Von Bewertungen definierte Topologien

Ziel dieses Unterabschnittes ist es, zu zeigen, dass sich eine durch einen Bewertungsring definierte Topologie genau dann eindeutig auf eine algebraische K¨orpererweiterung fort-setzen l¨asst, wenn es eine Bewertung gibt, die die Topologie definiert und sich eindeutig auf die K¨orpererweiterung fortsetzen l¨asst.

Um dies zu beweisen, verwenden wir Lokalisierungen von Bewertungsringen nach ihren Primidealen.

Lokalisierungen von einem Bewertungsring sind Oberringe des Ringes und damit wieder Bewertungsringe. Dabei bekommen wir als Lokalisierung nach dem Nullideal gerade den ganzen K¨orper und somit die triviale Bewertung, daher werden wir im Folgenden stets von Null verschiedene Primideale betrachten. Durch Lokalisierungen nach von Null verschiedenen Primidealen bekommen wir offensichtlich Bewertungsringe, die die gleiche Topologie wie der Ausgangsring definieren.

Zun¨achst werden wir zeigen, dass die Oberringe eines Bewertungsringes genau die Loka-lisierungen nach seinen Primidealen sind.

2.3.1 Lemma. Seien O und O⁰ Bewertungsringe auf einem K¨orper K und seien M und M⁰ ihre maximalen Ideale.

FallsO ⊆ O⁰ ist, so gelten (a) M⁰ ⊆ M

(b) O⁰ =O_M⁰ :=

( x∈K

x= a

b f¨ura, b∈ O, b /∈ M⁰ )

Beweis:

(a) Sei x∈ M⁰. Dann ist ¹_x ∈ O/ ⁰, also, daO ⊆ O⁰, auch ¹_x ∈ O/ und damitx∈ M.

(b) ”⊆“: Seix∈ O⁰.

1. Fall: Ist x∈ O, dann giltx= ^x₁ ∈ O_M⁰.

2. Fall: Ist x /∈ O, dann istx⁻¹ ∈ O \ M⁰, also x= _x−1¹ ∈ O_M⁰.

”⊇“: Sei x ∈ O_M⁰, das heißt x = ^a_b mit a, b ∈ O, b /∈ M⁰. Es sind a, b⁻¹ ∈ O⁰, denna∈ O ⊆ O⁰ undb /∈ M⁰. Damit ist x=a·b⁻¹ ∈ O⁰. 2.3.2 Korollar. Seien O und O⁰ zwei abh¨angige Bewertungen.

Dann existiert ein gemeinsames Primideal p6={0} von O und O⁰ mit O_p=O⁰_p.

Beweis: DaO undO⁰ abh¨angig sind, existiert ein gemeinsamer Oberring Oe(K. Seip das maximale Ideal vonO. Nach Lemma 2.3.1 (b) iste O_p =Oe=O_p⁰. 2.3.3 Bemerkung. Korollar 2.3.2 l¨asst sich auf BewertungsringeO₁, . . . ,O_nf¨urn∈N verallgemeinern.

2.3.4 Lemma. Sei O ein Bewertungsring auf einem K¨orper K und sei p 6= {0} ein Primideal von O.

Dann ist O_p ein Bewertungsring auf K mit O ⊆ O_p. Das maximale Ideal von O_p ist p=pO_p.

Insbesondere definieren O und O_p die gleiche Topologie.

Beweis: Dass Oberringe von Bewertungsringen wieder Bewertungsringe sind, ist nach Definition klar.

DassO und O_p die gleiche Topologie definieren, folgt sofort aus Satz 1.3.2.

Zu zeigen ist nurp=pO_p. Aus 1∈ O_p folgt sofort p⊇pO_p .

Ist x /∈p, dann ist ¹_x ∈ O_p und somit, da pO_p Ideal vonO_p ist, x /∈pO_p. Daraus folgt

pO_p⊇p.

