In diesem Abschnitt soll nicht die Modellqualit¨at ¨uberpr¨uft werden, sondern die G¨ute der mathematischen Umformung, d.h. wie sich die verschiedenen Vereinfachungen auf das Modell auswirken. Eigentlich sollten alle hergeleiteten EASM identisch mit dem impli-ziten ASM sein. Dies wird jedoch nur von dem selbstkonsistenten EASM erf¨ullt, da die in den anderen Modellen eingebrachten Vereinfachungen die Modellqualit¨at beeinflussen.
Zum Vergleich sind daher in Abbildung 4.2 die Isolinien von P/ε=−2bijsij f¨ur die ver-schiedenen Modelle eingezeichnet, wobei jeweils das LRR Druck-Scher-Korrelationsmodell (siehe Tabelle 4.1) verwendet wurde.
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
1 1
2 2
2
3 3
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
1 1
2 2
2
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
1 1
2 2
3
3
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
1
1 1
2 2
2
3
PSfrag replacements 3
qtr(¯s2) qtr(¯s2)
qtr(¯s2) qtr(¯s2)
q −tr(¯ω2)q −tr(¯ω2)
q −tr(¯ω2)q −tr(¯ω2) a) b)
c) d)
Abbildung 4.2: Isolinien von P/ε f¨ur a) implizites ASM, b) selbstkonsistentes EASM, c) quasi-selbstkonsistentes EASM, d) regularisiertes EASM
Wie erwartet, f¨uhren das implizite und das selbstkonsistente Modell zum gleichen Er-gebnis. Das quasi-selbstkonsistente Modell kann bis zu [tr(¯s2)]0.5 ≈ 2.5 und generell im Bereich [−tr(¯ω2)]0.5 > [tr(¯s2)]0.5 die exakte L¨osung sehr gut approximieren. Das regu-larisierte Modell mit der Regularisierung nach Gatski u.a.[26] kann die Kurve nur in
qualitative ¨Ubereinstimmung bringen, mit Ausnahme der Isolinien um P/ε = 2, da dies etwa dem im Faktor g fixierten Wert von 1.89 entspricht. Die Abweichung des quasi-selbstkonsistenten EASM, bei verschwindenden Scherraten ein kleineres Verh¨altnis von Produktion zu Dissipation als die exakte L¨osung wiederzugeben, ist als positives Merk-mal anzusehen. In Str¨omungen ohne Scherung, z.B. bei Prallstrahlen, wird die ungewollte Turbulenzproduktion begrenzt.
0 10 20 30 40
−0.2
−0.1 0.0
−0.4
−0.2 0.0 0.0 0.2 0.4
replacements
qtr(¯s2) b11b22b12
Abbildung 4.3: Anisotropien in paralleler Scherstr¨omung a) — implizites ASM / selbst-konsistentes EASM, b) - - - quasi-selbstselbst-konsistentes EASM, c) ... regu-larisiertes EASM
F¨ur den wichtigen Fall der parallelen Scherstr¨omung (∂u¯i/∂xj = S δ1i δ2j) sind in Ab-bildung 4.3 die entstehenden Anisotropien dargestellt. Hier ist deutlich zu erkennen, wie das quasi-selbstkonsistente Modell das implizite Modell sehr gut approximiert. Bei klei-nen Scherraten ist es fast identisch mit dem impliziten Modell, und der Grenzwert weicht bei großen Scherraten nur gering vom impliziten Modell ab. Demgegen¨uber weicht das
regularisierte Modell stark von dem impliziten Modell ab und strebt zu g¨anzlich anderen Grenzwerten. Weiterhin sieht man, dass das regularisierte Modell bei [tr(¯s2)]0.5 ≈3.6 die gleichen Werte liefert wie das implizite Modell. In der Parallelstr¨omung entspricht dies s12 = 2.54. Entnimmt man bei dieser Scherrate dem unteren Diagramm b12 ≈ −0.19, so berechnet sich daraus P/ε = −4b12s12 = 1.93, was fast dem im Faktor g verankerten Wert von 1.89 entspricht.
Es zeigt sich somit, dass das regularisierte Modell das implizite Modell nur qualitativ wie-dergeben kann. Quantitativ wird eine ¨Ubereinstimmung nur erzielt, wenn das Verh¨altnis von Produktion zu Dissipation in der Str¨omung dem im Faktor g verankerten Wert ent-spricht. Damit ist das Modell f¨ur nichtgleichgewichtige Str¨omungen mit variierendemP/ε nicht geeignet. In solchen Str¨omungen sollte daher das selbstkonsistente oder das quasi-selbstkonsistente Modell verwandt werden. Das quasi-quasi-selbstkonsistente Modell stellt f¨ur einen weiten Wertebereich eine sehr gute N¨aherung bei geringerem Rechenaufwand dar.
