Zielfunktion des LP-Modells

Die Zielfunktion des Modells wurde schon in vorherigem Kapitel dargestellt.¹⁸⁵

Die Formulierung der Zielfunktion (3-35) und (3-36) wird für das illustrierede Beispiel durch die folgende Formulierung transformiert: Die Formulierung der Auszahlungsüberschüsse der Investitionsprojekte in Periode T kann statt

∑

⁻

a

(dabei ist N´-1 die Anzahl der bereits aufgenommenen und gegenwärtig zur Auswahl stehenden plus der Anzahl der neu hinzukommenden Investitionsprojekte) dargestellt werden, weil die vom Planungszeitpunkt t = 0 begonnenen Investitionsprojekte i (IOi) (i = 1,..., n) der ersten Simultanplanung im letzten Planungszeitpunkt T+1 (in diesem Fall T + 1 = 4) nach der Wiederholung der neuen Investitionsprojekte nicht mehr vorhanden sind.¹⁸⁶ Der erste Planungshorizont T wird als Grundlage des Planungszeitraums angesehen. Der Planungshorizont der zweiten Simultan-planung wird bis T + 1 strukturiert. Die Formulierung der Investitionsprojekte wird auf das neue Investitionsprogramm umgestellt. Daraufhin ist die in t = 0 aufgrund des ersten Investitions- und Finanzierungsprogramms getroffene Entscheidung zu beachten, da die realisierte Entscheidung der Investitionsprojekte im Zeitpunkt t = 0 feststeht.

Diese Formulierung berücksichtigt, dass Datenbeschaffungen der ersten Simultanplanung von Anfang an und der zweiten Simultanplanung vom Planungszeitpunkt t = 1 an erfasst werden. In diesem Sinne liegt jetzt eine größere Anzahl an Investitionsprojekten im Zeitpunkt t = 0 und T + 1 vor. Anschließend muss die Anzahl der Einheiten des

185 Siehe (3-32) und (3-33) in Kapitel 3.2.2.1.2.

186 Die Zielfunktion der Modellvorstellung lässt sich auf unterschiedliche Weise formulieren.

Die obige Formulierung ist auf die erste Simultanplanung angewiesen. Siehe Zeile Z4 in Tab. 4-9 um ein Jahr verschobene Investitionsplanungen.

Investitionsprojekts von (N´-1) im Zusammenhang mit dem Ausgangstableau der Simultanplanung neu formuliert werden. Durch die identische Wiederholung der Investitionsprojekte wird die gesamte Anzahl der Einheiten des Investitionsprojekts verdoppelt, die sich auf das erste Investitions- und Finanzierungsprogramm im Ausgangs-tableau des Simplex-Algorithmus bezieht. Aufgrund der aus dem Investitions- und Finanzierungsprogramm im Ausgangstableau des Simplex-Algorithmus stammenden Anzahl der Einheiten des Investitionsprojekts müssen Interdependenzen zwischen erster und zweiter Simultanplanung beachtet werden. Folglich sind die obigen Formulierungen von der Periode t abhängig.

Die anfänglich angegebenen Zinssätze (aus Tab. 4-4) der jeweiligen Finanzierungsprojekte bleiben zwar unverändert aber die Auszahlungsüberschüsse je Einheit des Finanzierungs-projekts m im Zeitpunkt t werden nach der Erweiterung des Planungshorizonts mit dazu passenden Kostensätzen der Finanzierungsprojekte neu berechnet.

Dadurch werden die Parameter der Auszahlungsüberschüsse je Einheit des projekts m im Zeitpunkt t im Planungshorizont T + 1 als Kostensätze der Finanzierungs-projekte in

d '

m^,t geändert. Die gesamten Investitions- und Finanzierungsprogramme werden für sämtliche Perioden durch die zeitlichen Abhängigkeiten der Finanzierungs-programme berücksichtigt.

Die finanzwirtschaftlichen Nebenbedingungen setzen sich aus Liquiditäts- und Projekt-bedingungen sowie den zeitabhängigen spezifischen Bedingungen zusammen.

Die Formulierung des illustrierenden Beispiels in Teilperiode t = 0 lautet wie folgt:

∑

=

Diese vereinfachte Formulierung¹⁸⁷ bezieht sich auf die vorherige Entscheidung der ersten Simultanplanung des Investitions- und Finanzierungsprogramms.