2.3.5 Lemma. Sei L/K eine K¨orpererweiterung, seiO ein Bewertungsring auf K, sei O⁰ eine Fortsetzung vonO aufL und seip⁰ 6={0} ein Primideal vonO⁰. Seip:=O ∩p⁰. Dann ist O_p⁰0 eine Fortsetzung von O_p.

Beweis: Zu zeigen istO_p⁰0 ∩K =O_p.

”⊇“: Klar.

”⊆“: Sei x∈ O_p⁰0∩K.

1. Fall: Es istx∈ O. AusO ⊆ O_p folgt sofort x∈ O_p.

2. Fall: Es istx /∈ O. Dann istx⁻¹∈ O. Dap⁰ Ideal vonO_p⁰0 undx∈ O⁰_p0 ist, istx⁻¹ ∈/p⁰, also auch x⁻¹ ∈/ p⊆p⁰. Daraus folgtx= _x−1¹ ∈ O_p. Wir wollen nun zeigen, dass es zu jedem Primideal eines Bewertungsringes genau ein entsprechendes Primideal der Fortsetzung gibt.

In [EnPr] wird gezeigt, dass die Primideale eines Bewertungsringes gerade den konvexen Untergruppen der Wertegruppe der zugeh¨origen Bewertung entsprechen. Das folgende Lemma entspricht Lemma 2.3.1 aus [EnPr].

2.3.6 Lemma. Seien K ein K¨orper, v : K Γ∪ {∞} eine Bewertung auf K und O:=O_v der zugeh¨orige Bewertungsring.

Dann gibt es eine 1-1 Korrespondenz zwischen den konvexen Untergruppen ∆von Γund den Primidealen p von O.

Diese Korrespondenz wird gegeben durch

∆ 7→ p_∆={x∈K |v(x)> δ f¨ur alle δ∈∆}

p 7→ ∆p={γ ∈Γ|γ, −γ < v(x) f¨ur allex∈p}

Die Anzahl der echten konvexen Untergruppen der Wertegruppe ist nach Definition gerade der Rang der Bewertung. Es folgt also, dass die Anzahl der von Null verschiedenen Primideale und somit die Anzahl der Oberringe eines Bewertungsringes gerade der Rang der Bewertung ist.

Betrachten wir eine Bewertung auf einem K¨orper und eine Fortsetzung der Bewertung auf eine algebraische K¨orpererweiterung, bekommen wir ebenfalls eine Korrespondenz der konvexen Untergruppen. F¨ur den Beweis des Lemmas sei auf [EnPr] Satz 3.2.4 und Korollar 3.2.5 verwiesen.

2.3.7 Lemma. Sei L/K eine algebraische K¨orpererweiterung. Sei v : K Γ∪ {∞}

eine Bewertung auf K und sei w:LΓe∪ {∞} eine Fortsetzung von v auf L.

Dann wird durch∆7→∆∩Γeine bijektive, inklusionserhaltende Korrespondenz zwischen den konvexen Untergruppen von eΓ und Γ definiert.

Insbesondere haben v und w den gleichen Rang.

Aus diesen beiden Lemmata bekommen wir nun eine Korrespondenz zwischen den Prim-idealen eines Bewertungsringes und den PrimPrim-idealen einer Fortsetzung des Bewertungs-ringes auf eine algebraische K¨orpererweiterung.

2.3.8 Korollar und Notation. SeienL/K eine algebraische K¨orpererweiterung,Oein Bewertungsring aufK undp ein Primideal vonO. SeiO⁰ eine Fortsetzung vonO aufL.

Dann existiert genau ein Primidealp⁰ vonO⁰ mitO ∩p⁰ =p.

F¨ur diese Fortsetzung p⁰ schreiben wir (p), wenn klar ist, in welchem Ring wir uns befinden, und sagen, (p) ist das von p erzeugte Ideal.

Das folgende Lemma findet sich in [Ri1] in Kapitel F als Proposition 1.

2.3.9 Lemma. Seien L/K eine algebraische K¨orpererweiterung,O ein Bewertungsring auf K und p ein Primideal vonO.

Dann ist jede Fortsetzung von O_p auf L von der Gestallt O⁰_(p) f¨ur eine Fortsetzung O⁰ von O auf L.