Zudem ben¨otigen diese Modelle keine ad hoc Korrekturen, um ein numerisch stabiles und physikalisch sinnvolles Modell zu gew¨ahrleisten.
F¨ur zweidimensionale Str¨omungen wird damit ein Spannungsmodell erreicht, das die ge-forderten Erwartungen erf¨ullt. Das explizite Modell entspricht der exakten L¨osung der impliziten Gleichung der Reynolds-Spannungen. Weiterhin ist es mit drei Generatoren sehr ¨ubersichtlich und stellt nur einen geringen Mehraufwand gegen¨uber einem linearen Modell dar. Die eingef¨uhrte quasi-selbstkonsistente Formulierung reduziert den Aufwand weiter, wobei die Ergebnisqualit¨at erhalten bleibt. Keinesfalls sollte eine Modellierung verwendet werden, die eine Regularisierung ben¨otigt, um singul¨are Zust¨ande auszuschlie-ßen. Die Regularisierung verschlechtert die Leistung des Modells nachhaltig, z.B. wird eine falsche asymptotische Entwicklung vorhergesagt.
In dreidimensionalen Str¨omungen ergab sich ein Spannungsmodell mit 9 Generatoren. Das Modell ist damit erheblich aufwendiger als ein lineares Modell oder das Spannungsmodell f¨ur zweidimensionale Str¨omungen. Durch die große Anzahl der Generatoren und den kom-plexen Aufbau der dazugeh¨origen Koeffizienten ist keine Analyse wie im zweidimensiona-len Fall m¨oglich. Bedingt wird die Komplexit¨at durch die Notwendigkeit, eine vollst¨andige Funktionsbasis zu verwenden. Die genutzte Funktionsbasis verzichtet auf gebrochen ra-tionale Beziehungen zwischen den abh¨angigen Generatoren und war somit nicht minimal.
Im abschließenden Kapitel wird eine kompakte Formulierung angestrebt, die weniger Ge-neratoren verwendet. Das EASM mit der 10-Generator-Funktionsbasis dient hierzu als Grundlage f¨ur die Transformation in eine minimale Funktionsbasis. Mit dem Projekti-onsverfahren entf¨allt der Zwang einer vollst¨andigen Basis, sodass ein Modell entwickelt werden kann, das wesentlich weniger Generatoren ben¨otigt als das hier vorgestellte EASM in der 10-Generator-Funktionsbasis.
Kapitel 5
Kompaktes explizites algebraisches Spannungsmodell
F¨ur praktische ingenieurwissenschaftliche Anwendungen fand das dreidimensionale EASM nach Gleichung (4.28) keine Verbreitung. Der Aufwand zur Berechnung von f¨unf Invari-anten und neun Generatoren ist gegen¨uber linearen Modellen betr¨achtlich gr¨oßer. An-dererseits werden die wesentlich einfacheren, zweidimensionalen Formulierungen, ¨ahnlich zu (4.34), oft benutzt. ¨Uber den erfolgreichen Einsatz dieser Modelle wurde schon von verschiedenen Autoren, z.B. Rumsey u.a. [64] oder Abid [1], berichtet. Die Simulationser-gebnisse sind in zweidimensionalen Str¨omungen wesentlich besser als mit konventionellen, linearen Wirbelz¨ahigkeitsmodellen und belegen die Leistungsf¨ahigkeit des Ansatzes, so-dass diese Modelle auch in dreidimensionalen Str¨omungen verwendet werden. Allerdings unterdr¨uckt die zweidimensionale Formulierung dreidimensionale Effekte, wodurch nicht das gesamte Potenzial der EASM ausgesch¨opft wird. Es muss daher eine Formulierung angestrebt werden, die nur geringf¨ugig aufwendiger als die zweidimensionale Formulierung ist, aber die Dreidimensionalit¨at der Str¨omung wiedergibt.