(4-13) Zu Beginn der ersten Simultanplanung ist die Anzahl der Einheiten des Investitions-projekts N-1. Die Anzahl der Einheiten des InvestitionsInvestitions-projekts ab t = 1 soll in der ganzen Simultanplanung neu definiert werden.

Ab Teilperiode t = 1 muss die Anzahl der Einheiten des Investitionsprojekts aus der Optimallösung der ersten Simultanplanung zu den gesamten Investitions- und Finanzierungsprogrammen bei Wiederholungen des simultanen Programms eingerechnet werden. Folglich wird die Anzahl der Einheiten des Investitionsprojekts durch N′ -1 beschrieben.

Bei dem illustrierenden Beispiel gibt es am Anfang der Simultanplanung sieben Investitionsprojekte, die Achte ist eine Finanzinvestition.

(4-14) Im Vergleich mit obiger Teilperiode t = 0 werden nicht nur die Anzahl der Investitionsprojekte sondern auch die Kostensätze der Finanzierungsprojekte ab der Teilperiode t = 1 in Liquiditätsnebenbedingungen nach den Umweltzuständen berücksichtigt.

Sowohl durch die zu realisierenden Einheiten des Investitionsprojekts

x

ⁿ und dem zu realisierenden Umfang des Finanzierungsprojekts

y

^m (m = 1,…, M) aus der vorperiodischen Entscheidung im Zeitpunkt von t = 0 als auch durch das wiederholte Investitions- und Finanzierungsprojekt im Zeitpunkt von t = 1 wird eine neue Simultanplanung aufgebaut.

Dabei werden die anfänglichen Kostensätze der Finanzierungen im Zeitpunkt von t = 1 neu gerechnet, weil in der anfänglichen Simultanplanung in der Teilperiode t = 0 zukünftige Umweltänderungen nicht berücksichtigt werden konnten.

Die finanzwirtschaftlichen Nebenbedingungen setzen sich aus Liquiditäts-, Projekt- und den zeitabhängigen spezifischen Bedingungen zusammen.

Die maximal realisierbaren Einheiten des Investitionsprojekts bei dem wiederholten simultanen Programm beträgt elf durch die Einberechnung des zu realisierenden Investitionsprojekts (IO2) aus der vorperiodischen Optimallösung und den zwei zur Wahl stehenden Investitionsprojekten (IO6 und IO7) sowie dem wiederholten simultanen Programm (von IO1 bis IO7) und der kurzfristigen Finanzinvestition.

187 Siehe Tab.4-6 Optimallösungen im Planungshorizont T = 3 und Einsatz des Eigenkapitals in t = 0.

Die maximal realisierbaren Einheiten des Investitionsprojekts werden durch das neue Zeichen von _N′ dargestellt.

Anschließend ist Finanzinvestition

x

^(11),1 vorhanden und es sollte die nachstehende Periode t = 2 mit der aufgezinsten kurzfristigen Finanzinvestition fortgesetzt werden.¹⁸⁸

Für t = 1

( Aus der ersten Simultanplanung von Investitionsprojekten ) (Aus der zweiten Simultanplanung von Investitionsprojekten ) ----

Die Formulierung besteht in der ersten Simultanplanung des Planungszeitraums von t = 0 bis 3 und dem in der Periode t = 1 zur Wahl stehenden neuen Investitions- und Finanzierungsprogramm. Die Zahlungsüberschüsse der in t = 0 aufgenommenen Investitionsprojekte

∑

^′−

a

n

x

ⁿ aus erster Simultanplanung sind in jeder Teilperiode unverändert zu realisieren. In Zeitpunkt t = 1 werden die Zahlungsüberschüsse der zur Wahl stehenden Investitionsprojekte

∑

^′−

a

, die aus der ersten Simultanplanung stammen, und die Zahlungsüberschüsse der zur Wahl stehenden Investitionsprojekte

∑

⁻

=

x

ⁿ der zweiten Simultanplanung der identisch wiederholten ersten Investitionsprojekte in den Zeiträumen von t = 1 bis zu dem Planungshorizont T+1 für die neue Optimallösung

188 Im diesem Fall des Modells sind kurzfristige Finanzinvestitionen nicht relevant außer der letzten kurzfristigen Finanzinvestition, weil die neue Optimallösungen durch Änderungen der periodischen Simultanplanung in jeder Periode nötig sind. Dabei sind sie ausschließlich im Planungshorizont von Bedeutung. Wenn sie durch Restriktion in den Nebenbedingungen dargestellt würden, dann wird die Optimallösung beeinträchtigt.

ermittelt. Die neue Formulierung der Simultanplanung in Zeitpunkt t = 1 ist abhängig von der ersten Simultanplanung. Hierbei werden die Zahlungsüberschüsse der zur Wahl stehenden Investitionsprojekte

∑

^′−

a

n

x

ⁿ in der zweiten Simultanplanung aus den Zahlungsüberschüssen der Investitionsprojekte

∑

⁻

a

n

x

ⁿ der ersten Simultanplanung übernommen. Dabei erstreckt sich der neue Planungshorizont auf T + 1.