Aus Lemma 2.3.9 und Lemma 2.3.5 bekommt man folgendes Korollar:

2.3.10 Korollar. SeiL/K eine algebraische K¨orpererweiterung, seiO ein Bewertungs-ring aufK und sei p ein Primideal von O.

Seien(O_i)_i∈I alle Fortsetzungen vonOaufLund f¨uri∈I seip_i das eindeutig bestimmte Primideal vonO_i mit p_i∩ O=p.

Dann sind die Fortsetzungen vonO_p auf L gerade (O_i)_p

i

i∈I.

Insbesondere hat, falls O nur endlich viele Fortsetzungen besitzt, auch O_p nur endlich viele Fortsetzungen.

2.3.11 Bemerkung. In der Situation von Korollar 2.3.10 folgt aus O_i 6= O_j nicht (O_i)_pi 6= (O_j)_p

j.

2.3.12 Korollar. Sei L/K eine K¨orpererweiterung, sei O ein Bewertungsring auf K und seien O₁, . . . ,O_n alle Fortsetzungen von O auf L.

Sind O₁, . . . ,O_n abh¨angig, so besitzen sie ein gemeinsames Primideal p6={0} f¨ur das (O₁)_p=· · ·= (O_n)_p

die eindeutige Fortsetzung von O_p∩K auf List.

Beweis: Folgt aus Bemerkung 2.3.3 und Lemma 2.3.9

2.3.13 Korollar. SeiL/K eine algebraische K¨orpererweiterung, seiO ein Bewertungs-ring auf K. Seien p,q6={0} Primideale von O mit q⊆p.

(a) Seien O⁰ und O⁰⁰ Fortsetzungen von O auf L mit O⁰_(p)=O_(p)⁰⁰ . Dann ist O_(q)⁰ =O⁰⁰_(q).

(b) Ist O_p eindeutig auf L fortsetzbar, so ist auchO_q eindeutig auf L fortsetzbar.

Beweis:

(a) Ausq⊆p folgt

O⁰_(p)⊆ O_(q)⁰ und

O_(p)⁰⁰ ⊆ O⁰⁰_(q). Also ist nach Lemma 2.3.1 und Lemma 2.3.4

O_(q)⁰ = O⁰_(p)

(q) = O⁰⁰_(p)

(q) =O⁰⁰_(q).

(b) Nach Lemma 2.3.9 sind alle Fortsetzungen von O_q von der Form O⁰_(q) f¨ur eine Fortsetzung O⁰ von O. Seien also O⁰_(q),O⁰⁰_(q) zwei Fortsetzungen von O_q. Wegen der eindeutigen Fortsetzbarkeit von O_p gilt

O⁰_(p)=O_(p)⁰⁰ und damit nach (a)

O_(q)⁰ =O⁰⁰_(q).

2.3.14 Bemerkung. Falls Oe und O Bewertungsringe auf einem K¨orper K sind mit O ⊆ Oe und Oe sich eindeutig auf einen algebraischen Oberk¨orper L von K fortsetzen l¨asst, dann folgt mit Lemma 2.3.1 aus Korollar 2.3.13 (b) aus, dass sich auchOeindeutig auf L fortsetzen l¨asst.

Der folgende Satz stammt aus [Be]. Berrondo formuliert den Satz allgemein f¨ur V-Topo-logien, betrachtet im Beweis jedoch nur von Bewertungen definierte TopoV-Topo-logien, weshalb der Satz hier auch zun¨achst nur f¨ur diese formuliert wird.

Im Folgenden schreiben wir wie in Korollar 2.3.8 definiert, (p) f¨ur das von p erzeugte Ideal, wenn klar ist, in welchem Ring wir uns befinden.

2.3.15 Satz. Sei(K,T)ein V-topologischer K¨orper, wobeiT von einem Bewertungsring definiert wird. SeiL/K eine algebraische K¨orpererweiterung.

T l¨asst sich genau dann eindeutig auf L fortsetzen, wenn es einen Bewertungsring O auf K gibt, der T definiert und sich eindeutig auf L fortsetzen l¨asst.

