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Wavelet-Filterb¨ anke und Wavelet-Shrinkage

Als wirksames Werkzeug zur Zeit-Frequenz-Analyse wird die Wavelet-Transformation zur Entst¨orung und Kompression in der Signal- und Bildverarbeitung gerne genutzt.

Dabei zeichnet sich die Wavelet-Transformation gegen¨uber der verwandten Fourier-Transformation durch eine verbesserte Lokalisierung im Zeitbereich aus. Weiterhin profi-tiert die (diskrete) Wavelet-Transformation von der Existenz effizienter Algorithmen zur

”schnellen Wavelet-Transformation“. Dieser Abschnitt soll in aller K¨urze das allgemei-ne Prinzip eiallgemei-ner Wavelet-Filterbank einf¨uhren. Wir beschr¨anken uns auf eine Betrach-tung der diskreten Wavelet-Transformation. F¨ur weitere Ausf¨uhrungen zur Wavelet-Transformation in der Signal- und Bildverarbeitung sei etwa auf die B¨ucher von Mallat [93] und Daubechies [37] verwiesen.

Einf¨uhrende Definitionen

Wir halten zun¨achst den Begriff der Riesz-Basis sowie eine Notation f¨ur die Dilatation bzw. Translation einer Funktion fest, um anschließend Wavelets zu definieren.

Definition 2.48 • Sei H ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt h·,·i. Ein System {ψk}k∈I ⊂ H mit einer h¨ochstens abz¨ahlbaren IndexmengeI heißt Riesz-Basis von H, wenn die folgenden Bedingungen gelten.

1. Die lineare H¨ulle von {ψk}k∈I liegt dicht in H.

2. Es existieren Konstanten0< A≤B <∞, sodass f¨ur jede Folgec= (ck)k∈I ∈ l2(I)

Akck2l2(I)≤ kX

k∈I

ckψkk2H ≤Bkck2l2(I)

erf¨ullt ist.

• Wir nennen {ψ˜k}k∈I die duale Riesz-Basis zur Riesz-Basis {ψk}k∈I, falls {ψ˜k}k∈I

eine Riesz-Basis von H mit

hψ˜k, ψk0i=δk,k0 :=

(1 f¨ur k =k0 0 sonst ist.

Bemerkung 2.49 1. Jede Basis besitzt eine eindeutig bestimmte duale Riesz-Basis.

2. Riesz-Basen weichen das Konzept der Orthonormalbasen auf. Nach Eigenschaft 1 ist eine Riesz-Basis ein vollst¨andiges Erzeugendensystem von H. Eigenschaft 2 stellt eine Verallgemeinerung der Parsevalschen Ungleichung f¨ur Orthonormalba-sen dar. Die Biorthogonalit¨at der Elemente einer Riesz-Basis zu den Elementen

der zugeh¨origen dualen Riesz-Basis verallgemeinert die Orthonormalit¨at der Ele-mente einer Orthonormalbasis.

Notation 2.50 F¨ur ψ ∈L2(R) und j, k ∈Z sei im Folgenden ψj,k := 2j/2ψ(2j· −k).

Definition 2.51 Eine Funktionψ ∈L2(R)heißt Wavelet (im Sinn der diskreten Wavelet-Transformation) genau dann, wenn

• {ψj,k :j, k ∈Z} eine Riesz-Basis von L2(R) bildet, und

• eine Funktion ψ˜ ∈ L2(R) existiert, sodass {ψ˜j,k : j, k ∈ Z} die zugeh¨orige duale Riesz-Basis von L2(R) darstellt.

Bei den Funktionen ψ und ψ˜ spricht man auch von biorthogonalen Wavelets. Fallen ψ und ψ˜zusammen, nennt man ψ = ˜ψ ein orthogonales Wavelet.

