂tu(r, t) + u(t)·∇
u(r, t), (4.2) wobei dies die bekannte konvektive Ableitung beschreibt.
Da in einem fluktuationsfreien Scherfluss die Fl¨ussigkeitsvolumina ihre Position in Rich-tung des Schergradienten (y-RichRich-tung) nicht ¨andern und sich die Geschwindigkeiten aller Fl¨ussigkeitsvolumina mit gleicher y-Position nicht unterscheiden, verschwindet der kon-vektive Anteil (u0·∇)u0 vollst¨andig.
Die stochastischen Kr¨afte rufen hingegen zu verschiedenen Zeiten und an verschiedenen Orten unterschiedliche Fluktuationen der Geschwindigkeit hervor.
• So unterscheidet sich die Fluktuation, die sich zur Zeit t − ∆t am Ort x′ = x−u0;x∆t=x−gy∆t befunden hat und im Zeitraum ∆tan den Ort x transpor-tiert wurde, von derjenigen Fluktuation am Ortx zum Zeitpunktt, da die Fluktua-tionen, wie in Abbildung4.1 (oben) skizziert, von unterschiedlichen stochastischen Kraftdichten erzeugt werden. Die ¨Anderung der Geschwindigkeit ist also gerade die Differenz der beiden Fluktuationen und ist in den Gleichungen (4.1) als Beitrag (1) ber¨ucksichtigt.
4.1 Bewegungsgleichungen
t−∆t t
u0=gy
u0=gy u0=g(y−∆y)
(1)
(2)
Abb. 4.1: Oben: Es tritt eine Geschwindigkeits¨anderung ∆uam betrachteten, gr¨un hinterlegten Ort dadurch auf, dass das rote Fl¨ussigkeitselement, das zum Zeitpunkt t−∆t durch eine Fluktuation im Spannungstensor eine Abweichung von der mittleren Str¨omung erfahren hat, durch diese mittlere deterministische Str¨omung (rot gepunkteter Pfeil) an diesen gr¨un hinterlegten Ort transportiert wird, und eine vom gr¨unen Fl¨ussigkeits-volumen verschiedene Fluktuationsgeschwindigkeit hat. Die ¨Anderung der Geschwin-digkeit ∆uim Zeitraum ∆tist also die durch den blauen Pfeil gekennzeichnete Diffe-renz der beiden Fluktuationsgeschwindigkeiten. Gleiches gilt f¨ur die dazu senkrechten Fluktuationskomponenten. Unten: Hier ¨andert das rote Fl¨ussigkeitselement durch eine Geschwindigkeitsfluktuation iny-Richtung seine y-Position. Dort herrscht eine andere deterministische Str¨omungsgeschwindigkeit, so dass im betrachteten gr¨un hinterlegten Ort eine ¨Anderung der Geschwindigkeit im Zeitraum ∆t, gegeben durch die Differenz der beiden deterministischen Geschwindigkeiten auftritt. Diese ¨Anderung ist durch den blau gepunkteten Pfeil angedeutet.
• Wegen einer ¨Anderung dery-Position ∆y=vy∆tin Abh¨angigkeit von der Fluktua-tionsgeschwindigkeit vy gelangt ein Fl¨ussigkeitsvolumen aus der Fl¨ussigkeitsschicht mit Geschwindigkeitu0(y−∆y) an die Positiony, wo im Mittel die davon verschiede-ne Geschwindigkeitu0(y) vorherrscht. Dieses Fluidvolumen f¨uhrt demnach zu einer Anderung der lokalen Geschwindigkeit und ist in dem Beitrag (2) in Gleichung (4.1)¨ ber¨ucksichtigt und in Abbildung 4.1(unten) dargestellt.
Der im ersten Punkt besprochene und im Beitrag (1) in der Gleichung (4.1) ber¨ ucksichtig-te Term ist also durch die Wirkung der stochastische Kraft an einem anderen Ort und zu einer fr¨uheren Zeit entstanden. Da die stochastischen Kr¨afte nach (2.16b) zu verschiede-nene Zeiten an verschiedenen Orten unabh¨angig voneinander sind, k¨onnte man vermuten, dass die Korrelation des Ausdrucks (1) mit der Geschwindigkeit zum aktuellen Zeitpunkt t, unabh¨angig von der lokalen St¨arke der deterministischen Geschwindigkeit, im Ensem-blemittel verschwindet.
Neben den hier hervorgehobenen ¨Anderungen, die direkt aufgrund der stochastischen Kr¨af-te auftreKr¨af-ten, wechselwirken die bewegKr¨af-ten Fl¨ussigkeitsvolumina mit den benachbarKr¨af-ten Teil-volumen, wodurch auch diese in unterschiedlichste Richtungen bewegt werden und zu lo-kalen ¨Anderungen der Geschwindigkeit f¨uhren. Diese ergeben insbesondere im Zusammen-hang mit der Inkompressibilit¨at weitere komplizierte Kopplungen der Geschwindigkeiten verschiedener Richtungen und somit auch der hervorgehobenen Beitr¨age (1) und (2).
F¨ur die weitere Rechnung ist es hilfreich, die Geschwindigkeitsfluktuationen nach ihrem longitudinalen Anteilvl, mit∇×vl = 0, und ihrem transversalen Anteilvt, mit∇·vt= 0, aufzuspalten:v=vl+vt.
Wie im AnhangAgenau vorgerechnet, lauten die Gleichungen f¨ur die beiden Anteile und die Dichtefluktuationen wie folgt:
(∂t+gy∂x)∇ρ+∇(∇·vl) = 0, (4.3a)
(∂t−να△+gy∂x)△vl+c2△∇ρ+ 2g∂x∇(vyl +vty) +g∂x(∇·vl)ˆey =∇H , (4.3b) ∂t−ν△+gy∂x
△vt+g
△(vty+vyl)−2∂x(∂xvty−∂yvxt)
−△vxl 2∂x(∂yvtz−∂zvty)
=−G. (4.3c) Hierbei gilt wiederG=∇×∇×FS undH =∇·FS mitFiS=∂kξik. Die Geschwindigkei-ten m¨ussen, sofern W¨ande vorhanden sind, noch die Randbedingungen in (2.19) und f¨ur inkompressible Fl¨ussigkeiten außerdem die in (2.20) genannte Bedingung erf¨ullen.
Diese Gleichungen f¨ur die transversalen und longitudinalen Fluktuationsanteile sind im Gegensatz zur ruhenden Fl¨ussigkeit nun gekoppelt.