Beweis: ”⇐“: Sei O ein Bewertungsring, der T definiert und sich eindeutig auf L fortsetzen l¨asst. Sei O⁰ die eindeutige Fortsetzung von O auf L.

SeiT⁰ eine V-Topologie aufL, die T fortsetzt.

Wir zeigen, dassT⁰ die vonO⁰ definierte Topologie ist.

Nach Satz 2.1.5 gibt es einen BewertungsringO₁, der T⁰ definiert.

SeiO₁ := O₁∩K. Nach Satz 2.1.4 ist die von O₁ definierte Topologie T, also sind O₁ undO abh¨angig.

Nach Korollar 2.3.2 gibt es ein gemeinsames Primideal p von O und O₁, f¨ur das O_p= O₁

p ist.

Nach Korollar 2.3.8 existiert ein Primidealp⁰ vonO₁mitp⁰∩ O₁ =p. Nach Lemma 2.3.5 ist (O₁)_p0 eine Fortsetzung von O_p = O₁

p. Also existieren nach Lemma 2.3.9 eine FortsetzungOe von O und ein Primidealepvon Oe mit (O₁)_p0 =Oe_ep.

DaO⁰ die eindeutige Fortsetzung von O aufL ist, mussOe=O⁰ sein.

Damit ist (O₁)_p0 =O⁰_ep ein gemeinsamer Oberring von O₁ undO⁰. Also sindO⁰ undO₁ abh¨angig undT⁰ ist die vonO⁰ definierte Topologie.

”⇒“: Wir betrachten zun¨achst den Fall, dassL/K eine endliche K¨orpererweiterung ist.

SeiOein Bewertungsring aufK, derT definiert. DaL/K endlich ist, gibt es nur endlich viele Fortsetzungen vonO auf L, diese bezeichnen wir mitO₁, . . . ,O_s.

Da sich nach Voraussetzung T eindeutig auf L fortsetzen l¨asst, sind O₁, . . . ,O_s ab-h¨angig, also haben sie nach Korollar 2.3.12 ein gemeinsames Primideal p⁰ f¨ur das gilt:

(O₁)_p0 =· · ·= (O_s)_p0. Setzep:=p⁰∩ O.

Die Fortsetzungen vonO_p aufLsind nach Korollar 2.3.10 gerade (O₁)_p0, . . . ,(O_s)_p0. Da (O₁)_p0 =· · · = (O_s)_p0 ist, ist O_p eindeutig auf L fortsetzbar.O und O_p sind abh¨angig, also ist die vonO_p definierte Topologie geradeT.

Sei nun L/K eine beliebige algebraische K¨orpererweiterung.

Sei O ein Bewertungsring aufK, derT definiert, und sei

X:= Spec (O)\ {(0)}={p⊆ O |p Primideal vonO, p6= (0)}

das Spektrum von O ohne das Nullideal.

X wird linear geordnet durch

p₁≤p₂:⇔p₂ ⊆p₁ (siehe hierzu [EnPr], Seite 43).

DaO ⊆ O_p ist, definiertO_p f¨ur jedesp∈X ebenfallsT. Es gen¨ugt also zu zeigen, dass es ein p∈X gibt, f¨ur dasO_p nur eine Fortsetzung aufL hat.

Angenommen, zu jedem p∈X existieren mehrere Fortsetzungen von O_p auf L.

Sei O eine beliebige Fortsetzung vonO auf L.

Wir zeigen in drei Schritten, dass es eine von O unabh¨angige Fortsetzung von O auf L gibt.

1. Schritt: Wir definieren eine ordinale Folge

(pα,Λα)_α<λ

0

f¨ur eine Ordinalzahlλ0 mit card (λ0)≤card (X) so, dassX⁰ :={p_α|α < λ0} ⊆X konfinal in X ist und f¨ur alle α < λ₀ die folgenden Bedingungen gelten:

• Λ_α ist ein Zwischenk¨orper vonL/K

• O_pα l¨asst sich eindeutig auf Λ_α fortsetzen

• O_pα besitzt verschiedene Fortsetzungen auf Λ_α⁰

• f¨urα < β < λ₀ gilt Λ_α(Λ_β. Insbesondere ist dannΛ :=e S

α<λ0Λα ein Zwischenk¨orper vonL/K.