Bemerkung 2.52 Mit gegebenen biorthogonalen Waveletsψundψ˜l¨asst sich eine Funk-tion f ∈L2(R) in

f = X

j,k∈Z

hf, ψj,kiψ˜j,k = X

j,k∈Z

hf,ψ˜j,kj,k entwickeln.

Filterb¨anke perfekter Rekonstruktion

Wir gehen im Folgenden auf den Zusammenhang zwischen Wavelets und Filterb¨anken ein, welcher die Grundlage f¨ur die schnelle Wavelet-Transformation darstellt. Dazu erl¨autern wir zun¨achst, was wir unter einer Filterbank verstehen.

Abbildung 2.1 zeigt eine Zweikanal-Filterbank. Gegeben sei ein digitales Signal c ∈ l(Z) sowie die Filter h, g,h,˜ g˜∈l2(Z). Dabei bezeichnen l(Z) und l2(Z) die ¨ublichen Folgenr¨aume, d.h.

l(Z) :={c= (ck)k∈Z : sup

k∈Z

|ck|<∞}

l2(Z) := {h= (hk)k∈Z :X

k∈Z

|hk|2 <∞}.

c

Wir definieren die zugeh¨origen SymboleH, G,H,˜ G˜ der Filter durch H(ω) :=X

Es ist ebenso ¨ublich, die Symbole H, G,H,˜ G˜ als Filter zu bezeichnen und die Folgen h, g,˜h,˜g als Filterfolgen. Wir beschr¨anken uns auf den Fall, in dem h, g,h,˜ g˜sogenannte FIR-Filter gem¨aß folgender Definition sind.

Definition 2.53 Eine Folge h= (hk)k∈Z ∈l2(Z) heißt Filter mit endlicher Impulsant-wort, kurz FIR-Filter (engl. finite impulse response filter), wenn nur endlich viele der Komponenten hk von Null verschieden sind.

Bemerkung 2.54 Bei Termen wie P

k∈Zhk handelt es sich im Folgenden daher ei-gentlich um endliche Summen, sodass sich die Frage nach Konvergenz dieser formal unendlichen Reihen nicht stellt.

Zerlegungsseite einer Filterbank (Analyse) In der Zweikanal-Filterbank wird das Eingangssignal c zun¨achst mit dem Filter (¯h−k)k∈Z bzw. (¯g−k)k∈Z in Form einer Fol-genfaltung gefiltert. Die Verwendung der komplex konjugierten Filter erfolgt dabei aus formalen Gr¨unden. Man beachte, dass die Folgenfaltung einer Multiplikation im Sym-bolbereich entspricht. Auf die Resultate wird weiterhin der Downsampling-Operator

↓2 :l(Z)→l(Z) mit

↓2((ck)k∈Z) := (c2k)k∈Z

f¨ur (ck)k∈Z∈l(Z) angewendet. Somit erh¨alt man Folgen c1, d1 ∈l(Z) mit c1 = (X

k∈Z

ckk−2n)n∈Z

d1 = (X

k∈Z

ckk−2n)n∈Z.

In der Anwendung werden die Filter so gew¨ahlt, dass die Filterung eine Trennung des Signals in Hoch- und Tiefpassanteil bewirkt. Das Downsampling bewirkt ein L¨oschen jeder zweiten Komponente der Hoch- bzw. Tiefpasskoeffizienten.

Rekonstruktionsseite einer Filterbank (Synthese) Soweit wurde die Zerlegungsseite einer Filterbank beschrieben. Es folgt die Rekonstruktionsseite. Zun¨achst wendet man den Upsampling-Operator ↑2 :l(Z)→l(Z) mit

↑2((ck)k∈Z) =

(ck fallsk gerade 0 fallsk ungerade

f¨ur (ck)k∈Z ∈ l(Z) auf die Tiefpasskoeffizienten c1 bzw. die Hochpasskoeffizienten d1 an. Danach erfolgt eine Filterung mit dem Filter ˜h bzw. ˜g. Die resultierenden Folgen werden addiert, um eine Folge ˜c∈l(Z) zu erhalten, d.h.

