Der Hauptfokus dieser Arbeit liegt auf der Untersuchung der wech-selseitigen Abh¨angigkeit zwischen den jeweiligen Quadratsummenei-genschaften eines angeordneten K¨orpers und eines endlich erzeugten Erweiterungsk¨orpers vom Transzendenzgrad eins (im Folgenden alge-braischer Funktionenk¨orper genannt). Dabei beschr¨anke ich mich von Anfang an auf Situationen, in welchen der angeordnete Grundk¨orper relativ algebraisch abgeschlossen im Funktionenk¨orper ist (im Folgen-den wird deshalb der Grundk¨orper als Konstantenk¨orper bezeichnet).
Desweiteren beschr¨anke ich mich auf Situationen in denen entweder die Quadratsummeneigenschaften des Konstantenk¨orpers oder die des Funktionenk¨orpers als besonders einfach vorausgesetzt sind.
Im Falle des angeordneten Konstantenk¨orpers ist dieses die Annahme, daß jede Quadratsumme ein Quadrat ist, und dasselbe sogar f¨ur jeden algebraischen Erweiterungsk¨orper gilt. Wir sagen in diesem Fall, daß der Konstantenk¨orpererblich pythagor¨aisch ist. Im Falle des Funktio-nenk¨orpers ist es die Annahme, daß jede Quadratsumme eine Summe von zwei Quadraten ist.
F¨ur einen gegebenen K¨orper nennt man (falls existent) die kleinste nat¨urliche Zahl n mit der Eigenschaft daß jede Quadratsumme eine Summe von n Quadraten ist, die Pythagoraszahl des K¨orpers. Eine Reihe von mathematischen Resultaten, welche die vorliegende Arbeit motiviert haben, legt die Vermutung nahe, daß die Pythagoraszahl eines algebraischen Funktionenk¨orpers ¨uber einem erblich pythagor¨aischen Konstantenk¨orper den Wert zwei oder drei hat, und daß umgekehrt die Existenz eines algebraischen Funktionenk¨orpers mit Pythagoraszahl zwei die erbliche Pythagor¨aizit¨at des Konstantenk¨orpers erzwingt.
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Die vorliegende Arbeit bleibt einen allgemeinen Beweis dieser vermu-teten Implikationen schuldig, jedoch vergr¨oßert sie den Kreis der un-terst¨utzenden Beispiele erheblich. Im Folgenden geben wir einen R¨ uck-blick auf die zentralen Ergebnisse der vorliegenden Arbeit im Kontext bereits bekannter Resultate.
Es geht auf ein Resultat von Witt zur¨uck, daß die Pythagoraszahl eines algebraischen Funktionenk¨orpers mit reell abgeschlossenem Konstan-tenk¨orper den Wert zwei hat. Man bemerke, daß reell abgeschlossene K¨orper insbesondere eindeutig angeordnet und erblich pythagor¨aisch sind - K¨orper mit letztgenannten Eigenschaften bezeichnet man auch alserblich euklidisch.
Aus einem Resultat [EW87, Theorem] von Elman und Wadsworth folgt, wie von Becher und Van Geel in [BG09, 4.6] gezeigt, daß sich Witts Resultat auf algebraische Funktionenk¨orper mit erblich eukli-dischen Konstantenk¨orpern ausdehnt - und im ¨ubrigen nur auf diese:
schon ¨uber jedem erblich pythagor¨aischen Konstantenk¨orper mit mehr als einer Anordnung gibt es algebraische Funktionenk¨orper mit Py-thagoraszahl drei, etwa der nichtangeordneten Funktionenk¨orper vom Geschlecht null (siehe [BG09, 4.7]). Desweiteren fand bereits Tikhonov (siehe Beispiel 6.9) einen angeordneten algebraischen Funktionenk¨orper vom Geschlecht eins ¨uber dem K¨orper der reellen formalen Laurantrei-hen, dessen Pythagoraszahl mindestens drei ist. Der K¨orper der reellen formalen Laurantreihen ist erblich pythagor¨aisch und besitzt zwei An-ordnungen.
Ausgehend von diesem Beispiel geben Becher und Van Geel eine Klasse
¨ahnlicher Beispiele [BG09, 5.14]. Die naheliegende Frage [BG09, 5.15]
nach dem genauen Wert der Pythagoraszahl im Beispiel von Tikhonov wird in der vorliegenden Arbeit beantwortet: Theorem 6.7 zeigt, dass die Pythagoraszahl jedes algebraischen Funktionenk¨orpers ¨uber den re-ellen formalen Laurentreihen den Wert zwei oder drei hat.
Dar¨uber hinaus haben bereits Becher und Van Geel f¨ur spezielle Bei-spiele ([BG09, 5.11]) untersucht, wieviele Quadratsummen in einem solchen Funktionenk¨orper keine Summe von zwei Quadraten sind, ge-nauer wurde in diesen F¨allen eine obere Schranke f¨ur die maximale Anzahl von Quadratsummen gegeben, die sich paarweise nicht durch Multiplikation mit Summen von zwei Quadraten ineinander ¨uberf¨uhren lassen. Die Frage nach der generellen Endlichkeit dieser oberen Schran-ke stellt sich von selbst.
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In Theorem 6.4 bestimme ich die maximale Anzahl von Summen von drei Quadraten, welche sich auch nach Multiplikation mit einer be-liebigen Summe von zwei Quadraten paarweise unterscheiden. Diese Anzahl ist endlich und in vielen F¨allen effektiv berechenbar und liefert damit insbesondere eine systematische Methode, um in vielen F¨allen zu entscheiden, ob ein gegebener algebraischer Funktionenk¨orper Py-thagoraszahl zwei oder drei besitzt - dieses wird am Ende des letzten Kapitels an einigen Beispielen demonstriert.