2. Schritt: Zu jedemα < λ0 w¨ahlen wir eine FortsetzungO^(α) von O auf Λ_α⁰ so, dass gelten

• O_(p^(α)

α) 6=O_(pα)∩Λ_α⁰.

• f¨urα < β < λ₀ istO^(β) eine Fortsetzung vonO^(α) auf Λ_β⁰. Insbesondere ist dann Oe := S

α<λ0O^(α) ein Bewertungsring auf Λ, dere O^(α) f¨ur alleα < λ0 fortsetzt.

3. Schritt: Wir zeigen, dass O ∩Λ unde Oe nicht abh¨angig sind und somit unterschiedliche Fortsetzungen vonT aufΛ definieren. Da sich jede V-Topologie auf jede algebrai-e sche K¨orpererweiterung fortsetzen l¨asst undΛe⊆List, bekommen wir somit auch unterschiedliche Fortsetzungen von T auf L.

1.Schritt: Wir definieren die ordinale Folge (p_α,Λ_α) folgendermaßen:

”α= 0“:

Setze (p0,Λ0) := (M, K), wobei Mdas maximale Ideal von O sei.

”α→α⁰“:

Nach Voraussetzung l¨asst sich O_pα nicht eindeutig auf L fortsetzen. Wir k¨onnen also ein x ∈ L so w¨ahlen, dass es auf Λα(x) unterschiedliche Fortsetzungen von O_pα gibt. Definiere Λ_α⁰ := Λα(x).

Λ_α⁰/Λ_αist eine endliche K¨orpererweiterung. Also hat jede Fortsetzung vonO_pα auf Λ_α nur endlich viele Fortsetzungen auf Λ_α⁰. Da O_pα eindeutig auf Λ_α fortsetzbar ist, hat damit O_pα nur endlich viele Fortsetzungen auf Λ_α⁰.

Die vonO_pα definierte Topologie istT. Diese ist eindeutig aufL, also auch auf den Zwischenk¨orper Λ_α⁰ von L/K, fortsetzbar. Also sind die Fortsetzungen von O_pα alle abh¨angig und besitzen somit nach Korollar 2.3.10 ein gemeinsames Primideal p⁰, f¨ur das (O_pα)_p0∩K =O_p⁰_∩K eindeutig auf Λ_α⁰ fortsetzbar ist. Setzep_α⁰ :=p⁰∩K.

Dies ist aber ein Widerspruch zu p∈X.

In diesem Fall endet die Definition.

Wir setzen λ0 :=λund X⁰ :={p_α |α < λ0}. 2. Fall: Es ist T

α<λp_α 6= (0). Wir zeigen, dass p_λ ein Primideal von O ist, f¨ur das gilt: p_α <p_λ f¨ur alle α < λund O_pλ l¨asst sich eindeutig auf den K¨orper Λ_λ fortsetzen.

Es gilt allgemein, dass beliebige Schnitte von Idealen wieder Ideale sind. Zu zeigen ist also, dass p_λ Primideal ist.

Seien x, y ∈K mitx·y∈p_λ. Istx /∈p_λ, so gibt es einα < λmitx /∈p_α. F¨urβ ≥αgiltp_β ⊆p_αund damitx /∈p_β. Dap_β prim ist, folgt darausy∈p_β. F¨urβ < α folgt damit, dap_α⊆p_β ist, ebenfalls y∈p_β.

Insgesamt folgt also y ∈p_β f¨ur alleβ < λ und damit y ∈p_λ. Also ist p_λ ein Primideal.

Aus der Definition ist klar, dass f¨ur alle α < λgiltp_α≤p_λ . Angenommen, p_α =p_λ f¨ur einα < λ. Dann ist

p_α⁰ >p_α=p_λ ≥p_α⁰.