˜

c= (X

k∈Z

c1kn−2k+X

k∈Z

d1k˜gn−2k)n∈Z.

Dieses Signal ˜c stellt eine - m¨oglicherweise fehlerbehaftete - Rekonstruktion des Aus-gangssignals c dar. Wir interessieren uns f¨ur sogenannte Filterb¨anke perfekter Rekon-struktion, welche eine fehlerlose RekonRekon-struktion, die sich bei speziellen Konstellationen der Filter ergibt, liefern.

Definition 2.55 Eine Filterbank, wie bisher beschrieben, heißt Filterbank perfekter Re-konstruktion, falls

c= ˜c f¨ur jedes Eingangssignal c∈l(Z) gilt.

Iterative Filterb¨anke und Zusammenhang mit Wavelets Die bisherige Betrachtung umfasst nur ein einziges Zerlegungslevel. ¨Ublicherweise verwendete man mehrere Zerle-gungslevel, welche man durch iterative Anwendung der Filterbank auf die Folgen der

c

Abbildung 2.2: Eine iterative Filterbank mit zwei Zerlegungsleveln.

Tiefpass-Koeffizienten erreicht. Abbildung 2.2 illustriert eine iterative Filterbank mit zwei Zerlegungsleveln.

Es besteht ein direkter Zusammenhang zwischen Filterb¨anken perfekter Rekonstruktion und Wavelets gem¨aß des folgenden von Cohen et al. bewiesenen Satzes (vgl. [30]).

Satz 2.56 Gegeben sei eine aus FIR-Filtern H, G,H,˜ G˜ mit der Normierung X

bestehende Filterbank perfekter Rekonstruktion. Zus¨atzlich seien die beiden folgenden Bedingungen 1 und 2 erf¨ullt.

1. Es gebe strikt positive trigonometrische Polynome P und P˜, sodass

|Hω

Es existieren dann sogenannte Skalierungsfunktionenφ,φ˜∈L2(R), deren Fourier-Trans-formierte den Funktionalgleichungen

gen¨ugen. Weiterhin sind die gem¨aß

definierten Funktionen ψ,ψ˜∈L2(R) biorthogonale Wavelets.

Beispiel 2.57 Wir betrachten drei Beispiele f¨ur Wavelet-Filterb¨anke. Die angegebenen Filterkoeffizienten weisen dabei jeweils die Normierung P

k∈Zhk =√ 2 auf.

1. Das einfachste und ¨alteste Beispiel f¨ur ein Wavelet, stellt das von Haar [60] ein-gef¨uhrte Haar-Wavelet dar. Das Haar-Wavelet ist ein orthogonales Wavelet. Filte-rung eines Signals mit dem Haar-Tiefpass-Filter liefert (bis auf Vorfaktor) arith-metische Mittelwerte zweier aufeinanderfolgender Signalwerte. Filterung mit dem Haar-Hochpass-Filter liefert (bis auf Vorfaktor) Differenzen zweier aufeinanderfol-gender Signalwerte. Die Skalierungsfunktion φ des Haar-Wavelets ist die Indika-torfunktion des Einheitsintervalls [0,1), d.h.

φ(x) =

(1 falls 0≤x <1

0 sonst ,

und die zugeh¨orige Wavelet-Funktion ψ ist die st¨uckweise konstante Funktion

ψ(x) =

2. Sehr bew¨ahrt f¨ur die Anwendung in der Bildentst¨orung haben sich die symme-trischen, biorthogonalen Cohen-Daubechies-Feauveau-9/7-Filter (CDF-9/7-Filter) [30] mit Filterl¨angen 9 bzw. 7. Numerische Werte f¨ur die Filterkoeffizienten sind in Tabelle 2.2 aufgelistet.