Die Methode, die wir zum Beweis der genannten Theoreme 6.4 & 6.7 verwenden, basiert auf sogenannten Patching-Resultaten f¨ur prinzipal-homogene R¨aume rationaler algebraischer Gruppen ¨uber arithmeti-schen Kurven ¨uber vollst¨andigen Bewertungsringen [HHK09], gefun-den von Harbater, Hartmann und Krashen. Ich entwickele daraus ei-ne eigeei-ne Variante eiei-nes Lokal-Global-Prinzips f¨ur quadratische For-men ¨uber algebraischen Funktionenk¨orpern ¨uber formalen Laurantrei-henk¨orpern (siehe Theorem 5.2), welche dann in den Beweisen der Theoreme 6.4 & 6.7 auf die eine oder andere Art zum Einsatz kommt.
Leider beschr¨ankt sich diese Methode auf den arithmetischen Fall, das heißt es bleibt unklar, ob der K¨orper der reellen formalen Laurantreihen in den Aussagen der Theoreme 6.4 & 6.7 durch einen beliebigen erb-lich pythagor¨aische Konstantenk¨orper ersetzt werden kann. Hierzu gibt es nur vereinzelte Ergebnisse. So hat zum Beispiel Becker in [Bec78, Chap. III, Theorem 4] gezeigt, daß die Pythagoraszahl eines angeordne-ten rationalen algebraischen Funktionenk¨orpers genau dann den Wert zwei hat, wenn der Konstantenk¨orper erblich pythagor¨aisch ist.
Tikhonov und Yanchevsk˘ıi [TY05] haben die Beweisidee von Becker auf algebraische Funktionenk¨orper von Geschlecht null ausgedehnt und gezeigt, daß die Pythagoraszahl eines angeordneten algebraischen Funk-tionenk¨orpers vom Geschlecht null mit erblich pythagor¨aischen Kon-stantenk¨orper stets den Wert zwei hat. Allerdings geht bei der Ausdeh-nung dieser Beweisidee der Zugang zur umgekehrte Implikation verlo-ren, so daß die naheliegende Frage ob denn jeder algebraische Funktio-nenk¨orper vom Geschlecht null und Pythagoraszahl zwei einen erblich pythagor¨aischen Konstantenk¨orper besitzt, nicht beantwortet wurde.
Die positive Antwort liefer ich mit Theorem 4.15 nach. Insbesonde-re weiß man nun, daß allein der Konstantenk¨orper (im Zusammenspiel mit der Existenz oder Nichtexistenz einer Funktionenk¨orperanordnung) dar¨uber entscheidet ob die Pythagoraszahl eines beliebigen algebrai-scher Funktionenk¨orpers vom Geschlecht null den Wert zwei annimmt.
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Anschließend entwickele ich das Ergebnis noch einen Schritt weiter: Ich untersuche die Klasse der Funktionenk¨orper von sogenannten Cassels-Catalan Kurven. Diese Klasse enth¨alt alle Funktionenk¨orper vom Ge-schlecht null und zudem jeweils viele von beliebigem GeGe-schlecht. Die meisten der Funktionenk¨orper von Cassels-Catalan Kurven h¨oheren Geschlechts erlauben keine Stelle ungeraden Grades - genau wie fast alle algebraischen Funktionenk¨orper vom Geschlecht null. Ich zeige in Theorem 4.10, daß die Pythagoraszahl eines solchen Funktionenk¨orpers nur dann den Wert zwei haben kann, wenn der Konstantenk¨orper erb-lich pythagor¨aisch ist.
Zum selben Schluß, allerdings im nahezu disjunkten Fall algebraischer Funktionenk¨orper mit Stellen ungeraden Grades, sind bereits Becher und Van Geel in [BG09, 4.3] gekommen und sie haben die Frage nach dessen generellen G¨ultigkeit [BG09, 4.4] aufgeworfen: Hat jeder alge-braische Funktionenk¨orper mit Pythagoraszahl zwei einen erblich py-thagor¨aischen Konstantenk¨orper? Meine Ergebnisse liefern also neue Indizien f¨ur eine positive Antwort.
Die Methode, mit denen ich die Theoreme 4.10& 4.15 beweisen, entwi-ckel ich im dritten Kapitel. Dort nehme ich mir die bekannte Tatsache genauer unter die Lupe, daß ein algebraischer Funktionenk¨orper vom Geschlecht null ein generischer Zerf¨allungsk¨orper f¨ur eine Quaternio-nenalgebra ist. Man beobachtet, daß eine endlich separable Erweite-rung des Konstantenk¨orpers, welcher die Quaternionenalgebra zerf¨allt, nicht nur das Ziel einer Stelle vom Funktionenk¨orper ist, sondern daß es sogar eine surjektive Stelle dieser Art gibt. Das zugeh¨orige Theorem 3.38 bedient sich zwar einer leicht abweichenden Terminologie und ist etwas genereller, entspricht aber im eindimensionalen Spezialfall genau dem eben Beschriebenen. Es erlaubt einen knappen und konzeptuel-len Beweis, von Theorem 4.15. Der Beweis von Theorem 4.10 hingegen ist technisch aufwendiger und verwendet nur ein Zwischenresultat auf dem Weg zum Zerf¨allungstheorem. Am Ende des ersten Abschnitts des vierten Kapitels pr¨asentiere ich erg¨anzend einen Beweis der auf die-sen geometrischen Zugang verzichtet und eher kombinatorisch gef¨uhrt wird.
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