-Finanzierungsprojekte:

Die in der Teilperiode t = 0 angewendeten Kostensätze der Finanzierungsprojekte müssen ab Teilperiode t = 1 durch die neuen Kostensätze berechnet werden. Ab Zeitpunkt t = 1 sind für die Auszahlungen der Finanzierungsprojekte die veränderten Kostensätze der Finanzierungsprojekte wegen der Erweiterung des Planungshorizontes zu beachten. Daraus folgt, dass die Auszahlungen zum Zeitpunkt t = 1 mit den erneuerten Kostensätzen

∑

=

'

zum Vergleich mit dem Zeitraum t =0 unterschiedlich angewendet werden.

In dieser Modellvorstellung werden die Finanzierungsprojekte (FOi, i = 1, 2, 3, und 4) mit Höchstgrenzen jeweils mit Tilgungen und Zahlungen bis zum Planungshorizont angenommen: Bei der Erweiterung der Simultanplanung werden die Finanzierungsprojekte jeweils mit gleichem Tilgungssatz verlängert.¹⁸⁹

Die zeitliche Abhängigkeit der Finanzierungsprojekte wird bei der Wiederholung über angegebene Zinssätze modifiziert. In dieser Modelldarstellung wird es zur Reduktion zur Komplexität vereinfacht.

- Finanzinvestition:

Nach dem Modell wird die Anzahl der Investitionsprojekte in der Teilperiode von t = 1 bis T+1 zwar in Tableau 4-9 verdoppelt, aber für die Anzahl der realisierten Einheiten der Investitionsprojekte zählen nur die in t = 0 aufgenommenen Investitionsprojekte und die zur Wahl stehenden Investitionsprojekte in t = 1.

Die kurzfristige Finanzinvestition der ersten und zweiten Simultanplanung nach den

189 Vgl. Illustrierendes Beispiel für Finanzierungsprojekte in Kapitel 2.2.3 und Tab 3-3 in Kapitel 3.2.1.2.

Optimallösungen muss nicht zwingend identisch bleiben.¹⁹⁰ Auf jeden Fall sind die Bedingungen der Finanzinvestitionen der nachstehenden Simultanplanung wegen Zulassung einer neuen Optimierung in den Investitions- und Finanzierungsprogrammen nicht zu berücksichtigen.

Für 2 ≤ t ≤ T

( Aus der ersten Simultanplanung von Investitionsprojekten ) (Aus der zweiten Simultanplanung von Investitionsprojekten ) --- ---

Dabei sollen die realisierten vorperiodischen Entscheidungen der Investitions- und Finanzierungsprojekte der ersten und zweiten Simultanplanung sowie die zur Auswahl stehenden Investitionsprojekte der zweiten Simultanplanung beachtet werden.

(4-15) In Periode t = T wird die erste Simultanplanung der Investitions- und Finanzierungs-programme abgeschlossen.

Zahlungsüberschüsse der Investitionsprojekte der zweiten Simultanplanung werden sowohl als Zahlungsüberschüsse der in t = 1 realisierten Investitionsprojekte als auch als die in Zeitpunkt t = 2 zur Wahl stehenden Investitionsprojekte interpretiert.

190 Falls sie identisch sein soll, könnten Schwierigkeiten bei der Suche nach der Optimallösung auftreten.

Wenn sie nicht identisch sind, widerspricht die von der Vorperiode abhängige kurzfristige Finanz-investition in der Realität den periodischen Entnahmen der Finanzierung im betrachteten Modell. Es ist bei der Simultanplanung möglich, dass das neu eingesetzte Eigenkapital mit modellendogenen Kalkulationszinssätzen und Kostenzinssätzen der Finanzinvestition ausschließlich in der betrachteten Periode aus der gesamten Simultanplanung kalkulatorisch ergänzt werden kann, damit die kurzfristige Finanzinvestition der Zweiten der Optimallösungen unter Bedingung der Abhängigkeit der ersten Finanzinvestition der Vorperiode identisch sein kann. Es werden modellspezifische Nebenbedingungen notwendig, um die Realitätsnähe der in der Vorperiode getroffenen Entscheidung zu erreichen und um den Widerspruch mit der gegenwärtigen Entscheidung zu vermeiden. Bei der Suche nach der Vorteilhaftigkeit der Vermögendsendwerte ist diese Frage in diesem Fall nicht relevant.