Ein vereinfachtes Modell durch Rekalibrierung des Druck-Scher-Korrelationsmodells wur-de von Taulbee [86] owur-der Wallin u.a. [88] vorgeschlagen. Eine ¨Anderung des Druck-Scher-Korrelationsmodells widerspricht aber dem Ansatz, bereits an Transportgleichungsmo-dellen ausgetestete Modelle zu ¨ubernehmen und verschlechtert im Rahmen des EASM die Vorhersage der Normalspannungen in einfachen Grundstr¨omungen. Dieses Vorgehen wird deshalb im Folgenden nur kurz vorgestellt. Im Weiteren wird eine Transformation des EASM nach Gleichung (4.28) in eine minimale Funktionsbasis bzw. ein Projektions-verfahren zum Aufstellen eines kompakten EASM verfolgt. Die Projektion kann beliebig aufwendige EASM erzeugen. Im Fall einer Projektion auf die vollst¨andige Funktionsbasis entsteht wieder das Modell nach Gleichung (4.28). Bei einer Projektion auf eine unvoll-st¨andige Funktionsbasis ergibt sich eine N¨aherungsl¨osung im Sinne kleinster Fehlerqua-drate, wie Jongen u.a. [39] aufzeigten. Die entstehenden Ausdr¨ucke f¨ur die Koeffizienten sind sehr kompliziert und enthalten Singularit¨aten, sodass sie nicht direkt benutzt wer-den k¨onnen. Daher m¨ussen physikalische Modellierungen eingef¨uhrt werden, die die Glei-chungen vereinfachen, m¨oglichst ohne die Vorhersagegenauigkeit zu beeintr¨achtigen. Die Analyse dieser physikalischen Vereinfachungen ist der Hauptgegenstand dieses Kapitels.
37
5.1 Rekalibrierung des Druck-Scher-Korrelationsmo-dells
Grundlage des Vorgehens von Taulbee bzw. Wallin ist die Abh¨angigkeit des Parameters A3, der in Gleichung (4.18) eingef¨uhrt wurde, von C3. Aus der Betrachtung der Druck-Scher-Korrelationsmodelle (Tabelle 4.1) erkennt man, dass A3 meist klein ist und ver-schwindet, wennC3 = 2. Das LRR Modell kommt dieser Forderung am n¨achsten. Taulbee und Wallin f¨uhrten deshalb eine Neukalibrierung des LRR Modells mitC3 = 2 durch. Sie gelangten zu den Koeffizienten:
C1 = 1.8, C2 = 0.8, und C4 = 10/9. (5.1) Mit diesem Druck-Scher-Korrelationsmodell vereinfacht sich Gleichung (4.18) mit R = d= 0 zu:
g b=A1s−A2(b·w−w·b). (5.2) Bei der Umsetzung in das explizite Spannungsmodell entf¨allt dann die Matrix H und es kann die L¨osung (4.28) mitA3 = 0 ¨ubernommen werden:
G(1) = 12A1g(6g3−21g A22η2)/D, G(2) =−A1A2(3g3−6A22g η2)/D,
G(3) = 0, G(4) = 18A1A42 η4/D, (5.3)
G(5) = 0, G(6) = 9A1A22g2/D, G(7) = 9A1A32g/D, G(8) = 0,
G(9) = 0, G(10) = 0,
wobei
D=3g5− 152 g3A22η2+ 3g A42η22 =g(3g2− 32A22η2) (g2−2A22η2). (5.4) Die Vereinfachung des EASM ist betr¨achtlich. Die Koeffizienten sind wesentlich ¨ uberschau-barer, und es werden nur noch f¨unf (im Zweidimensionalen zwei) Generatoren ben¨otigt.
Der Wegfall vonT(3) f¨uhrt aber in einer zweidimensionalen Scherschicht zu einem Verlust einer Anisotropiekomponente, indem das Modell f¨alschlicherweise einen achsensymmetri-schen Turbulenzzustand vorhersagt. Dies wird deutlich, wenn die EASM in der homogenen Scherstr¨omung angewendet werden, die bereits in Abschnitt 2.3.1 betrachtet wurde.
b11 b22 b33 b12 cµ TtS= 6
0.2 -0.14 -0.06 -0.15 – Experiment [87]
0.0 0.0 0.0 -0.27 0.09 Lineares Wirbelz¨ahigkeitsmodell (2.18) 0.218 -0.156 -0.062 -0.156 0.052 EASM (4.34) mit FRLT Koeffizienten
0.12 -0.12 0.0 -0.144 0.048 EASM (5.3) mit Koeffizienten (5.1)
Tabelle 5.1: Vergleich Experiment – lineares Wirbelz¨ahigkeitsmodell/ EASM in homoge-ner Scherstr¨omung
Bei beiden EASM in Tabelle 5.1 wurdeg aus der quasi-selbstkonsistenten Beziehung (4.54) bestimmt. Die Anisotropie der Schubspannung wird mit den EASM durch Anpassung von cµ an die Scherrate richtig vorhergesagt. Das EASM (5.3) mit dem rekalibrierten Druck-Scher-Korrelationsmodell unterdr¨uckt aber die b33 Komponente des Anisotropietensors.
Um die Anisotropien im wandnahen Bereich zu erfassen, schl¨agt Wallin [90] den Einsatz eines Wandmodells vor, das T(3) nachtr¨aglich einf¨uhrt. Somit f¨uhrt die ¨Anderung des Druck-Scher-Korrelationsmodells zu Defekten, die durch empirische Modelle ausgeglichen werden m¨ussen.