3. Ein weiteres Beispiel f¨ur in der Bildverarbeitung verbreitete Filter sind die nicht symmetrischen, orthogonalen Daubechies-Wavelets [37], z.B. die D4-Filter. Hier verstehen wir unter

”D4“ die Daubechies-Filter der L¨ange 4. In Bezugnahme dar-auf, dass der Hochpass-Filter zwei verschwindende Momente besitzt, werden diese Filter zuweilen auch unter dem Namen

”D2“ gef¨uhrt. Tabelle 2.3 f¨uhrt die Koeffi-zienten der Filter h = ˜h und g = ˜g auf.

k √

Tabelle 2.1: Koeffizienten der Haar-Filter.

k hk/√

-4 0 0.026748757411 0.026748757411 0

-3 -0.045635881557 -0.016864118443 0.016864118443 0.045635881557 -2 -0.028771763114 -0.078223266529 -0.078223266529 -0.028771763114 -1 0.295635881557 0.266864118443 -0.266864118443 -0.295635881557 0 0.557543526229 0.602949018236 0.602949018236 0.557543526229 1 0.295635881557 0.266864118443 -0.266864118443 -0.295635881557 2 -0.028771763114 -0.078223266529 -0.078223266529 -0.028771763114 3 -0.045635881557 -0.016864118443 0.016864118443 0.045635881557

4 0 0.026748757411 0.026748757411 0

>4 0 0 0 0

Tabelle 2.2: Numerische Werte f¨ur die Koeffizienten der CDF-9/7-Filter (siehe [30]).

k 4√

Tabelle 2.3: Koeffizienten der D4-Filter (siehe etwa [119]).

Bemerkung 2.58 1. In der Anwendung arbeiten wir mit endlichen Signalen (Vekto-ren)c∈RN, N ∈N,statt mit unendlichen Signalen (Folgen)c∈l(Z). Es erfolgt in diesem Fall eine Zerlegung von c in einen Tiefpassanteil c1 ∈ RN/2 und einen Hochpassanteil d1 ∈ RN/2. Wir nutzen zur Vereinfachung trotzdem Schreibweisen wie

c1n=X

k∈Z

ck¯hk−2n

d1n=X

k∈Z

ckk−2n

f¨urn= 1, . . . , N/2mit geeigneten Konventionen (Randbedingungen) f¨ur die Werte von ck f¨ur k /∈ {1, . . . , N}.

2. Unter Verwendung sogenannter periodischer Filter l¨asst sich f¨ur ein Eingangssignal c ∈ RN ein Filterbank-Schritt mittels einer Transformationsmatrix W ∈ RN×N auch in Matrixschreibweise

W c= c1

d1

schreiben.

Wavelet-Shrinkage

Die Grundidee, Entst¨orung eines Signals mittels einer Wavelet-Transformation zu er-reichen, liegt in der Annahme begr¨undet, dass St¨orungen hochfrequent sind und sich somit in betragsm¨aßig kleinen Hochpass-Koeffizienten ¨außern. Nach der Zerlegung des Si-gnals werden daher betragsm¨aßig kleine Hochpass-Koeffizienten mittels eines Shrinkage-Operators zu Null gesetzt. Anschließend wird das Signal aus den (unver¨anderten) Tief-passkoeffizienten und den (modifizierten) HochTief-passkoeffizienten rekonstruiert (siehe auch Abbildung 2.3). Als Shrinkage-Operator nutzt man etwa den Hard-Shrinkage-Operator Sθ :l(Z)→l(Z) mit

(Sθ(d))k =

(dk falls |dk| ≥θ 0 falls |dk|< θ

f¨ur d ∈ l(Z) und einem fixierten Shrinkage-Parameter θ > 0. Der Parameter θ muss dabei f¨ur das jeweils vorliegende Signal und Rauschen sorgf¨altig gew¨ahlt werden, sodass St¨orungen m¨oglichst gut eliminiert werden, ohne zu viele Signaldetails zu verlieren.

