Võimalike riski-tulu lahendipaaride hulk ja efektiivsuspiir (autori koostatud)

Käesolevas töös kasutatakse empiirilises osas diskreetseid tulumäärasid. Sel juhul portfelli tulumäär rp avaldub kujul:

(2.1)

∑

=

= ⁿ

i i i

p xr

r

1

,

kus rp – portfelli tulumäär,

ri – individuaalse vara tulumäär,

xi – portfelli kuuluva individuaalse vara osakaal.

Järgnevalt on esitatud portfelli koostamise ülesande üldine püstitus. Olgu ρ mingi riskimõõt, nagu näiteks VaRα, ESα, standardhälve või pooldispersioon, siis etteantud nõutava portfelli tulususe µ^* korral on vaja leida osakaalud x nii, et:

(2.2) )minρ(r_p

x ,

tingimustel E(rp)=µ^*,

∑

= n =

i

xi 1

1.

Ülesande (2.2) lahendid kõikvõimalike µ^*-de korral moodustavad joonisel 2.1 riski-tulu rajaportfellid (nii pidev- kui katkendjoon). Alternatiivne ülesanne (leiab ainult riski-tulu efektiivsuspiiri) on leida portfelli kuuluvate varade osakaalud x etteantud riski ρ^* korral nii, et:

(2.3) maxE(r_p)

x ,

tingimustel ρ(rp)=ρ^*,

∑

= n =

i

xi 1

1.

Edaspidises töös kasutatakse riskimõõt-portfelli mõistet (σ-portfell, VaRα-portfell, ESα -portfell) kui vastava riskimõõdu järgi püstitatud portfelli optimeerimisülesande lahendit.

Erinevate portfellide võrdlemiseks on üldjuhul vaja teha eeldusi investori subjektiivse riski suhtumise kohta. Käesolevas töös kasutatakse erinevate riskikriteeriumite põhjal leitud portfellide võrdlemisel peamiselt eelmises peatükis 1.3 käsitletud stohhastilise domineerimise kriteeriume.

Käesolevas töös vaadeldakse niinimetatud benchmark portfellina klassikalist Markowitzi portfelli. Traditsioonilises portfelliteoorias käsitletakse riskina oodatava tulu varieeruvuse näitajat standardhälvet. Standardhälve sobib riskimõõduks portfelli riski juhtimise seisukohast vaid teatud täiendavate eelduste korral. Standardhälve on siis sobiv riskimõõt, kui see kirjeldab tegelikku tulumäärade jaotust (on selle jaotuse parameeter). Nii on näiteks normaaljaotus kirjeldatav kahe parameetri (keskväärtus, standardhälve) abil. Samuti on standardhälve sobivaks riskikriteeriumiks neil investoritel, kelle kasulikkusfunktsioon on esitatav ruutfunktsioonina. Ruutfunktsiooni korral on kasulikkusfunktsioon võimalik avaldada juhusliku suuruse jaotuse keskväärtuse ja dispersiooni kaudu (vt. näiteks Liu 2004: 5), millega on üheselt määratud eelistussuhe.

Traditsioonilise portfelliteooria alternatiivina vaadeldakse oodatavaid kahjusid minimeerivaid portfelle. Finantspraktikas laialt levinud riskimõõt VaRα baseerub küll jaotuse kahjudel, kuid võtab sellest arvesse vaid ühe kvantiili. Kuigi VaRα on finantspraktikas laialdaselt kasutatav ja aktsepteeritav riski kirjeldav suurus, on sellel mitmeid puudusi portfellijuhtimise seisukohalt (Szegö 2002: 1261). Kuna VaRα võtab arvesse vaid ühe kvantiili jaotusfunktsioonil, siis on tegemist peamiselt tõenäosusliku riskimõõduga. VaRα annab hinnangu, kui tõenäolised on VaRα taset ületavad kahjud, kuid ei anna hinnangut sellele, kui suureks võivad osutuda äärmuslikud kahjud riskide realiseerumise korral. Kui VaRα-t kasutatakse portfelli riskikriteeriumina, siis eelnevast

tulenevalt ei pruugi VaRα minimeerimine tuua kaasa äärmuslike kahjude vähenemist.

Portfelli koostamise seisukohast võib subadditiivsuse mittekehtivuse korral erinevate karakteristikutega varade portfelli lisamine viia portfelli riski suurenemisele. Sellisel juhul ei ole portfelli VaRα enam kumer funktsioon portfelli kuuluvate varade suhtes ja võib osutuda väga raskeks leida ühest optimaalset lahendit. Mittekumeruse korral võib VaRα-efektiivsuspiir olla mittekumer ning väikeste muutuste korral algandmetes võib lõplik probleemi lahend osutuda oluliselt erinevaks esialgsest.