Wie oben erläutert, lassen sich die Zahlungsüberschüsse der Finanzierungsprojekte der ersten Simultanplanung auf unterschiedliche Weise darstellen. Gemäß den angegebenen Bedingungen der Finanzierungsmöglichkeiten und Verbindlichkeiten werden die Zahlungs-überschüsse der Finanzierungsprojekte der ersten Simultanplanung und der gesamten Simultanplanung in den Zeiträumen von zwei bis T unterschiedlich berücksichtigt.

Für T+1

Die Formulierung des illustrierenden Beispiels in jeder Teilperiode 2 ≤ t ≤ T lautet wie folgt:

Anschließend wird in der Teilperiode T+1, der letzten Periode, der maximale Vermögens-endwert gesucht. Der VermögensVermögens-endwert wird durch die Zahlungsmittelüberschüsse bzw.

der letzten hypothetischen kurzfristigen Finanzinvestition dargestellt. Der Zahlungs-überschuss der Investitionsprojekte der letzten Periode

∑

^′−

=

identischen Zahlungsstrom der ersten Simultanplanung bezogen und im Zeitablauf formuliert. Er wird als

∑

^′

, * im Zeitpunkt T+1 umformuliert. In diesem Fall wird die Anzahl der Einheiten des Investitionsprojekts N´ neu definiert.

y

^m ≥ 0 für m = 1,..., M (4-21)

x

^(N),t ≥ 0 für t = 0,..., T-1 bzw. T für die erste Simultanplanung (4-22)

x

^N´-1,t ≥ 0 für t = 0,..., T bzw. T+1 für die gesamte Simultanplanung (4-23) Die vereinfachte Beschreibung des illustrierenden Beispiels der Projektnebenbedingungen (4-17), (4-18) und (4-20) lautet wie folgt:

x

^{n ≤}

^X

⁽¹⁰⁾ für n = 1,..., (N´-1) und die aufgenommenen (IO2) sowie zur Wahl

stehenden Investitionsprojekte (IO6, IO7 und wiederholte IOn) für die gesamte Simultan-planung. In diesem Fall ist die oben beschriebene Projektbedingung genauer als

x

^{n ≤}

^X

⁽¹⁵⁾. Alle Investitionsprojekte erhalten Nichtnegativitätsbedingungen. Die Projekt-bedingungen besagen, dass Investitionsprojekte zeitlich getrennt werden. Projektbedingung (4-17) ist für den Zeitraum von t = 0 bis T begrenzt,¹⁹¹ (4-18) gilt für die Zeiträume von t = 0 bis T+1 nach der Wiederholung der Investitions- und Finanzierungsplanung. Alle Investitions- und Finanzierungsprojektbedingungen zeigen, dass die Anzahl der Einheiten aller Investitionsprojekte

x

ⁿund (4-19) Finanzierungsprojekte

y

m eine Höchstgrenze nicht überschreiten dürfen. Die Bedingungen (4-20) bis (4-23) fordern, dass Nichtnegativitäts-bedingungen für die Investitionsprojekte

x

ⁿ, die Finanzierungsprojekte

y

^{m und die}

kurzfristigen Finanzinvestitionen

x

^N´,t (in diesem Fall

x

^(8),t in der ersten Simultan-planung) eingehalten werden müssen.

(4-23) Das Ausmaß der Realisierung der gesamten kurzfristigen Finanzinvestitionen im Zeitraum von t = 1 bis T + 1 ist unabhängig von der ersten kurzfristigen Finanzinvestition.

Die Bedingungen (4-18), (4-20) und (4-23) sind zu Beginn der Simultanplanung in t = 0 noch nicht bekannt, weil die zweiten Investitions- und Finanzierungsprojekte zu diesem Zeitpunkt noch nicht betrachtet werden dürfen.

Im Dokument Simultane Planung von Investitions- und Finanzierungsprogrammen bei mehrfacher Entscheidungsfolge (Seite 132-139)