Wavelet-Shrinkage arbeitet sehr gut bei der Beseitigung von additivem Gaußschen Rau-schen. F¨ur davon abweichende Arten von Rauschen sind andere Entst¨orungsans¨atze erforderlich.

c

Abbildung 2.3: Eine Filterbank mit Shrinkage-Operator.

Zweidimensionale Wavelet-Transformation

Bisher haben wir nur eindimensionale Wavelets betrachtet. Die einfachste Variante, ei-ne Wavelet-Transformation f¨ur Bilder (d.h. zweidimensionale Signale) einzuf¨uhren, be-nutzt Tensorprodukte eindimensionaler Wavelets und Skalierungsfunktionen. Seien daf¨ur ψ,ψ˜∈L2(R) eindimensionale biorthogonale Wavelets mit zugeh¨origen Skalierungsfunk-tionenφ,φ˜∈L2(R). Mit den Tensorprodukten

ψ1(x, y) =φ(x)ψ(y) ψ˜1(x, y) = ˜φ(x) ˜ψ(y) ψ2(x, y) =ψ(x)φ(y) ψ˜2(x, y) = ˜ψ(x) ˜φ(y) ψ3(x, y) =ψ(x)ψ(y) ψ˜3(x, y) = ˜ψ(x) ˜ψ(y) konstruieren wir die zweidimensionalen Tensorprodukt-Wavelets

ψj,kν 1,k2(x, y) = 2jψν(2jx−k1,2jy−k2) ψ˜j,kν

1,k2(x, y) = 2jψ˜ν(2jx−k1,2jy−k2)

f¨ur ν = 1,2,3, j, k1, k2 ∈ Z. Es l¨asst sich zeigen, dass {ψj,kν 1,k2}ν∈{1,2,3},j,k1,k2Z und {ψ˜j,kν 1,k2}ν∈{1,2,3},j,k1,k2Z biorthogonale Riesz-Basen von L2(R2) sind.

Bei der diskreten zweidimensionalen Wavelet-Transformation erfolgt eine Zerlegung des Eingangsbildesc∈ RN1×N2 in den Tiefpassanteil c1 ∈RN1/2×N2/2 und drei Hochpassan-teiled11, d21, d31 ∈RN1/2×N2/2. Eine schnelle Wavelet-Transformation mittels des Konzepts der Filterb¨anke erh¨alt man wie folgt: In einem ersten Schritt wendet man die entspre-chenden Filter der zugeh¨origen eindimensionalen Wavelet-Filterbank auf die Spalten des Eingangsbildes an. Anschließend wendet man die entsprechenden eindimensionalen Filter auf die Zeilen des Resultats des ersten Schrittes an.

Cycle-Spinning

Eine Methode, translationsinvariante Entst¨orung oder Cycle-Spinning genannt, mit der man u.a. die Bildentst¨orung mittels Wavelets durch Ausnutzung von Redundanz we-sentlich verbessern kann, findet sich in der Arbeit [31] von Coifman und Donoho. Die

Funktionsweise des Cycle-Spinnings im Rahmen der Entst¨orung eines gest¨orten Bildes Y˜ = Y +Z ∈ R

N mit additivem Gaußschen Rauschen Z ist im folgenden Algo-rithmus dargelegt.

– F¨uhre eine Wavelet-Shrinkage-Prozedur am

”verschobenen“ Bild durch.

– Mache die Verschiebung r¨uckg¨angig, um ein entst¨ortes Bild Yˆ(s1,s2) zu erhal-ten.

• Die finale Rekonstruktion Yˆ des entst¨orten Bildes ergibt sich durch Durchschnitts-bildung, d.h.

Bemerkung 2.60 Ublicherweise setzt man¨ S1 = S2 = 7, sodass am Ende der Dur-schnitt ¨uber 64 entst¨orte Bilder betrachtet wird.

2.3 Ein Algorithmus zur Entst¨ orung mittels Wavelets