Peamine VaRα-riskijuhtimise puudus tuleb sellest, et tähelepanu pööratakse kahjude tõenäosuse kontrollimisele, mitte aga kahjude suurustele. Ideaaljuhul, et kontrollida kahjude suurust/ulatust, tuleb kontrollida kõiki kahju jaotusfunktsiooni momente. Basak ja Shapiro (2001) uurisid oma töös VaRα-riskijuhtimise mõjusid ja leidsid, et kui suured kahjud juhtuvad, siis VaRα-riskijuhtimise korral realiseerusid äärmuslikud kahjud suuremaks võrreldes traditsioonilise portfelliga.

VaRα puudustest tulenevalt on loogilise edasiarendusena välja pakutud riskimõõt, mis lisaks VaRα-le võtab arvesse ka kahjud, mis ületavad VaRα taset – Expected Shortfall.

Erinevalt VaRα-st on ESα koherentne riskimõõt, mis annab portfelli optimeerimisel ühese lahendi ilma täiendavate eelduste tegemiseta.

Paljudes rakendustes on VaRα ja ESα riskimõõtude arvutamise ja juhtimise lihtsustamiseks tehtud eeldusi oodatavate tulumäärade jaotuse suhtes. Enamlevinud eeldus jaotusfunktsiooni osas on tulumäärade normaaljaotuse eeldus. Valemitest (1.4) ja (1.6) on näha, et normaaljaotuse eelduse ja α<0,5 korral taanduvad VaRα ja ESα kujule bσ - µ, kus b on mingi nullist suurem konstant. Seega annavad portfelli minimeerimine standardhälbe, VaRα ja ESα korral sama optimaalse portfelli (sama nõutava tulumäära tingimuse korral) ning VaRα- ja ESα-portfellide efektiivsuspiirid moodustavad keskväärtus-standardhälbe ruumis Markowitzi portfellide alamhulgad (De Giorgi 2002, Embrechts et al. 1999). Normaaljaotuse korral usaldusnivoo 1-α suurenedes konvergeeruvad miinimum VaRα- ja ESα-portfellid miinimum dispersiooniga portfelliks ja efektiivsuspiirid keskväärtus-standardhälbe efektiivsuspiiriks (Alexander, Baptista 2002: 1186-1187).

Normaaljaotuse eeldust toetab tsentraalne piirteoreem, mille kohaselt (vabas ja veidi ebatäpses sõnastuses) suvaliste sõltumatute jaotustega juhuslike muutujate lineaarse kombinatsiooni jaotus läheneb muutujate arvu kasvamisel normaaljaotusele.

Finantspraktikas ei käitu aga varade tulusused sõltumatult (kusjuures varade jaotused on enamikul juhtudel paksusabalised ja optsioonide korral lõigatud jaotusega), mistõttu ka suure arvu erinevatest varadest koosneva portfelli tulumäärade jaotus ei pruugi olla piisavalt hea lähend normaaljaotusele. Mitmed (kaasa arvatud käesoleva töö autori) uurimused finantsaegridade kohta on näidanud, et kui arenenud turgude aktsiaturgude tulumäärade käitumist võib lugeda täiesti juhuslikeks (white noise) protsessideks, siis arenevate riikide aktsiaturgude tulususte aegread näitavad olulist nullist erinevat vähemalt esimest järku autokorrelatsiooni. Peamine põhjus aga tsentraalse piirteoreemi mittekehtivusele võib olla finantsaegridade omavaheline sõltuvus. Autori varasemas uurimuses (Lambing 2001) käsitleti aktsiaturgude koosliikumist kointegratsiooniseostena ja leiti olulised aktsiaturgude vahelised seosed ning šokkide ülekandumised ühelt turult teisele. Sellest tulenevalt käsitletakse käesolevas töös portfelli optimeerimist ilma täiendavate eeldusteta portfelli tulumäärade jaotusfunktsioonide kohta.

Varasemate uurimuste põhjal on täheldatud, et VaRα-portfellide kaotuste „saba” võib riskikriteeriumi minimeerimisel pikaks venida. Samas on ESα minimeerimisel standardhälvet vähendav mõju, kuna aga ESα- ja ka VaRα-portfelli standardhälve ei saa olla väiksem kui traditsioonilisel σ-portfellil, siis peavad portfelli tulumäärade empiirilises tihedusfunktsioonis (jaotusfunktsioonis) toimuma mingisugused muutused.

Võimalikud muutused portfelli tulumäärade tihedusfunktsioonis on näiteks järgmised (vt. joonis 2.2):

1) kasvab tulumäärade osa, mis ületavad portfelli nõutavat tulumäära,

2) kasvab tulumäärade osa, mis jäävad alumise α-kvantiili ja nõutava tulumäära vahele.

Tulumäär

Sagedus

σ-portfell Kvantiil-portfell

Joonis 2.2. Portfelli tulumäärade hüpoteetilised tihedusfunktsioonid erinevate