Dies ist ein Widerspruch. Also gilt p_α<p_λ f¨ur alle α < λ.

Angenommen, O_pλ l¨aßt sich nicht eindeutig auf Λλ fortsetzen.

Seien O⁰_(p

λ) und O⁰⁰_(p

λ) zwei verschiedene Fortsetzungen. Sei x∈ O_(p⁰ eindeutig auf Λ_αfortsetzbar ist undp_λ ⊆p_α ist, ist nach Korollar 2.3.13 auch O_pλ eindeutig auf Λ_α fortsetzbar.

Dies ist ein Widerspruch.

F¨ur eine Limesordinalzahl λ0 mit card (λ0) ≤ card (X) muss wegen p_α 6= p_β f¨ur α6=β und p_α∈X der erste Fall eintreten und somit die Definition enden.

2.Schritt: Wir definieren nun zu jedem p_α∈X⁰ einen Bewertungsring O^(α) wie folgt:

“α= 0“:

Nach Voraussetzung l¨asst sich O_p0 nicht eindeutig auf Λ₁ fortsetzen. Es existiert also eine Fortsetzung, die verschieden vonO_(p0)∩Λ₁ist. Diese ist nach Lemma 2.3.9 von der FormO_(p⁽⁰⁾

0) f¨ur eine FortsetzungO⁽⁰⁾ von O auf Λ1.

”α→α⁰“:

Nach Voraussetzung l¨asst sichO_p

α0 nicht eindeutig auf Λ_α⁰⁰ fortsetzen. Es gibt also eine Fortsetzung

α0 eindeutig auf Λ_α⁰ fortsetzbar ist, muss damit

O⁰∩Λ_α⁰ =O_(p^(α)

α0)

gelten. O⁰ ist somit Fortsetzung von O^(α)_(p

α0).

Also existiert nach Lemma 2.3.9 eine Fortsetzung O^(α0) von O^(α) auf Λα⁰⁰ mit O⁰=O^(α_(p⁰⁾

α0).

”λLimesordinalzahl“:

Nach Voraussetzung l¨asst sichO_pλ nicht eindeutig auf Λ_λ⁰ fortsetzen. Es gibt also eine Fortsetzung auf Λ_λ fortsetzbar ist, muss damit

O⁰∩Λλ=Oe^(λ)_(p

λ)

gelten. O⁰ ist somit eine Fortsetzung von Oe^(λ) auf Λ_λ⁰. Also existiert nach Lem-ma 2.3.9 eine Fortsetzung O^(λ) von Oe^(λ)_(p

F¨ur jedes α < λ₀ gilt nach Konstruktion Oe_(pα)∩Λ_α⁰ =O^(p_(p^α)

Also sind Oe undO ∩Λ nicht abh¨e angig.

Nach Satz 2.2.1 l¨asst sichOezu einem BewertungsringO^∗ aufLfortsetzen.O^∗ und O definieren unterschiedliche Fortsetzungen vonT aufL.

F¨ur Topologien, die durch eine Rang-1-Bewertung definiert werden, reicht es aus, diese Bewertung zu betrachten. Es gilt folgendes Korollar:

2.3.16 Korollar. Sei(K,T)ein V-topologischer K¨orper. SeiOeine Rang-1-Bewertung, die T definiert. Sei L/K eine algebraische K¨orpererweiterung.

Dann ist T genau dann eindeutig auf L fortsetzbar, wennO eindeutig auf L fortsetzbar ist.

Beweis:

”⇐“: Diese Richtung folgt sofort aus Satz 2.3.15.

”⇒“: Nach Satz 2.3.15 existiert ein BewertungsringO⁰, derT definiert und sich eindeutig auf L fortsetzen l¨asst.

DaO und O⁰ beideT definieren, folgt nach Korollar 1.3.7 schonO⁰⊆ O.

Nach Bemerkung 2.3.14 l¨asst sich damitO ebenfalls eindeutig aufL fortsetzen.

Im Dokument V-Topologien auf Körpererweiterungen (Seite 23-33)